Lời giải.

Tâm đối xứng của hình tròn là tâm của hình tròn đó.

Lời giải.

M là ảnh của C qua phép đối xứng tâm I với I là trung điểm AB.

Mà C di động trên đường thẳng d nên quỹ tích điểm M là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I.

Lời giải.

Từ giả thiết suy ra $DN=\frac{2}{3}DO$ , mà O là trung điểm AC

 $\Rightarrow$N là trọng tâm $\Delta ACD$.

Mà AN cắt CD tại  P $\Rightarrow$P   là trung điểm CD . 

Tương tự , ta có : Q là trung điểm AB . 

$\Rightarrow$ Do $AQ\parallel PC$ và  $AQ=PC$

 $\Rightarrow AQCP$ là hình bình hành

$\Rightarrow$ O là trung điểm của  PQ 

$\Rightarrow$P  và Q đối xứng qua O.

$\Rightarrow$ Do  $MO=NO=\frac{1}{6}BD$

$\Rightarrow$O  là trung điểm MN

 $\Rightarrow$M và N đối xứng qua O.

$\Rightarrow$ Chứng minh tương tự $\Rightarrow$M là trọng tâm tam giác ABC .

$\Rightarrow$ Tam giác ABC không phải là tam giác đều nên không đủ kết luận M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải.

Vì tam giác đều không có tâm đối xứng.

Lời giải.

Có một tâm đối xứng chính là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai đường tròn.

Lời giải.

Tâm đối xứng phải nằm trên cả $d$ và $d\text{'}$ nên không có.

Lời giải.

Tâm đối xứng là giao điểm của $d$ và $d\text{'}$.

Lời giải

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm $I\left(a;b\right)$ là $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2a-x=2-x\\ y\text{'}=2b-y=-y\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2-x\text{'}\\ y=-y\text{'}\end{array}\right.$.Thay vào $\left(E\right)$ ta được :

$\frac{{\left(2-x\text{'}\right)}^2}{4}+\frac{{\left(-y\text{'}\right)}^2}{1}=1$$\iff \frac{{\left(x\text{'}-2\right)}^2}{4}+\frac{{\left(-y\text{'}\right)}^2}{1}=1.$

Lời giải.

 $A\text{'}$ đối xứng với A qua  O $\Rightarrow$O  là trung điểm $A{A}^{\text{'}}$. 

MO là đường trung bình của $\Delta A{A}^{\text{'}}B$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}B{A}^{\text{'}}\parallel MN\\ B{A}^{\text{'}}=2MO\end{array}\right.$

NO là đường trung bình của $\Delta A{A}^{\text{'}}C$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}C{A}^{\text{'}}\parallel MN\\ C{A}^{\text{'}}=2MO\end{array}\right.$

$\Rightarrow B,A^{\text{'}},C$ thẳng hàng

$\Rightarrow A\text{'}$ là trung điểm BC

Do O đồng thời là trung điểm của  MN và $A{A}^{\text{'}}$ nên $AM{A}^{\text{'}}N$ là hình bình hành.

Do $B{A}^{\text{'}}=MN$ và $B{A}^{\text{'}}\parallel MN$ ( MN là đường trung bình của $\Delta ABC$ ) nên $BMN{A}^{\text{'}}$ là hình bình hành. Do $A\text{'}$ là trung điểm BC nên B,C đối xứng với nhau qua $A\text{'}$.

Không đủ điều kiện kết luận $BMN{A}^{\text{'}}$ là hình thoi.

Lời giải.

Đó là phép đối xứng qua tâm hình bình hành tạo thành bởi bốn đường thẳng đã cho.

Lời giải.

Điểm đó là tâm đối xứng.

Lời giải.

B là mệnh đề sai vì: Giả sử tam giác $IMM\text{'}$ là tam giác cân tại I nên $IM\text{'}=IM$ nhưng $I,M,M\text{'}$ không thẳng hàng nên $M\text{'}$ không phải là ảnh của $M$ qua phép đối xứng tâm I . 

Lời giải.

Chọn $M\left(4;0\right)\in \Delta$.

Điểm đối xứng của M qua tâm $I\left(a;b\right)$ là điểm $M\text{'}\left(2a-4;2b\right).$

Điểm $M\text{'}\in \Delta \text{'}$ nên $\left(2a-4\right)-2b+2=0$

$\iff a-b=1\iff a=b+1.$

Khi đó $P=a^2+b^2={\left(b+1\right)}^2+b^2$

$=2b^2+2b+1$

$=2{\left(b+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}\ge \frac{1}{2}.$

Dấu $\text{'}\text{'}=\text{'}\text{'}$ xảy ra $\iff b=-\frac{1}{2}\stackrel{}{\to }a=\frac{1}{2}.$

Vậy $P_{\min }=\frac{1}{2}.$

Lời giải.

Phép đối xứng tâm O biến điểm A thành điểm D

Phép đối xứng tâm O biến điểm B thành điểm E

Phép đối xứng tâm O biến điểm D thành điểm A

Vậy ảnh của tam giác ABC qua phép đối xúng tâm O là tam giác DEA

Lời giải.

Ta có $\overrightarrow{IM\text{'}}=\left(x\text{'}-1;y\text{'}-2\right)$

         $\overrightarrow{IM}=\left(x-1;y-2\right).$

Vì $ĐI\left(M\right) = M’$ 

$\iff \overrightarrow{IM\text{'}}=-\overrightarrow{IM}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\text{'}-1=-\left(x-1\right)\\ y\text{'}-2=-\left(y-2\right)\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\text{'}=-x+2\\ y\text{'}=-y+4\end{array}.\right.$

Lời giải.

