50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay có lời giải (Đề 3)

Câu 1:

17/06/2026

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x $-$ z + 1 = 0 Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là

A. (3;0; $-$ 1)

B. (3; $-$ 1;1)

C. (3; $-$ 1;0)

D. ( $-$ 3;1;1)

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 2:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ ; $S B = a \sqrt{3}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a

A. $V = a^{3} \sqrt{2}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có:

Do đó

Câu 3:

17/06/2026

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x + 2$ . Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là

A. ( $-$ 2;0)

B. ( $-$ 1;4)

C. (0;1)

D. (1;0)

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

Mặt khác

Tọa độ cực tiểu của đồ thị hàm số là (1;0)

Câu 4:

17/06/2026

Tập xác định của hàm số $y = {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}$ là

A. (1;+ $\infty$ )

B. [1;+ $\infty$ )

C. (0;+ $\infty$ )

D. R\{1}

Xem đáp án

Đáp án A.

Hàm số xác định

Câu 5:

17/06/2026

Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức $z = \frac{(2 - 3 i) (4 - i)}{3 + 2 i}$

A. ( $-$ 1;4)

B. (1;4)

C. (1; $-$ 4)

D. ( $-$ 1;4)

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có

$z = \frac{(2 - 3 i) (4 - i)}{3 + 2 i}$ = $-$ 1 $-$ 4i

Câu 6:

17/06/2026

Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là

A. $A_{7}^{3}$

B. $C_{7}^{3}$

C. 7

D. $\frac{7!}{3!}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 7:

17/06/2026

Tìm đạo hàm y’ của hàm số y = sinx + cosx

A. y’ = 2cosx

B. y’ = 2sinx

C. y’ = sinx - cosx

D. y’ = cosx - sinx

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 8:

17/06/2026

Một hình nón tròn xoay có đường cao h, bán kính đáy r và đường sinh l. Biểu thức nào sau đây dùng để tính diện tích xung quanh của hình nón ?

A. $S_{x q} = π r l$

B. $S_{x q} = 2 π r l$

C. $S_{x q} = π r h$

D. $S_{x q} = 2 π h$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 9:

17/06/2026

Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$

B. $\int f (x) . g (x) d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x$

C. $\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$

D. $\int k . f (x) d x = k \int f (x) d x, k \in Z$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 10:

17/06/2026

Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sinx = 0?

A. cosx= -1

B. cosx= 1

C. tanx = 0

D. cotx = 1

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 11:

17/06/2026

Tìm hàm số F(x) biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{x}$ và F(1) = 11

A. $F (x) = \frac{2}{3} x \sqrt{x}$

B. $F (x) = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + \frac{1}{3}$

C. $F (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2}$

D. $F (x) = \frac{2}{3} x \sqrt{x} - \frac{5}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

Mặt khác

Câu 12:

17/06/2026

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

A. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì cắt nhau

B. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau

D. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 13:

17/06/2026

Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y - \frac{3 x + 2}{x + 1}$

A. x = $-$ 1

B. y = 3

C. y = 2

D. x = 3

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 14:

17/06/2026

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho $O A = 3 k - i$ . Tìm tọa độ điểm A

A. (3;0; -1)

B. (-1;0;3)

C. (-1;3;0)

D. (3;-1;0)

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 15:

17/06/2026

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 2

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2

D. Hàm số có ba cực trị

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 16:

17/06/2026

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = - x^{4} + 1$

B. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1$

C. $y = - x^{4} - 2 x^{2} + 1$

D. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 17:

17/06/2026

Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

A. $y = {(\sqrt{3})}^{x}$

B. $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

C. $y = {(\sqrt{2})}^{x}$

D. $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 18:

17/06/2026

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?

A. $y = x^{3} + x - 5$

B. $y = x^{4} + 3 x^{3} + 4$

C. $y = x^{2} + 1$

D. $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 19:

17/06/2026

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình $4 . 9^{x} - 13 . 6^{x} + 9 . 4^{x} = 0$

A. T = 2

B. T = 3

C. T = 13/4

D. T = 1/4

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 20:

17/06/2026

Tìm tập giá trị T của hàm số $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{5 - x}$

A. T = (3;5)

B. T = [3;5]

C. T = [ $\sqrt{2}$ ;2]

D. T = [0; $\sqrt{2}$ ]

Xem đáp án

Đáp án C.

Hàm số có tập xác định D = [3;5]

Ta có

Suy ra

Câu 21:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(1;2;3); N(2;-3;1); P(3;1;2). Tìm tọa độ điểm Q sao cho MNPQ là hình bình hành

A. Q(2;-6;4)

B. Q(4;-4;0)

C. Q(2;6;4)

D. Q(-4;-4;0)

Xem đáp án

Đáp án C.

