Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

(x; y) = (−1; 0)

$\Rightarrow$ x – y = −1 – 0 = −1

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}8x+7y=16\\ 8x-3y=-24\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}8x+7y=16\\ 8x+7y-\left(8x-3y\right)=16-\left(-24\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}8x+7y=16\\ 10y=40\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=4\\ 8x+7.4=16\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=4\\ x=-\frac{3}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) = $\left(-\frac{3}{2};4\right)$

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án đúng là D

Lời giải

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\\ x+y\sqrt{3}=\sqrt{2}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\\ x\sqrt{2}+y\sqrt{6}=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\\ \left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)y=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\\ y=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}\\ x\sqrt{2}-\sqrt{3}.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}\\ x=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

(x; y) = $\left(1;\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}\right)$ 

*Phương pháp giải:

+ Phương pháp thế: Từ một phương trình của hệ, ta biểu thị ẩn x theo y (hoặc y theo x). Thế biểu thức tìm được của x (hoặc của y) vào phương trình còn lại để được phương trình bậc nhất một ẩn. Giải phương trình bậc nhất vừa tìm được. Thay giá trị vừa tìm được của ẩn vào biểu thức tìm được trong bước thứ nhất để tìm giá trị của ẩn còn lại.

*Lý thuyết:

 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: Dạng tổng quát là $\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}\right.$ (1) . Trong đó, x và y là hai ẩn, các chữ còn lại là hệ số. Nếu cặp số $\left(x_0;y_0\right)$ đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì $\left(x_0;y_0\right)$ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (1). Giải hệ phương trình (1) là tìm tập nghiệm của nó.

+ Có hai phương pháp cơ bản để giải hệ phương trình trên, đó là phương pháp cộng đại số và phương pháp thế (đã học ở lớp 9).

- Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn: Dạng tổng quát là $\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_3\end{array}\right.$ (2). Trong đó x, y và z là ẩn số, còn các chữ còn lại là hệ số. Nếu bộ ba số $\left(x_0;y_0;z_0\right)$ đồng thời là nghiệm của cả ba phương trình của hệ thì $\left(x_0;y_0;z_0\right)$ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (2). Giải hệ phương trình (2) là tìm tập nghiệm của nó.

- Hệ phương trình bậc hai hai ẩn là hệ phương trình gồm các phương trình bậc hai chứa hai ẩn hoặc gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai chứa hai ẩn. Nếu cặp số $\left(x_0;y_0\right)$ đồng thời là nghiệm của các phương trình của hệ thì $\left(x_0;y_0\right)$ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình.

Xem thêm

Phương pháp giải hệ phương trình và các dạng bài tập (2024) hay nhất 

50 bài tập về Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay (có đáp án 2024) - Toán 9 

Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x-3y=1\\ 4x+y=9\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x-3y=1\\ 12x+3y=27\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x-3y=1\\ 2x-3y+12x+3y=1+27\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x-3y=1\\ 14x=28\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

(x; y) = (2; 1)

$\Rightarrow$ x – y = 2 – 1 = 1

Đáp án cần chọn là: B

ĐK: x $\ge$ −3; y $\ge$ −1

Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\\ 2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2\sqrt{x+3}-4\sqrt{y+1}=4\\ 2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\\ -5\sqrt{y+1}=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=-1\\ \sqrt{x+3}-2.\sqrt{\left(-1\right)+1}=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=-1\\ \sqrt{x+3}=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=-1\\ x+3=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=-1\\ x=1\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) = (1; −1)

Nên x + y = 1 + (−1) = 0

Đáp án cần chọn là: B

ĐK: x $\ge$0; y$\ge$0

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}4\sqrt{x}-3\sqrt{y}=4\\ 2\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4\sqrt{x}-3\sqrt{y}=4\\ 4\sqrt{x}+2\sqrt{y}=4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}5\sqrt{y}=0\\ 2\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt{y}=0\\ 2\sqrt{x}=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=0\\ x=1\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

