Đáp án A

Phương pháp: Độ dài đường sinh của hình nón , trong đó r; h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón.

Cách giải:

Đáp án B

Phương pháp: Dựa vào đồ thị hàm số.

Cách giải: Ta dễ thấy f (1,5) > 0 > f (2;5)

Đáp án C

Phương pháp: Thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}{S}_{day}.h$

Cách giải: Gọi H là trung điểm của AB ta có: $SH\perp AB$ và $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Đáp án D

Phương pháp:

Cách giải:

ĐK:

Vậy tâp nghiệm của bất phương trình là S = (0;2)

Đáp án C

Phương pháp:Sử dụng công thức lãi kép , trong đó:

$A_n$: tiền gốc lẫn lãi sau n năm

A: tiền vốn ban đầu.

r: lãi suất

n: năm.

Cách giải: Giả sử sau n năm người đó nhận được số tiền lớn hơn 150% số tiền gửi ban đầu.

Gọi số tiền gửi ban đầu là A ta có:

Vậy sau ít nhất 9 năm người đó nhận được số tiền lớn hơn 150% số tiền gửi ban đầu

Đáp án A

Phương pháp:

Nếu $\underset{x\to +\infty }{lim}y=a$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{lim}y=a$ thì y = a là TCN của đồ thị hàm số y = f(x)

Nếu $\underset{x\to b^{+}}{lim}y=\infty$ hoặc $\underset{x\to b-}{lim}y=\infty$ thì x = b là TCĐ của đồ thị hàm số y = f(x)

Cách giải: Do hàm số liên tục trên R nên đồ thị hàm số không có TCĐ.

$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=0$; $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=1$ → y = 0 và y = 1 là 2 đường TCN của đồ thị hàm số.

Đáp án A

Phương pháp:

Nếu $\underset{x\to b^{+}}{lim}y=\infty$hoặc $\underset{x\to b-}{lim}y=\infty$ thì x = b là TCĐ của đồ thị hàm số y = f(x)

Cách giải: TXĐ: $D=R/\left\{0\right\}$

Ta có:

→ x = 0

không là TCĐ của đồ thị hàm số $y=\frac{\sin x}{x}$

Đáp án C

Phương pháp: Thể tích khối trụ  trong đó $S_{day}, h$ lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của khối trụ.

Cách giải: Thể tích của khối trụ:

= $24c{m}^3$

Đáp án B

Phương pháp: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ tính ${\int }_{-a}^{a}f(-x)dx$

Sử dụng công thức

Cách giải: Đặt

Đổi cận 

Khi đó ta có:

Đáp án B

Phương pháp: Đặt $t=2^{\left|x\right|}$

Cách giải: Đặt $t=2^{\left|x\right|}$ ta có:

Khi đó phương trình trở thành

Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt  có nghiệm 

Đáp án đúng là A

Lời giải :

Ta có:

*Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa:  (nếu tồn tại giới hạn).

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm $x_0$và hàm số $f(x)$ xác định trên K hoặc trên $K\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$. Hàm số $f(x)$có giới hạn là số L khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì, $x_n\in K\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$ và $x_n\to x_0$, ta có$f(x_n)\to L$

Kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$, khi $x_n\to x_0$.

2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số

a, Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ và $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=M$$\left(L,M\in \mathbb{R}\right)$thì

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f(x)\pm g(x)\right]=L\pm M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f(x).g(x)\right]=L.M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{L}{M}\left(M\ne 0\right)$

b, Nếu $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in \left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$ và $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ thì $L\ge 0$ và $\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$.

3. Giới hạn một phía

- Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$. Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số $y=f(x)$ khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì thỏa mãn $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=L$.

- Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$. Số L là giới hạn bên của hàm số $y=f(x)$ khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì thỏa mãn $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=L$.

*Nhận xét: $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L\iff \underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=L$

II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

- Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(a;+\mathrm{\infty }\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là số L khi $x\to +\mathrm{\infty }$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì $x_n>a$ và $x_n\to +\mathrm{\infty }$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to +\mathrm{\infty }$.

- Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };b\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là số L khi $x\to -\mathrm{\infty }$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì $x_n<b$ và $x_n\to -\mathrm{\infty }$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to -\mathrm{\infty }$.

* Nhận xét:

- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

- Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}c=c$, $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}c=c$,$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{c}{x^k})=0,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{c}{x^k})=0$.

