Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị: Bài 2.27 trang 38 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 2.27 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị $C_n^0,C_n^1,\dots ,C_n^n.$

Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)ⁿ, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Lời giải:

+) Ta có:

$$\begin{gathered} C_n^k\le C_n^{k+1} \\ \iff \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\le \frac{n!}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!} \end{gathered}$$

$\iff \left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!$$\le k!\left(n-k\right)!$

$\iff k+1\le n-k\iff 2k\le n-1$ (*).

– Nếu n lẻ thì $\left(*\right)\iff k\le \frac{n-1}{2}.$ Từ đây ta có $C_n^k\ge C_n^{k+1}\iff k\ge \frac{n-1}{2}.$

$\Rightarrow C_n^0\le C_n^1\le \mathrm{...}\le C_n^{\frac{n-1}{2}}$$\le C_n^{\frac{n+1}{2}}\le \mathrm{...}\le C_n^n$

Dấu "=" chỉ xảy ra khi $k=\frac{n-1}{2}.$

Do đó có hai số có giá trị lớn nhất là $C_n^{\frac{n-1}{2}}$ và $C_n^{\frac{n+1}{2}}$.

– Nếu n chẵn thì $\left(*\right)\iff k\le \left[\frac{n-1}{2}\right]=\frac{n}{2}-1.$ Từ đây ta có $C_n^k\ge C_n^{k+1}\iff k\ge \frac{n}{2}-1.$

$\Rightarrow C_n^0\le C_n^1\le \mathrm{...}\le C_n^{\frac{n}{2}}\le \mathrm{...}\le C_n^n.$

Dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị k nào.

Do đó chỉ có đúng một số có giá trị lớn nhất là $C_n^{\frac{n}{2}}$.

+) Áp dụng:

Tổng các hệ số của khai triển (a + b)ⁿ bằng 4096

$$\begin{gathered} \Rightarrow C_n^0+C_n^1+\dots +C_n^n=4096 \\ \Rightarrow 2^n=4096\Rightarrow n=12 \end{gathered}$$

$\Rightarrow$ Hệ số lớn nhất của khai triển là $C_{12}^6=924.$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 2.19 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 1$, ta có: 2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (n + 1).2ⁿ = n.2^{n + 1}...

Bài 2.20 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Đặt $S_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+$$\dots +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ ...

Bài 2.21 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có 10^{2n + 1} + 1 chia hết cho 11...

Bài 2.22 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ...

Bài 2.23 trang 38 Chuyên đề Toán 10: a) Khai triển (1 + x)¹⁰...

Bài 2.24 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹...

Bài 2.25 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Khai triển đa thức (1 + 2x)¹² thành dạng a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₁₂x¹²...

Bài 2.26 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng: Bài 2.26 trang 38 Chuyên đề Toán 10...

Bài 2.28 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)ⁿ với p > 0, q > 0, p + q = 1...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 4: Nhị thức newton

Bài 5: Elip

Bài 6: Hypebol

Bài 7: Parabol