Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a

Giải Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Bài 5 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C, vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a.

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}BA\perp CD\\ BA\perp CA\end{array}\right.\Rightarrow BA\perp \left(CAD\right) \\ \Rightarrow BA\perp CE\left(1\right) \end{gathered}$$

Lại có: $BD\perp \left(CFE\right)\Rightarrow BD\perp CE\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $CE\perp \left(ADB\right)$

Do đó: $CE\perp FE;CE\perp AD$

Tam giác ACD vuông cân tại C với CA = CD = a nên:

AD = $a\sqrt{2}\Rightarrow CE=\frac{AD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ta có: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=a\sqrt{2}$

$BD=\sqrt{B{C}^2+C{D}^2}=a\sqrt{3}$

Tam giác BCD vuông tại C có đường cao CF nên

CF . BD = CB . CD

$$\begin{gathered} \Rightarrow CF=\frac{CB.CD}{BD} \\ =\frac{a\sqrt{2}.a}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \end{gathered}$$

Ta có:

$$\begin{gathered} \text{EF=}\sqrt{C{F}^2-C{E}^2} \\ =\sqrt{\frac{2}{3}{a}^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} DF=\sqrt{D{C}^2-C{F}^2} \\ =\sqrt{a^2-\frac{2}{3}{a}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S_{\text{CEF}}=\frac{1}{2}CE.FE \\ =\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{6}=\frac{a^2\sqrt{3}}{12} \end{gathered}$$

Vậy thể tích khối tứ diện CDEF là:

 $$\begin{gathered} V_{CDEF}=V_{D.C\text{EF}}=\frac{1}{3}.S_{\text{CEF}}.DF \\ =\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{12}.\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a^3}{36} \left(đvtt\right). \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 22 Toán 12 Hình học: Có thể chia (H₁) thành bao nhiêu khối lập phương bằng (H₀)...

Hoạt động 2 trang 22 Toán 12 Hình học: Có thể chia (H₂) thành bao nhiêu khối hộp chữ nhật bằng (H₁)...

Hoạt động 3 trang 22 Toán 12 Hình học: Có thể chia (H) thành bao nhiêu khối hộp chữ nhật bằng (H₂)...

Hoạt động 4 trang 24 Toán 12 Hình học: Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập (h.1.27) được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên...

Bài 1 trang 25 Toán 12 Hình học: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a...

Bài 2 trang 25 Toán 12 Hình học: Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a...

Bài 3 trang 25 Toán 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’...

Bài 4 trang 25 Toán 12 Hình học: Cho khối chóp S.ABC...

Bài 6 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’...