Xem thêm

Lý thuyết Giới hạn của hàm số – Toán 11 Cánh diều 

Đáp án D

Phương pháp:

Đường  thẳng d:  có  1 VTCP là . Mọi vectơ $\overrightarrow{v}= k\overrightarrow{u}(k\in Z)$ cùng phương với vecto $\overrightarrow{u}$ đều là VTCP của đường thẳng d

Cách giải: Đường thẳng d nhận $\overrightarrow{u_1}=\left(1;-1;1\right)$ là 1 VTCP. Mọi vecto cùng phương với vecto đều $\overrightarrow{u}$là VTCP của đường thẳng d.

Ta thấy chỉ có đáp án D, vecto $\overrightarrow{u_1}=\left(1;1;1\right)$ không cùng phương với $\overrightarrow{u_1}=\left(1;-1;1\right)$ nên $\overrightarrow{u_1}=\left(1;1;1\right)$ không là VTCP của đường thẳng d

Đáp án A

Phương pháp:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau 

Cách giải: 

Gọi   là hai điểm thuộc đồ thị hàm số.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau

Gọi I là trung điểm của MN ta có: I(1;1)

Dễ  thấy đồ  thị  hàm số  có TCN là y = 1 và tiệm cận đứng x = 1 → I(1;1)  là giao điểm của hai đường tiệm cận => C đúng.

TCN y = 1 và tiệm cận đứng x = 1 rõ ràng đi qua trung điểm I của đoạn MN=> B, D đúng 

Đáp án A

Phương pháp :

+) Chọn vị trí cho các bạn nam (hoặc nữ).

+) Hoán đổi các vị trí.

+) Sử dụng quy tắc nhân.

Cách giải : Chọn 1 vị trí trong 2 vị trí đối xứng có $C_2^1$ cách chọn, như vậy có ${\left(C21\right)}^4=2^4$ cách chọn ghế cho 4 bạn nam.

4 bạn nam này có thể đổi chỗ cho nhau nên có 4! cách xếp

Vậy có  cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ

Đáp án D

Phương pháp : Áp dụng công thức tính nguyên hàm 

Cách giải : 

Dễ thấy đáp án D không phải là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^3$

Đáp án B

Phương pháp : Dụng đường vuông góc chung.

Cách giải :

Ta có: 

Trong (BCC’B’) kẻ 

=>MH là đoạn vuông góc chung giữa AM và B’C 

Dễ thấy 

Đáp án D

Phương pháp :

Đường thẳng qua A song song với hai mặt phẳng (P); (Q) nhận là 1VTCP.

Cách giải : Ta có  lần lượt là các VTPT của

Ta có : 

 là 1 VTCP của đường thẳng qua A và vuông góc với cả

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: 

Với t = -3  ta có đường thẳng đi qua điểm B(1;2;0) => phương trình đường thẳng cần tìm là : 

$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=t\end{array}\right.$

Đáp án C

Phương pháp : Sử dụng công thức 

Cách giải : 

Đáp án D

Phương pháp : Nhận xét : f’(x – 2) = f’(x)

Cách giải : Ta có : f’(x – 2) = (x – 2)’. f’(x) = f’(x) → Đồ thị hàm số y = f’(x) có hình dạng tương tự như trên.

Đồ thị hàm số y = f(x – 2)có 3 điểm cực trị => Đồ thị hàm số y = f(x) cũng có 3 điểm cực trị

Đáp án D

Phương pháp: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.

Cách giải:

Đáp án D

Phương pháp: Sử dụng công thức  (giả sử các biểu thức là có nghĩa)

Cách giải: 

Đáp án B

Phương pháp: Số  nghiệm của phương trình f(x) = m là số giao điểm của đồ  thị  hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m song song với trục hoành.

Cách giải: Dựa vào bảng biến thiên ta thất để  phương trình f(x) = m có nghiệm duy nhất thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 1 điểm duy nhất

→ m $\in$$\left(-\infty ;-2\right)\cup \{4+2\sqrt{5}\}\cup [10+\infty )$

Đáp án C

Phương pháp : Áp dụng công thức : 

tanα.cotα = 1ó tanα(tan90⁰ – α) = 1

Cách giải : Ta có : >P = tan1⁰.tan2⁰.tan3⁰…tan89⁰

óP=(tan1⁰.tan89⁰).(tan2⁰.tan88⁰).(tan3⁰.tan87⁰)…tan45⁰

óP=(tan1⁰.cot1⁰).(tan2⁰.cot2⁰).(tan3⁰.cot3⁰)…..(tan44⁰.cot44⁰).tan45⁰

óP=1.1.1…..1=1 =>logP = log1 = 0

Đáp án A

Phương pháp : Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là :

(P): Ax+By+Cz+D = 0, (Q): A’x+B’y+C’z+D = 0.

