Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là: x, y

(34 > x > y > 0; m)

Vì mảnh đất hình chữ nhật có nửa chu vi bằng 37m nên ta có x + y = 37

Đường chéo hình chữ nhật dài 26m

nên ta có phương trình: x² + y² = 26²

Suy ra hệ phương trình:  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=34\\ x^2+y^2=676\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=37-x\\ x^2+{\left(37-x\right)}^2=676\left(1\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Giải phương trình (1) ta được:

2x² – 68x + 480 = 0  

$\iff$x² – 34x + 240 = 0  

$\iff$x (x – 10) – 24 (x – 10) = 0

$\iff$ (x – 10) (x – 24) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=10\Rightarrow y=24\left(L\right)\\ x=24\Rightarrow y=10\left(N\right)\end{array}\right.$ 

Vậy chiều dài mảnh đất ban đầu là 24m

Đáp án cần chọn là: A

Gọi số dụng cụ cần làm của xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2 lần lượt là x, y

(x, y$\in \mathbb{N}*$ x, y < 360, dụng cụ)

Số dụng cụ xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2 làm được khi vượt mức lần lượt là 112%x và 110%y (dụng cụ)

Ta có hệ phương trình  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=360\\ 112\%x+110\%y=400\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=200\\ y=160\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy xí nghiệp 1 phải làm 200 dụng cụ, xí nghiệp 2 phải làm 160 dụng cụ.

Đáp án cần chọn là: A

Gọi vận tốc của tàu hỏa và ô tô lần lượt là x, y (km/h, x > y > 0; x > 5)

Vì khách du lịch đi ô tô 4 giờ sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường dài 640 km

nên ta có phương trình 7x + 4y = 640

Và mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô 5 km

nên ta có phương trình x – y = 5

Suy ra hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-y=5\\ 7x+4y=640\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y+5\\ 7\left(y+5\right)+4y=640\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=55\\ x=60\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$ 

Vậy vận tốc tàu hỏa là 60km/h

Đáp án cần chọn là: C

Gọi số cần tìm là $\overline{ab},a\in \mathbb{N}*,b\in \mathbb{N}*;a,b\le 9$  

Đổi chỗ hai chữ số của nó thì ta được một số mới là  

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\overline{ba}-\overline{ab}=18\\ \overline{ba}+\overline{ab}=66\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2\overline{ab}=48\\ \overline{ba}+\overline{ab}=66\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\overline{ab}=24\\ \overline{ba}=42\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy số cần tìm là 24 nên tổng các chữ số là 2 + 4 = 6

Đáp án cần chọn là: D

Gọi vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là x, y (km/h, x > y > 0; x > 10)

Vì khách du lịch đi trên ô tô 5 giờ, sau đó đi tiếp bằng xe máy trong 3 giờ được quãng đường dài 330 km nên ta có phương trình 5x + 3y = 330

Và mỗi giờ ô tô đi nhanh hơn xe máy 10 km nên ta có phương trình x – y = 10

Suy ra hệ phương trình:

 $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-y=10\\ 5x+3y=330\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y+10\\ 5\left(y+10\right)+3y=330\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}8y=280\\ x=y+10\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=35\\ x=45\end{array}\left(tm\right)\right. \end{gathered}$$

Vậy vận tốc ô tô là 45 km/h

Đáp án cần chọn là: D

Gọi số cần tìm là  $\overline{ab},a\in \mathbb{N}*,b\in \mathbb{N}*;a,b\le 9$

Đổi chỗ hai chữ số của nó thì ta được một số mới là $\overline{ba}$ 

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a-b=5\\ \overline{ba}=\frac{3}{8}\overline{ab}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=b+5\\ b.10+a=\frac{3}{8}\left(a.10+b\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=b+5\\ 80b=8\left(b+5\right)=30\left(b+5\right)+3b\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=b+5\\ 66b=110\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=2\\ a=7\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy số cần tìm là 72 nên tích các chữ số là 2.7 = 14