Do MNPQ là hình bình hành nên

Câu 22:

17/06/2026

Cho hàm số Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0

A. a = 1

B. a = 3

C. a = 2

D. a = 4

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có

Mặt khác

Hàm số liên tục tại điểm x = 0

Câu 23:

17/06/2026

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;1)

B. (-∞;1)

C. (2;+∞)

D. (0;2)

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)

Câu 24:

17/06/2026

Cho hình trụ có bán kính bằng a. Một mặt phẳng đi qua các tâm của hai đáy và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Thể tích của hình trụ bằng

A. $2 a^{3}$

B. $π a^{3}$

C. $2 π a^{3}$

D. $\frac{2 π a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Bán kính đáy r = a, chiều cao h = 2a

Câu 25:

17/06/2026

Cho cấp số cộng (u_n) có u₅ = -15, u₂₀ = 60. Tổng S₂₀ của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là

A. S₂₀ = 600

B. S₂₀ = 60

C. S₂₀ = 250

D. S₂₀ = 500

Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi số hạng đầu và công sai của CSC (u_n) là u₁, d ta có

Suy ra

Câu 26:

17/06/2026

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R. Biết . hãy tính

A. I = 2

B. I = 1

C. I = 1/2

D. I = 4

Xem đáp án

Đáp án D.

Đặt

Câu 27:

17/06/2026

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) qua ba điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu của điểm M(2;3;-5) xuống các trục Ox, Oy, Oz

A. 15x - 10y - 6z - 30 = 0

B. 15x - 10y - 6z + 30 = 0

C. 15x + 10y - 6z + 30 = 0

D. 15x + 10y - 6z - 30 = 0

Xem đáp án

Đáp án D.

Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là: . hay 15x + 10y - 6z - 30 = 0

Câu 28:

17/06/2026

Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $2 z^{2} - 3 z + 4 = 0$ . Tính $w = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}} + i . z_{1} z_{2}$

A. $w = - \frac{3}{4} + 2 i$

B. $w = \frac{3}{4} + 2 i$

C. $w = 2 + \frac{3}{2} i$

D. $w = \frac{3}{2} + 2 i$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có

Câu 29:

17/06/2026

Cho F(x) = $\frac{a}{x}$ (lnx+b) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1 + \ln x}{x^{2}}$ trong đó a,b $\in$ Z. Tính S = a+b

A. S = -2

B. S = 1

C. S = 2

D. S = 0

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt

Câu 30:

17/06/2026

Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ $\vec{v}$ = (3;3) và đường tròn (C): $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ . Ảnh của (C) qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{v}$ là đường tròn nào ?

A. $(C') : {(x - 4)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$

B. $(C') : {(x - 4)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$

C. $(C') : {(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$

D. $(C') : x^{2} + y^{2} + 8 x + 2 y - 4 = 0$

Xem đáp án

Đáp án B.

Đường tròn (C): $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ có tâm I(1;-2) bán kính R = 3

Gọi I’ là tâm đường tròn (C')

Do đó $(C') : {(x - 4)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$

Câu 31:

17/06/2026

Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Ba mặt phẳng (ABC),(ABD),(ACD) đôi một vuông góc

B. Tam giác BCD vuông

C. Hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) là trực tâm tam giác BCD

D. Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 32:

17/06/2026

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +1 = 0. Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là

A. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

B. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$

D. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 36$

Xem đáp án

Đáp án C.

Bán kính mặt cầu là: R=d(S;(P)) = 2 => (S): ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$

Câu 33:

17/06/2026

Cho số phức z = a+bi (a,b $\in$ Z) thỏa mãn z+1+3i-|z|i = 0. Tính S = a +3b

A. S = 7/3

B. S = -5

C. S = 5

D. S = -7/3

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt z = a+bi (a,b $\in$ Z) ta có:

Câu 34:

17/06/2026

Tìm số giao điểm n của đồ thị hàm số $y = x^{2} |x^{2} - 3|$ và đường thẳng y = 2

A. n = 8

B. n = 2

C. n = 6

D. n = 4

Xem đáp án

Đáp án C.

Phương trình hoành dộ giao điểm là

=> PT có 6 nghiệm

Câu 35:

17/06/2026

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = \frac{m x + 4}{x + m}$ và đường thẳng ( $- \infty$ ;1)

A. -2 < m < -1

B. -2 < m < 2

C. -2 ≤ m ≤ 1

D. -2 < m ≤ -1

Xem đáp án

Đáp án D.

D = R\{-m}; $y' = \frac{m^{2} - 4}{x + m}$

Hàm số nghịch biến trên ( $- \infty$ ;1) <=>

Câu 36:

17/06/2026

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình nghiêm đúng với mọi giá trị x (1;64)

A. m ≤ 0

B. m ≥ 0

C. m < 0

D. m > 0

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt

Khi đó bài toán trở thành

Lập bảng biến thiên suy ra

Câu 37:

17/06/2026

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{2}$ , $y = - \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$ và trục hoành

A. 11/6

B. 61/3

C. 343/162

D. 39/2

Xem đáp án

Đáp án A.