(x; y) = (1; 0) $\Rightarrow$ x.y = 0

Đáp án cần chọn là: B

ĐK: y $\ne$0

Ta có  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{y}=2\\ 2x-\frac{3}{y}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x+\frac{2}{y}=4\\ 2x-\frac{3}{y}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{y}=2\\ \frac{5}{y}=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{5}{3}\\ x+\frac{1}{\frac{5}{3}}=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{5}\\ y=\frac{5}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = $\left(\frac{7}{5};\frac{5}{3}\right)$ 

Đáp án cần chọn là: B

ĐK: x$\ge$0; y$\ge$0

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 rồi trừ từng vế của hai phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}0,3\sqrt{x}+0,5\sqrt{y}=3\\ 1,5\sqrt{x}-2\sqrt{y}=1,5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}1,5\sqrt{x}+2,5\sqrt{y}=15\\ 1,5\sqrt{x}-2\sqrt{y}=1,5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4,5\sqrt{y}=13,5\\ 1,5\sqrt{x}-2\sqrt{y}=1,5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt{y}=3\\ 1,5\sqrt{x}-2\sqrt{y}=1,5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt{y}=3\\ 1,5\sqrt{x}-2.3=1,5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=9\\ 1,5\sqrt{x}=7,5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=9\\ \sqrt{x}=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=9\\ x=25\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) = (25; 9)$\Rightarrow$xy = 25.9=225

Đáp án cần chọn là: A

ĐK: x$\ne$0

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}+y=3\\ \frac{1}{x}-2y=4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{4}{x}+2y=6\\ \frac{1}{x}-2y=4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ \frac{2}{x}+y=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=-1\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình cps 1 nghiệm duy nhất (x; y) = $\left(\frac{1}{2};-1\right)$  

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{x+1}{4}-\frac{y}{2}=x+y+1\\ \frac{x-2}{2}+\frac{y-1}{3}=x+y-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+1-2y=4x+4y+4\\ 3x-6+2y-2=6x+6y-6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3x+6y=-3\\ 3x+4y=-2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{-1}{2}\\ x=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Thay x = 0; $y=-\frac{1}{2}$ vào phương trình

(m + 2)x + 7my = m – 225 ta được:

(m + 2).0 + 7m$\left(-\frac{1}{2}\right)$  = m – 225  

$\iff \frac{9}{2}$m = 225 $\iff$ m = 50

Đáp án cần chọn là: C

Ta có  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}5\left(x+2y\right)-3\left(x-y\right)=99\\ x-3y=7x-4y-17\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}5x+10y-3x+3y=-17\\ x-3y-7x+4y=-17\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}6x+39y=297\\ -6x+y=-17\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-6x+y=-17\\ 40y=280\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x+13y=99\\ -6x+y=-17\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=7\\ x=4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) = (4; 7)

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{x+y}{5}=\frac{x-y}{3}\\ \frac{x}{4}=\frac{y}{2}+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3x+3y=5x-5y\\ x=2y+4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x=8y\\ x=2y+4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=4y\\ x=2y+4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=4y\\ 2y-4=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2\\ x=8\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) = (2; 8)

Đáp án cần chọn là: D

Thay x = 2; y = −3 vào hệ phương trình ta được:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}4a.2+2b.\left(-3\right)=-3\\ 3b.2+a\left(-3\right)=8\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}8a-6b=-3\\ -3a+6b=8\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}5a=5\\ -3a+6b=8\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ -3.1+6b=8\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ 6b=11\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=\frac{11}{6}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy a = 1; b =$\frac{11}{6}$

Đáp án cần chọn là: D

Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm

A (−4; −2)$\iff$ −4a + b = −2  (1)

Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm

B (2; 1) $\iff$ 2a + b = 1  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}-4a+b=-2\\ 2a+b=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-6a=-3\\ 2a+b=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ 2.\frac{1}{2}+b=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy a =$\frac{1}{2}$ ; b = 0  