Khi đó (P) và (Q) song song với nhau

Cách giải:

Đáp án D

Phương pháp: Số phức z = a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trên mặt phẳng phức.

Cách giải: Ta có: M(3;-2) $\Rightarrow$ z = 3-2i

Đáp án B

Phương pháp giải:  Áp dụng các quy tắm đếm cơ bản

Lời giải:

Một người có 6 cách chọn quầy khác nhau => Số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=6^5$

Chọn 3 học sinh trong 5 học sinh có $C_5^3$ cách, chọn 1 quầy trong 6 quầy có $C_6^1$ cách.

Suy ra có $C_5^3$.$C_6^1$ cách chọn 3 học sinh vào 1 quầy bất kì.

Khi đó, 2 học sinh còn lại sẽ chọn 5 quầy còn lại => có $C_5^1$ cách.

Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố là n(X) = $C_5^1$.$C_5^3$.$C_6^1$

Vậy P = 

Đáp án B

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số xác định hoành độ điểm D suy ra tung độ điểm A chính là độ dài BC

Lời giải: Gọi  với 

Gọi  thuộc đồ thị 

Vì ABCDlà hình chữ nhật

Khi đó BC = m. Mà  

Đáp án A

Phương pháp giải:  Xác định tọa độ ba điểm A, B, C và gọi tâm I, sử dụng điều kiện cách đều IA = IB = IC = IO để tìm tọa độ tâm I của mặt cầu

Lời giải:

Gọi A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) => Tọa độ trọng tâm G là

Gọi tâm mặt cầu (S) là 

Vậy tọa độ tâm mặt cầu là I(3;6;12)

Đáp án đúng: B

*Lời giải

Gọi M là trung điểm của CD. Hai tam giác ACD, BCD đều 

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90⁰

^*Phương pháp giải

Tứ diện đều có cặp cạnh đối vuông góc với nhau

*Lý thuyến cần nắm về góc giữa hai mặt phẳng: 

1. Góc giữa 2 mặt phẳng là gì?

- Khái niệm: Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là ‘góc khối’, là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Góc giữa 2 mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên mặt 2 phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.

2. Tính chất của góc giữa 2 mặt phẳng

Từ định nghĩa trên ta có:

- Góc giữa 2 mặt phẳng song song bằng 0 độ,

- Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau bằng 0 độ.

3. Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

Gọi P là mặt phẳng 1, Q là mặt phẳng 2

Trường hợp 1: Hai mặt phẳng (P), (Q) song song hoặc trùng nhau thì góc của 2 mặt phẳng bằng 0,

Trường hợp 2: Hai mặt phẳng (P), (Q) không song song hoặc trùng nhau.

Công thức và phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng

1. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

2. Cách tính góc giữa 2 mặt phẳng

a. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý hàm số sin, hàm số cos.

b. Dựng mặt phẳng phụ (R) vuông góc với giao tuyến c mà (Q) giao với (R) = a, (P) giao với (R) = b.

Suy ra 

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết, cách xác định và bài tập tính góc giữa 2 mặt phẳng 

Góc giữa hai mặt phẳng (lý thuyết, công thức) các dạng bài tập và cách giải 

Đáp án D

Phương pháp giải:  Áp dụng phương pháp lôgarit giải phương trình mũ

Lời giải: Ta có

Đáp án D

Phương pháp giải:  Lý thuyết F(x) là một nguyên của hàm số f(x) => F’(x) = f(x)

Lời giải:

Vì F(x) là một nguyên của hàm số f(x) => F’(x) = f(x) = x² => F’(4) = 4² = 16

Đáp án C

Phương pháp giải:  Ta có

Lời giải: Ta có 

Đáp án B

Phương pháp giải:  Dựa vào dấu của đạo hàm để xác định điểm cực trị, cực trị của hàm số

Lời giải:

Ta có y’ đổi dấu từ + sang - khi đi qua x = 1. Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 1

Đáp án C

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu S = 4πr²

Lời giải: Diện tích cần tính là S_mc = 4πr² = 4π2² = 16π cm²

Đáp án B

Phương pháp giải: Mặt phẳng trung trực của AB nhận $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ chỉ phương và đi qua trung điểm AB