Vì diện tích của 3 đường nên ta cần vẽ hình:

PT hoành độ giao điểm giữa 2 đường $y = x^{2}$ , $y = - \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$ là

Dựa vào hình vẽ ta có:

Câu 38:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0); B(0;3;0); C(0;0;4). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH

A. $\{\begin{cases} x = 4 t \\ y = 3 t \\ z = - 2 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 3 t \\ y = 4 t \\ z = 2 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 6 t \\ y = 4 t \\ z = 3 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 4 t \\ y = 3 t \\ z = 2 t \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Do H là trực tâm tam giác ABC suy ra được H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC) (học sinh tự chứng minh).

Khi đó

Do đó OH: $\{\begin{cases} x = 6 t \\ y = 4 t \\ z = 3 t \end{cases}$

Câu 39:

17/06/2026

Môt sinh viên muốn mua một cái laptop có giá 12,5 triệu đồng nên mỗi tháng gửi tiết kiệm vào ngân hàng 750.000 đồng theo hình thức lãi suất kép với lãi suất 0,72% một tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng sinh viên đó có thể dùng số tiền gửi tiết kiệm để mua được laptop ?

A. 16 tháng

B. 14 tháng

C. 15 tháng

D. 17 tháng

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi n là số tháng ít nhất sinh viên đó cần gửi.

Ta có tổng số tiền cả gốc lẫn lãi sau n tháng là:

Với r = 0,72%, sử dụng máy tính CASIO suy ra n_min = 16

Câu 40:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy (ABCD) trùng với trung điểm AB. Biết AB = a, BC = 2a, BD = a $\sqrt{10}$ . Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy là 60⁰. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a

A. $V = \frac{3 \sqrt{30} a^{3}}{8}$

B. $V = \frac{\sqrt{30} a^{3}}{4}$

C. $V = \frac{\sqrt{30} a^{3}}{12}$

D. $V = \frac{\sqrt{30} a^{3}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án D

Dựng HK $⊥$ BD, do SH $⊥$ BD nên ta có:

(SKH) $⊥$ BD => Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy là góc SKH = 60⁰

Lại có:

Do đó

Vậy

Câu 41:

17/06/2026

Một xe ôtô sau khi chờ đến hết đèn đỏ đã bắt đầu phóng nhanh với vận tóc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol có hình bên. Biết rằng sau 10 s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 50 m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét ?

A. 100/3 m

B. 1100/3 m

C. 1400/3 m

D. 300m

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi (P): $y = a x^{2} + b x + c$ là phương trình parabol

Vì (P) đi qua gốc O và đỉnh I(10;50)

Suy ra phương trình (P) là

Vậy

Câu 42:

17/06/2026

Cho tam giác SOA vuông tại O, có MN//SO với M, N lần lượt nằm trên cạnh SA,OA như hình vẽ bên. Đặt SO = h không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R = OA. Tìm độ dài của MN theo h để thể tích khối trụ là lớn nhất

A. MN = h/2

B. MN = h/3

C. MN = h/4

D. MN = h/6

Xem đáp án

Đáp án B.

Khi quay hình vẽ quanh trục SO sẽ tạo nên khối trụ nội tiếp hình nón.

Suy ra thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật MNPQ.

Theo định lí Talet, ta có

Thể tích khối trụ là

Theo AM – GM ta được

Vậy . Dấu “=” xảy ra khi

Câu 43:

17/06/2026

Biết số phức z thỏa mãn điều kiện |z $-$ 3 $-$ 4i| = $\sqrt{5}$ và biểu thức P = ${|z + 2|}^{2} - {|z - 1|}^{2}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính |z|

A. |z| = 2 $\sqrt{5}$

B. |z| = 50

C. |z| = $\sqrt{10}$

D. |z| = $5 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Đặt z = x + yi (x,y $\in$ Z) => Tập hợp các điểm M là đường tròn (C) có tâm I(3;4), bán kính R = $\sqrt{5}$

Ta có

Ta cần tìm P sao cho đương thẳng (∆) và đường tròn (C) có điểm chung ó d(I;( ∆))≤ R

Do đó maxP = 33. Dấu “=” xảy ra

Vậy |z| = $5 \sqrt{2}$

Câu 44:

17/06/2026

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số lập được từ tập hợp X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 6

A. 4/27

B. 9/28

C. 9/27

D. 4/9

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi số cần tìm có dạng $a b c d$ vì chia hết cho 6

Khi đó, chọn d có 4 cách chọn, b và c đều có 9 cách chọn (từ 1→9).