Đáp án cần chọn là: B

Từ (m – 1) x + y = 2 thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

mx + 2 – (m – 1) x = m + 1 

$\iff$x = m – 1

suy ra y = 2 – (m – 1)² với mọi m

Vậy hệ  phương trình luôn có nghiệm duy nhất

(x; y) = (m – 1; 2 – (m – 1)²)

2x + y = 2 (m – 1) + 2 – (m – 1)²

= −m² + 4m – 1

= 3 – (m – 2)² $\le$3 với mọi m

Đáp án cần chọn là: A

Ta có  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+\frac{y}{2}=\frac{2x-3}{2}\\ \frac{x}{2}+3y=\frac{25-9y}{8}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x+y=2x-3\\ 4x+24y=25-9y\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=-3\\ 4x+33y=25\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=31\\ y=-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) = (31; −3)$\Rightarrow$ x > 0; y < 0

Đáp án cần chọn là: A

Thay x = 3; y = −4 vào hệ phương trình ta được

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2a.3+b\left(-4\right)=-1\\ b.3-a.\left(-4\right)=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}6a-4b=-1\\ 4a+3b=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}12a-8b=-2\\ 12a+9b=15\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}17b=17\\ 4a+3b=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=1\\ a=\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy a = $\frac{1}{2}$ ; b = 1

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện: x$\ge$0; x$\ne$7; y$\ge$0

Đặt $\frac{1}{\sqrt{x}-7}=a;\frac{1}{\sqrt{y}+6}=b$ ta được  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}7a-4b=\frac{5}{3}\\ 5a+3b=2\frac{1}{6}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}21a-12b=5\\ 20a+12b=\frac{26}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}21a-12b=5\\ 41a=\frac{41}{3}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ 21.\frac{1}{3}-12b=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=\frac{1}{6}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Trả lại biến ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{x}-7}=\frac{1}{3}\\ \frac{1}{\sqrt{y}+6}=\frac{1}{6}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}-7=3\\ \sqrt{y}+6=6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=100\\ y=0\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm

(x; y) = (100; 0)

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x+3y=\frac{7}{2}-m\\ 4x-y=5m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4x+6y=7-2m\\ 4x-y=5m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}7y=7-7m\\ 4x-y=5m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=1-m\\ 4x-\left(1-m\right)=5m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=1-m\\ x=\frac{4m+1}{4}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Thay vào  x² + 2y² = $\frac{25}{16}$ ta có

$$\begin{gathered} x^2+y^2=\frac{25}{16} \\ \iff {\left(\frac{4m+1}{4}\right)}^2+{\left(1-m\right)}^2=\frac{25}{16} \end{gathered}$$

 $\iff$16m² + 8m + 1 + 16m² – 32m + 16 = 25  

$\iff$32m² – 24m – 8 = 0

$\iff$ 4m² − 3m – 1= 0

$\iff$ 4m² – 4m + m – 1= 0

$\iff$(4m + 1)(m – 1) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-\frac{1}{4}\end{array}\right.$

Mà m > $\frac{1}{2}\Rightarrow$m = 1 thỏa mãn

Vậy m = 1

Đáp án cần chọn là: B

Từ phương trình (1): x – my = m  x = m + my thế vào phương trình (2) ta được phương trình:

m (m + my) + y = 1  

$\iff$m² + m²y + y = 1

$\iff$ (m² + 1)y = 1 – m²  

$\iff y=\frac{1-m^2}{1+m^2}$ 

(vì 1 + m² > 0; m)

suy ra x = m + m.$\frac{1-m^2}{1+m^2}=\frac{2m}{1+m^2}$ với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất

(x; y) =$\left(\frac{2m}{1+m^2};\frac{1-m^2}{1+m^2}\right)$

 $$\begin{gathered} \Rightarrow x-y=\frac{2m}{1+m^2}-\frac{1-m^2}{1+m^2} \\ =\frac{m^2+2m-1}{1+m^2} \end{gathered}$$ 

Đáp án cần chọn là: B