Lời giải: Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (1;-1;2) và trung điểm M của AB là M(1/2;1/2;0)

Vì (P) $\perp$ AB và (P) đi qua M => Phương trình (P) là x – y + 2z = 0

Đáp án B

Phương pháp giải: Tính đạo hàm, áp dụng điều kiện để hàm số nghịch biến trên khoảng

Lời giải: Ta có

(*)

Mà  suy ra (*) 

Vậy  là giá trị cần tìm

Đáp án A

Phương pháp giải:

Để iⁿ là số nguyên dương thì n là số nguyên dương chia hết cho 4

Lời giải:

Xét n = 2k, khi đó  là số nguyên dương khi k chẵn

Kết hợp với  suy ra  và k $\in$ Z là số chẵn

Với mỗi bộ số  → có 2 số k thỏa mãn,  → có 3 số k thỏa mãn.

Vậy có tất cả 2.5+3.4 = 22 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án C

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tổng quát của khai triển nhị thức Newton là

Lời giải: Xét khai triển 

Hệ số của x²⁵ ứng với x^k = x²⁵ => k = 25. Vậy 

Đáp án D

Phương pháp giải:  Công thức tính thể tích của khối tròn xoay là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2\left(x\right)dx$

Lời giải: Thể tích khối tròn xoay cần tính là $V=\pi {\int }_1^3{\left[f\left(x\right)\right]}^{2}dx$

Đáp án B

Phương pháp giải:

Dựng hình, xác định góc và sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính tang

Lời giải:

Vì SA $\perp$ (ABCD) => AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)

Suy ra SC; (ABCD) = (SC; AC) = SCA = α(0⁰; 90⁰)

Tam giác SAC vuông tại A, có 

Vậy tan góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là $\frac{1}{2}$

Đáp án C

Phương pháp giải: Gọi tọa độ tâm I, vì A thuộc mặt cầu nên IA = R suy ra tọa độ tâm I

Lời giải:

Vì I thuộc tia Ox   

Mà A thuộc mặt cầu (S): 

Vậy phương trình mặt cầu (S) là ${(x-7)}^2+y^2+z^2=49$

Đáp án B

Phương pháp giải: Quãng đường đạo hàm ra vận tốc (ứng dụng tích phân trong vật lý)

Lời giải: Ta có

Đáp án C

Phương pháp giải:  Lập bảng xét dấu y’ để tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Lời giải:

Ta có f’(x) = x² – 5x +4  suy ra 

Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (1;4) và đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(4;+\infty \right)$

Vì (2;3) $\subset$ (1;4) suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (2;3)

Đáp án D

Phương pháp giải: Số phức z = a+bi có môđun là 

Lời giải: Ta có 

Đáp án C

Phương pháp giải: Khoảng cách từ điểm  đến trục Ox là 

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của A trên Ox 

Vậy khoảng cách từ A đến trục Ox là 

Đáp án B

Phương pháp giải:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của (P₁), (P₂) là nghiệm phương trình:

Khi đó, diện tích hình phẳng cần tính là

với 

Đáp án A

Phương pháp giải:

Tìm không gian mẫu khi gieo súc sắc và áp dụng quy tắc đếm tìm biến cố

Lời giải:

Tung 1 con súc sắc hai lần liên tiếp => Số phần tử của không gian mẫu là

Gọi  x, y lần lượt là số chấm xuất hiện khi tung con súc sắc trong 2 lần liên tiếp.

Theo bài ra, ta có 

=>(x;y) = {(1;2), (2;3), (4;5). (5;6)}

Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố là n = 5. Vậy 

Đáp án A

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = 0, x = a, x = b

Lời giải:

Ta có 

Mà 

Khi đó 

Đáp án A

Phương pháp giải:

Hàm số đơn điệu trên đoạn nên giá trị nhỏ nhất – lớn nhất sẽ đạt tại đầu mút của đoạn

Lời giải:

Ta có  suy ra f(x) là hàm số nghịch biến trên [a;b]

Mà  . Vậy 

Đáp án C

Phương pháp giải:

Dựa vào hình dáng, giao điểm với hai trục tọa độ của đồ thị hàm số để tìm hàm số

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:

Đồ thị hàm số nằm phía trên trục Ox => Hàm số mũ $y=a^x$

Hàm số nghịch biến trên Hệ số a<1

Vậy hàm số cần tìm là $y={(0,8)}^x$