Lời giải

Gọi BE = x (m).

Diện tích hình vuông ABCD là:

S_ABCD = AB² = 10² = 100 (m²)

Diện tích hình than vuông BCDE là:

S_BCDE = $\frac{(BE+DC)BC}{2}$ 

= $\frac{(x+10).10}{2}$ = 5 (x+10)

Vì diện tích hình thang vuông BCDE bằng $\frac{4}{5}$ diện tích hình vuông ABCD nên ta có: S_BCDE =  $\frac{4}{5}$S_ABCD

= 5(x + 10) = $\frac{4}{5}$.100

$\iff$x + 10 = 16

$\iff$x = 6 (m)

Lời giải

Gọi BE = x (m).

Diện tích hình vuông ABCD là:

S_ABCD = AB² = 20² = 400 (m²)

Diện tích hình than vuông BCDE là:

S_BCDE = $\frac{(BE+DC)BC}{2}$

= $\frac{(x+20).20}{2}$ = 10(x + 20)

Vì diện tích hình thang vuông BCDE bằng $\frac{3}{4}$ diện tích hình vuông ABCD nên ta có:

S_BCDE = $\frac{3}{4}$ S_ABCD = 10(x + 20) = $\frac{3}{4}$.400

$\iff$ x + 20 = 30 $\iff$ x = 10 (m)

Vậy điểm E ở trên cạnh AB sao cho BE = 10 m hay E là trung điểm đoạn AB.

Lời giải

Kẻ BH là đường cao ứng với cạnh CD của hình bình hành ABCD

=> S_ABCD = BH.CD

Theo đề bài ta có chu vi hình bình hành ABCD bằng 60cm.

=> ICB là tam giác đều. (tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 60⁰).

=> BH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến ứng hay H là trung điểm của IC.

=> HI = HC = $\frac{1}{2}$BC = 5cm

Áp dụng định lý Pytago với tam giác vuông HBC ta có:

$\begin{array}{l}BH=\sqrt{B{C}^2-H{C}^2}\\ =\sqrt{{10}^2-5^2}\\ =\sqrt{75}=5\sqrt{3}cm\end{array}$

=> S_ABCD = BH.AB

= BH.2BC = $5\sqrt{3}$.2.10

= 100$\sqrt{3}$ cm²

Lời giải

Kẻ AH ⊥ BC tại H và AH cắt MN tại K.

+ Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // BC suy ra AH ⊥ MN tại K. Xét tứ giác CBPQ

có PQ // BC (do MN // BC) và PB // CQ (do cùng vuông góc với PQ) nên CBPQ là hình bình hành.

Lại có $\widehat{PBC}$ = 90⁰ nên tứ giác CBPQ là hình chữ nhật.

Suy ra S_CBPQ = BP. BC.

+ Xét ΔBPM và ΔAKM có:

Suy ra ΔBPM = ΔAKM (ch – gn)

=> BP = AK (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét ΔABK có MK // BH (do MN//BC) và M là trung điểm của AB nên K là trung điểm của AH (định lý về đường trung bình của tam giác).

Nên AK = $\frac{1}{2}$ AH (2)

Từ (1) và (2) ta có PB = $\frac{1}{2}$AH.

+ S_ABC =  $\frac{1}{2}$AH. BC

mà PB =$\frac{1}{2}$ AH (cmt)

nên S_ABC = PB. BC

Lại có S_CBPQ = BP. BC (cmt)

nên ta có S_ABC = S_CBPQ

Lời giải

Ta có ABMN là tứ giác có hai đường chéo AM và BN vuông góc nên có diện tích là:

S_ABMN = $\frac{1}{2}$AB.MN

Hai tam giác AMC và ABC có chung đường cao hạ từ A nên $\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}=\frac{MC}{BC}=\frac{1}{2}$ 

=> S_AMC = $\frac{1}{2}$S_ABC (1)

Hai tam giác AMN và AMC có chung đường cao hạ từ M nên $\frac{S_{AMN}}{S_{AMC}}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$ 

=> S_AMB = $\frac{1}{2}$S_ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra S_AMN = $\frac{1}{2}$S_ABC

Hai tam giác AMB và ABC có chung đường cao hạ từ A nên  

=> S_AMB = $\frac{1}{2}$S_ABC

Ta có: S_ABMN = S_AMN + S_ABM

= $\frac{1}{4}$S_ABC + $\frac{1}{2}$S_ABC = $\frac{3}{4}$S_ABC

=> S_ABC =  $\frac{4}{3}$S_ABMN

=$\frac{4}{3}.\frac{1}{2}$.AM.BN = $\frac{2}{3}$AM.BN

Lời giải

Kẻ AH ⊥ BC tại H và AH cắt MN tại K.

+ Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // BC suy ra AH ⊥ MN tại K.

Xét tứ giác CBPQ có PQ // BC (do MN // BC) và PB // CQ (do cùng vuông góc với PQ) nên CBPQ là hình bình hành.