· Nếu a + b + c + d : 3 thì a = {3,6,9} => có 3 cách chọn a.

· Nếu a + b + c + d : 3 dư 1 thì a = {2,5,8} => có 3 cách chọn a.

· Nếu a + b + c + d : 3 dư 2 thì a = {1,4,7} => có 3 cách chọn a.

Suy ra a chỉ có 3 cách chọn => có 4.9.9.3 = 972 số chia hết cho 6.

Vậy xác suất cần tính là

Câu 45:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.CMN

A. $R = \frac{a \sqrt{29}}{8}$

B. $R = \frac{a \sqrt{93}}{12}$

C. $R = \frac{a \sqrt{37}}{6}$

D. $R = \frac{5 a \sqrt{3}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án B

Xét trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, với O là trung điểm của AD

Chọn a = 1 => => Trung điểm của MN là

Phương trình đường thẳng qua E, song song với Oz là

Gọi I là tâm mặt cầu cần tìm =>

Suy ra

Mà

Vậy

Câu 46:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, CD. Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và (SAC)

A. $\frac{2}{\sqrt{5}}$

B. $\frac{\sqrt{55}}{10}$

C. $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$

D. $\frac{1}{\sqrt{5}}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Lời giải

Dễ thấy

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác MHN vuông tại H, có

Tam giác MHC vuông tại H, có

Tam giác MNC, có $c o s \hat{M N C}$

Vậy cos(MN;(SAC)) = $\sin \hat{M N C} = \sqrt{1 - \cos^{2} \hat{M N C}} = \frac{\sqrt{55}}{10}$

*Phương pháp giải:

+ Bước 1: Tìm giao điểm O của đường thẳng a và (α)

+ Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (α)

+ Bước 3: Góc ∠AOA' = φ chính là góc giữa đường thẳng a và (α)

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó lên trên mặt phẳng.

Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( $α$ ) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( $α$ ) bằng 90 độ.

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( $α$ ) thì góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( $α$ ) là góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của nó lên mặt phẳng ( $α$ ).

2. Kí hiệu góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu a $⊥$ ( $α$ ) thì $\hat{(a, (α))} = 90 °$

Nếu a không vuông góc với ( $α$ ) thì $\hat{(a, (α))} = \hat{(a, a')}$ với a' là hình chiếu của a lên ( $α$ )

3. Nhận xét

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo từ 0 $°$ đến 90 $°$

- Đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng thì góc giữa chúng bằng 0

Xem thêm

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (lý thuyết, công thức) các dạng bài tập và cách giải

TOP 40 câu Trắc nghiệm Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng (có đáp án ) – Toán 11

Câu 47:

17/06/2026

Phương trình 2log₃(cotx) = log₂(cosx) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0;2018π)?

A. 2018 nghiệm

B. 1008 nghiệm

C. 2017 nghiệm

D. 1009 nghiệm

Xem đáp án

Đáp án D.

Điều kiện:

Ta có

Suy ra

Xét hàm số trên R có R

=>f(t) là hàm số đồng biến trên R mà

Kết hợp với điều kiện với k $\in$ Z → Có 1009 nghiệm

Câu 48:

17/06/2026

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn

A. m ≤ 47/64 hoặc m ≥ 47/64

B. 47/64 < m < 3/2

C. 47/64 < m ≤ 3/2

D. 47/64 ≤ m ≤ 3/2

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có , khi đó phương trình đã cho trở thành:

Đặt t = cos4x mà khi đó (*)

Xét hàm số trên [-1;0] có

Tính

Để phương trình đa cho có 4 nghiệm thuộc

Câu 49:

17/06/2026

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V. Tính V

A. $\frac{11 \sqrt{2} a^{3}}{216}$

B. $\frac{7 \sqrt{2} a^{3}}{216}$

C. $\frac{\sqrt{2} a^{3}}{8}$

D. $\frac{13 \sqrt{2} a^{3}}{216}$

Xem đáp án

Đáp án A

Nối chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện gồm PQD.NMB và khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích A.

Dễ thấy P,Q lần lượt là trọng tâm của ∆BCE, ∆ABE

Gọi S là diện tích

Họi h là chiều cao của tứ diện ABCD

Khi đó

Suy ra

Câu 50:

17/06/2026

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f’(x). Xét hàm số g(x) = f(x² – 3). Mệnh đề nào dưới đây sai ?

A. Hàm số g(x) đồng biến trên (–1;0)

B. Hàm số g(x) nghịch biến trên (–∞;–1)

C. Hàm số g(x) nghịch biến trên (1;2)

D. Hàm số g(x) đồng biến trên (2;+ ∞)

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có $\forall x \in R$

Khi đó

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (–1;0) và (1;+ ∞)

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3