Đặt Sn = 1/(1.3) + 1/(3.5) +...+ 1/[(2n-1)(2n+1)]

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 2.20 trang 38 Chuyên đề Toán 10:  Đặt $S_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+$$\dots +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$.

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính tổng S_n và chứng minh nó bằng quy nạp.

Lời giải:

a) $S_1=\frac{1}{1.3}=\frac{1}{3},$$S_2=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}=\frac{2}{5},$$S_3=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}=\frac{3}{7}.$

b) Từ a) ta có thể dự đoán $S_n=\frac{n}{2n+1}.$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có $S_1=\frac{1}{3}=\frac{1}{2.1+1}.$                                                

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: $S_k=\frac{k}{2k+1}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: $S_{k+1}=\frac{k+1}{2\left(k+1\right)+1}.$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

$S_{k+1}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\dots$$+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$$+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$

$=S_k+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$

$=\frac{k\left(2k+3\right)+1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$

$=\frac{2k^2+3k+1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$

$$\begin{gathered} =\frac{\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)} \\ =\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2\left(k+1\right)+1}. \end{gathered}$$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 2.19 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 1$, ta có: 2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (n + 1).2ⁿ = n.2^{n + 1}...

Bài 2.21 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có 10^{2n + 1} + 1 chia hết cho 11...

Bài 2.22 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ...

Bài 2.23 trang 38 Chuyên đề Toán 10: a) Khai triển (1 + x)¹⁰...

Bài 2.24 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹...

Bài 2.25 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Khai triển đa thức (1 + 2x)¹² thành dạng a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₁₂x¹²...

Bài 2.26 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng: Bài 2.26 trang 38 Chuyên đề Toán 10...

Bài 2.27 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị: Bài 2.27 trang 38 Chuyên đề Toán 10...

Bài 2.28 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)ⁿ với p > 0, q > 0, p + q = 1...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 4: Nhị thức newton

Bài 5: Elip

Bài 6: Hypebol

Bài 7: Parabol