Lại có $\widehat{PBC}$ = 90⁰ nên tứ giác CBPQ là hình chữ nhật.

Suy ra S_CBPQ = BP. BC.

+ Xét ΔBPM và ΔAKM có:

Suy ra ΔBPM = ΔAKM (ch – gn)

=> BP = AK (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét ΔABK có MK // BH (do MN//BC) và M là trung điểm của AB nên K là trung điểm của AH (định lý về đường trung bình của tam giác).

Nên AK = $\frac{1}{2}$ AH (2)

Từ (1) và (2) ta có PB = $\frac{1}{2}$AH.

+ S_ABC =  $\frac{1}{2}$AH. BC mà

PB =$\frac{1}{2}$ AH (cmt)

nên S_ABC = PB. BC

Lại có S_CBPQ = BP. BC (cmt) nên

ta có S_ABC = S_CBPQ = 50 cm².

Lời giải

Ta có: S_BCHI = BC²; S_ACFG = AC²; S_ABDE = AB²

Theo định lý Pytago cho tam giác ABC vuông tại A

ta có: BC² = AB² + AC²

=> S_BCHI = S_ACFG + S_ABDE

Vậy S_ACFG + S_ABDE = S_BCHI = 100 cm²

Lời giải

Ta có: S_BCHI = BC²;

S_ACFG = AC²; S_ABDE = AB²

Theo định lý Pytago cho tam giác ABC vuông tại A

ta có: BC² = AB² + AC²

=> S_BCHI = S_ACFG + S_ABDE

Lời giải

Xét hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Kẻ BH vuông góc với AD. Ta có S_ABCD = AD. BH

Trong tam giác vuông ABH vuông tại H thì:

BH ≤ AB (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

Do đó: S_ABCD = AD. BH ≤ AD. AB

= AB. AB = AB²

S_ABCD có giá tị lớn nhất bằng AB² khi ABCD là hình vuông.

Vây trong các hình thoi có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

Lời giải

Gọi O là giao điểm của AC, BD.

Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD;

OA = OC = $\frac{AC}{2}$ = 40 cm;

OB = OD = $\frac{BD}{2}$ = 30 cm.

Xét tam giác vuông AOB, theo định lý Pytago ta có:

AB² = OA² + OB²

= 40² + 30² = 2500

=> 50 CM

Lại có:

S_ABCD = $\frac{AC.BD}{2}=\frac{60.80}{2}$ = 2400 cm²

mà S_ABCD = BE. AD

$\iff$ BE.50 = 2400

$\iff$ BE = 48 cm (vì AD = AB = 50 cm)

Xét tam giác vuông BED có:

ED² = BD² – BE²

= 60² – 48² = 1296

=> ED = 36

Suy ra: S_BED =  $\frac{1}{2}$DE. BE

=$\frac{1}{2}$ 48.36 = 864 cm².

Lại có: ΔBED = ΔBFD (ch – gn)

nên S_BFD = S_BED = 864 cm²_.

Từ đó: S_BEDF = S_BFD + S_BED

= 864 + 864 = 1728 cm²

Lời giải

Ta có

Kẻ AH ⊥ BC => H là trung điểm cạnh BC (vì tam giác ABC vuông cân tại A)

Khi đó AH là đường trung tuyến nên

AH = $\frac{BC}{2}$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

+ Xét tam giác vuông CNP

có $\hat{C}$ = 45⁰ (do tam giác ABC vuông cân) nên tam giác CNP vuông cân tại P

Suy ra CP =PN = 22cm

+ Tương tự ta có ΔQMB vuông cân tại Q

=> QM = QB = 22cm

Từ đó BC = PC + PQ + QB

= 22 + 22 + 22 = 66cm

Mà AH = $\frac{BC}{2}$ (cmt)

=> AH = $\frac{66}{2}$ = 33cm

Từ đó S_ABC = $\frac{1}{2}$AH.BC

= $\frac{1}{2}$ .33.66 = 1089 cm²

Lời giải

Lấy P là trung điểm của CM.

Vì AM = $\frac{1}{3}$AC => MC = $\frac{2}{3}$AC

=> MP = PC =  $\frac{1}{3}$AC = AM

Tam giác BCM có: $\left\{\begin{array}{l}NB=NC\left(gt\right)\\ PC=PM\left(gt\right)\end{array}\right.$

Suy ra NP là đường trung bình của tam giác BMC (định nghĩa).

Suy ra NP // BM (tính chất đường trung bình).

Tam giác ANP có:  

$\left\{\begin{array}{l}MA=MP\left(cmt\right)\\ OM//NP(doNP//BM)\end{array}\right.$ 

=> AO = ON (định lý đảo của đường trung bình).

Theo chứng minh trên ta có OM là đường trung bình của tam giác ANP

nên OM = $\frac{1}{2}$NP (1)

NP là đường trung bình của tam giác BCM

nên NP = $\frac{1}{2}$BM (2)

Từ (1) và (2) suy ra BM = 4OM

=> BO = 3OM

Vậy cả A, B đều đúng