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm $O\left(0;0\right)$ là $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-x\\ y\text{'}=-y\end{array}\right.\Rightarrow M\text{'}\left(2;-3\right).$

Lời giải.

Từ giả thiết, suy ra I là trung điểm của $AA\text{'}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1+1}{2}=1\\ b=\frac{3+7}{2}=5\end{array}\right.\Rightarrow T=6.$

Lời giải.

Ta có $A\left(m;-m\right)\stackrel{{Ñ}_O}{\to }A\text{'}\left(-m;m\right)$.

Do $A\text{'}$ nằm trên đường thẳng $x-y+6=0$ nên  $-m-m+6=0\iff m=3.$

Lời giải.

Phép đối xứng tâm $O\left(0;0\right)$ biến điểm $M\left(2;1\right)$ thành điểm $M\text{'}\left(-2;-1\right).$

Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left(1;2\right)$ biến điểm $M\text{'}$ thành điểm $M"$

$\Rightarrow \overrightarrow{M\text{'}M"}=\overrightarrow{v}\Rightarrow M"\left(-1;1\right)\equiv D.$

Lời giải.

Đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I\left(3;-1\right)$, bán kính $R=3.$

Gọi $I\text{'}$ là điểm đối xứng của $I\left(3;-1\right)$ qua tâm $O\left(0;0\right)$, suy ra $I\text{'}\left(-3;1\right).$

Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách nên $R\text{'}=R=3.$

Vậy đường tròn $\left(C\text{'}\right)$ có tâm $I\text{'}\left(-3;1\right).$, bán kính $R\text{'}=3$ nên $\left(C\text{'}\right):{\left(x+3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=9.$

Lời giải.

Lấy điểm $M\left(m;-2\right)$ thuộc $∆$

Gọi N là ảnh của M qua phép đối xứng tâm $I\left(1;0\right)\stackrel{}{\to }N\left(2-m;2\right).$

Vì $N\in \left(C\right)$ nên ${\left(2-m\right)}^2+2^2=13\iff \left[\begin{array}{l}m=-1\\ m=5\end{array}\right..$

Với $m=-1\Rightarrow M\left(-1;-2\right),N\left(3;2\right)$

$\underset{}{\to }MN=4\sqrt{2}.$

Với $m=5\Rightarrow M\left(5;-2\right),N\left(-3;2\right)$

$\underset{}{\to }MN=4\sqrt{5}$.

Lời giải.

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O là $\left\{\begin{array}{c}x\text{'}=-x\\ y\text{'}=-y\end{array}\right.$. Thay vào phương trình đường thẳng d 

Ta được  $3\left(-x\text{'}\right)-2\left(-y\text{'}\right)-1=0$

$\iff -3x\text{'}+2y\text{'}-1=0.$

Lời giải.

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm $I\left(a;b\right)$ là $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2a-x=2-x\\ y\text{'}=2b-y=-y\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2-x\text{'}\\ y=-y\text{'}\end{array}\right.$. Thay vào $\left(C\right)$ 

Ta được ${\left(2-x\text{'}\right)}^2+{\left(-y\text{'}\right)}^2=1$

$\iff {\left(x\text{'}-2\right)}^2+y{\text{'}}^2=1$.

Lời giải.

Theo giả thiết điểm $A\left(1;3\right)$ biến thành thành điểm $B\left(a;b\right)$ qua phép đối xứng tâm I  nên ta

có $\left\{\begin{array}{l}2x_I=x_A+x_B=a+1\\ 2y_I=y_A+y_B=b+3\end{array}\right..$

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm  là :

 $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2x_I-x=a+1-x\\ y\text{'}=2y_I-y=b+3-y\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=a+1-x\text{'}\\ y=b+3-y\text{'}\end{array}\right..$

Thay vào $\left(C\right)$ ta được ${\left(a-x\text{'}\right)}^2+{\left(b-y\text{'}\right)}^2=16$

$\iff {\left(x\text{'}-a\right)}^2+{\left(y\text{'}-b\right)}^2=16.$ 

Lời giải. Đường thẳng $∆$ có phương trình tổng quát là $x+4y-6=0.$

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm $I\left(a;b\right)$ là $\left\{\begin{array}{c}x\text{'}=2a-x\\ y\text{'}=2b-y\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=-4-x\text{'}\\ y=4-y\text{'}\end{array}\right..$

Thay vào phương trình đường thẳng d ta được $\left(-4-x\text{'}\right)+4\left(4-y\text{'}\right)-6=0$ $\iff x\text{'}+4y\text{'}-6=0$

Cách 2. Nhận thấy $I\left(-2;2\right)\in \Delta$ nên ảnh của đường thẳng $∆$ qua phép đối xứng tâm I trùng với chính nó.

Vậy ảnh của đường thẳng $∆$ qua phép đối xứng tâm $I\left(-2;2\right)$ có phương trình là: $x+4y-6=0$.

Lời giải.

Đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $K\left(2;2\right)$. Đường tròn $\left(C\text{'}\right)$ có tâm $K\text{'}\left(6;4\right)$.

Tọa độ tâm đối xứng I là trung điểm của $KK\text{'}$ nên suy ra $I\left(4;3\right)$.