Đáp án cần chọn là: C

Gọi thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y $\left(x,y>\frac{24}{5}\right)$ 

(đơn vị: giờ)

Mỗi giờ vòi I chảy được $\frac{1}{x}$ (bể),

vòi II chảy được $\frac{1}{y}$ bể

nên cả hai vòi chảy được $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ bể

Vì hai vòi ngước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút $\left(=\frac{24}{5}h\right)$ bể đầy

nên ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{25}$ 

Nếu vòi I chảy riêng trong 4 giờ,

vòi II chảy riêng trong 3 giờ

thì cả hai vòi chảy được $\frac{3}{4}$ bể

nên ta có phương trình  $\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{3}{4}$ 

Suy ra hệ phương trình  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{4}{x}+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{4}{x}+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\\ \frac{3}{x}+\frac{3}{y}=\frac{5}{8}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{8}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{12}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=12\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy thời gian vòi I một mình đầy bể là 8h.

Đáp án cần chọn là: B

Gọi số thóc năm ngoái thu được của cánh đồng thứ nhất là (x) (tấn) (x > 0)

Gọi số thóc năm ngoái thu được của cánh đồng thứ hai là y (tấn) (y > 0)

Năm ngoái, cả 2 cánh đồng thu hoạch được 500 tấn thóc nên ta có phương trình:

x + y = 500   (1)

Năm nay, lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai tăng 20% nên ta có phương trình:

$$\begin{gathered} x+\frac{30}{100}x+y+\frac{20}{100}y=630 \\ \iff \frac{130}{100}x+\frac{120}{100}y=630 \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=500\\ \frac{130}{100}x+\frac{120}{100}y=630\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{120}{100}x+\frac{120}{100}y=600\\ \frac{130}{100}x+\frac{120}{100}y=630\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{10}{100}x=30\\ x+y=500\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=300\\ x+y=500\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=300\\ y=200\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy lượng lúa thu hoạch được năm nay của

cánh đồng thứ nhất là 300.1,3 = 390 (tấn);

lượng lúa thu được năm nay của

cánh đồng thứ hai là 200.1,2 = 240 tấn.

Đáp án cần chọn là: B

Gọi số cần tìm là  $\overline{ab},a\in \mathbb{N}*,b\in \mathbb{N}*;a,b\le 9$

Đổi chỗ hai chữ số của nó thì ta được một số mới là $\overline{ba}$ 

Ta có hệ phương trình:

 $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\overline{ba}-\overline{ab}=63\\ \overline{ba}+\overline{ab}=99\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2\overline{ab}=36\\ \overline{ba}+\overline{ab}=99\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\overline{ab}=18\\ \overline{ba}=81\end{array}\left(tm\right)\right. \end{gathered}$$

Vậy số cần tìm là 18 nên tổng các chữ số là 1 + 8 = 9

Đáp án cần chọn là: A

Gọi vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là x, y (km/h, x, y > 0)

Quãng đường người thứ nhất đi được khi gặp nhau là 2x (km)

Quãng đường người thứ hai đi được đến khi gặp nhau là 2y (km)

Ta có hệ phương trình  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x+2y=38\\ 2x-2y=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=9\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy vận tốc của người thứ nhất là 10 (km/h)

Đáp án cần chọn là: D

Gọi số viên bi trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai lần lượt là x, y (0 < x, y < 360, viên)

Vì Nam có 360 viên bi nên ta có phương trình x + y = 360 (viên bi)

Nếu Nam chuyển 30 viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất thì số viên bi ở hộp thứ nhất bằng $\frac{5}{7}$ số viên bi ở hộp thứ hai

nên ta có phương trình  $x+30=\frac{5}{7}\left(y-30\right)$

Suy ra hệ phương trình:

 $\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x+y=360\\ x+30=\frac{5}{7}\left(y-30\right)\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+y=360\\ x-\frac{5}{7}y=-\frac{360}{7}\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{12}{7}y=\frac{2880}{7}\\ x+y=360\end{array}\right.\end{array}$

$\Rightarrow x=120; y=240 \left(tm\right)$

Vậy số viên bi ở hộp thứ nhất là 120 viên bi, số viên bi ở hộp thứ hai là 240 viên bi.

Đáp án cần chọn là: D

Gọi chiều cao của tam giác là h, cạnh đáy tam giác là a. (h, a$\in \mathbb{N}*$, dm); (a > 2)

Diện tích tam giác ban đầu là $\frac{1}{2}$ ah (dm²)

Vì chiều cao bằng $\frac{1}{4}$ cạnh đáy nên

ta có phương trình  $h=\frac{1}{4}a$

Nếu chiều cao tăng thêm 2 dm và cạnh đáy giảm đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 2,5 dm².

Nên ta có phương trình

$\frac{1}{2}\left(h+2\right)\left(a-2\right)-\frac{1}{2}ah=2,5$ 

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}h=\frac{1}{4}a\\ \frac{1}{2}\left(h+2\right)\left(a-2\right)-\frac{1}{2}ah=2,5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}h=\frac{1}{4}a\\ -2h+2a-4=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}h=\frac{1}{4}a\\ -2.\frac{1}{4}a+2a=9\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=6\\ h=1,5\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy chiều cao và cạnh đáy của tấm bìa lần lượt là 1,5 dm và 6 dm

Đáp án cần chọn là: A

Gọi vận tốc lúc đầu của xe là x (km/h; x > 10), thời gian theo dự định là y (y > 3) (giờ)

Quãng đường xe đi được là: x.y (km)

 Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sớm hơn dự định 1 giờ nên ta có phương trình

(x + 10) (y – 1) = xy

Nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 5 km thì đến nơi chậm mất 2 giờ nên ta có phương trình

(x – 5) (y + 2) = xy

Suy ra hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(x+10\right)\left(y-1\right)=xy\\ \left(x-5\right)\left(y+2\right)=xy\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}xy-x+10y-10=xy\\ xy+2x-5y-10=xy\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-x+10y=10\\ 2x-5y=10\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=2\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy vận tốc ban đầu là 10 km/h

Đáp án cần chọn là: C

Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất được trong tháng thứ I là x (sản phẩm)

Số sản phẩm của tổ II sản xuất được trong tháng thứ nhất là y (sản phẩm)

(x, y$\in \mathbb{N}*$ )

Tháng thứ nhất 2 tổ sản xuất được 1200 sản phẩm nên ta có phương trình:

 x + y = 1200  (1)

Tháng thứ hai tổ I vượt mức 30% và tổ II giảm mức đi 22% so với tháng thứ nhất nên 2 tổ đã sản xuất được 1300 sản phẩm,

ta có:

  $$\begin{gathered} x+\frac{30}{100}x+y-\frac{22}{100}y=1300 \\ \iff \frac{130}{100}x+\frac{78}{100}y=1300 \left(2\right) \end{gathered}$$   

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=1200\\ \frac{130}{100}x+\frac{78}{100}y=1300\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{78}{100}x+\frac{78}{100}y=936\\ \frac{130}{100}x+\frac{78}{100}y=1300\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{52}{100}x=364\\ x+y=1200\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=700\\ x+y=1200\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=700\\ y=500\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy trong tháng thứ hai tổ II sản xuất được 500.78 : 100 = 390 sản phẩm

Đáp án cần chọn là: C

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vương hình chữ nhật lần lượt là x, y

(24 > x > y > 0; m)

Vì khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48 m nên ta có (x + y). 2 = 48

Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162m

Nên ta có phương trình (4y + 3x). 2 = 162

Suy ra hệ phương trình 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(x+y\right).2=48\\ \left(4y+3x\right).2=162\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+24\\ 3x+4y=81\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=15\\ y=9\end{array}\left(tm\right)\right. \end{gathered}$$

Vậy diện tích khu vườn ban đầu là

15.9 = 135m²

Đáp án cần chọn là: C