Đáp án D

Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ, đưa về phương pháp đổi biến số tính tích phân

Lời giải:

Đặt  và đổi cận 

Khi đó

Vậy S = 2

Đáp án C

Phương pháp giải: Khảo sát hàm số, lập bảng biến thiên trên đoạn tìm max – min

Lời giải:

Ta có 

Tính các giá trị 

Đáp án A

Phương pháp giải:

Dựa vào hình dáng đồ thị, đường tiệm cận và giao điểm với trục tọa độ để xác định hàm số

Lời giải: Dựa vào hình vẽ ta thấy rằng:

Hàm số có dạng bậc nhất trên bậc nhất và nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận là x = $-$1, y = $-$2

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;2) và (1;0)

Vậy hàm số cần tìm là $y=\frac{-2x+2}{x+1}$

Đáp án B

Phương pháp giải: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt và đi qua điểm, tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng chính là tọa độ hình chiếu của điểm

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của A trên 

Vì 

mà 

Vậy tọa độ điểm cần tìm là H (–1;1;–1)

Đáp án C

Phương pháp giải: Công thức tính thể tích khối lập phương

Lời giải: Thể tích khối lập phương cạnh a là $V=a^3$

Đáp án đúng: A

* Lời giải:

Với các số thực dương a, b bất kì , mệnh đề đúng là: $\ln \left(ab\right)=\ln a + \ln b$

* Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

(Giả sử các biểu thức là có nghĩa).

* Lý thuyết cần nắm và dạng toán về hàm số logarit:

HÀM SỐ LOGARIT:

Định nghĩa logarit

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là logab.

$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

Tính chất của logarit

Cho hai số dương a và b; a ≠ 1. Ta có các tính chất sau đây:

loga1 = 0; logaa = 1

$a^{{\log }_{a}b}=b;\log {}_a\left(a^{\alpha }\right)=\alpha$

Quy tắc tính logarit

Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a(b_1.b{}_2)={\log }_a{b}_1+{\log }_{a}b{}_2$

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

Logarit của một thương

– Định lí 2. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a\frac{b_1}{b_2}={\log }_a{b}_1-{\log }_{a}b{}_2$

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Đặc biệt: ${\log }_a\frac{1}{b}=-{\log }_{a}b$( a > 0; b > 0; a ≠ 1)

Logarit của một lũy thừa

– Định lí 3. Cho hai số dương a; b và a ≠ 1 . Với mọi số α, ta có:

${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

– Đặc biệt: ${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

Đổi cơ số logarit

– Định lí 4. Cho ba số dương a; b; c với a ≠ 1; c ≠ 1, ta có:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

– Đặc biệt:

$\begin{array}{l}{\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}(\text{}b\ne 1)\\ {\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b(\alpha \ne 0)\end{array}$

Logarit thập phân. Logarit tự nhiên

Logarit thập phân

Logarit thập phân là logarit cơ số 10.

log10b thường được viết là logb hoặc lgb.

Logarit tự nhiên

– Logarit tự nhiên là logarit cơ số e. Logeb được viết là lnb.

HÀM SỐ MŨ: y = ax, (a > 0, a ≠ 1)

Tập xác định: D = R

Tập giá trị: T = (); +∝), nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt t = af(x) thì t > 0

Tính đơn điệu:

        + Khi a > 1 thì hàm số y = ax đồng biến, khi đó ta luôn có: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x).

        + Khi 0 < a < 1 thì hàm số y = ax nghịch biến, khi đó ta luôn có: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x).

Đạo hàm:

    (ax)' = ax.ln a ⇒ (au)' = u'.au.ln a

    (ex)' = ex ⇒ (eu)' = eu.u'

Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.

Đáp án A

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm lôgarit 

Lời giải: Ta có 

Đáp án C

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số. Dựa vào phương pháp giải bất phương trình lôgarit cơ bản

Lời giải:

Ta có 

Đáp án D

Phương pháp giải: Hàm số đạt cực tiểu tại 

Lời giải: Ta có R

Phương trình 

Khi đó, giá trị cực tiểu của hàm số là y(1) = 0

Đáp án A

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Khoảng  cách  từ  điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 là:

Lời giải:

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là: 

Đáp án B

Phương pháp giải:

Hàm số $y=\sqrt{A}$ xác định <=> A$\ge$0

Hàm số $y={\log }_{a}B$ xác định <=> B>0

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 

Đáp án C

Phương pháp giải: Dựa vào các công thức nguyên hàm cơ bản

Lời giải: Ta có 

Đáp án C

Phương pháp giải: Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên tập xác định <=> a>1

Lời giải:

Dễ thấy  $\forall x\in R$ => Hàm số $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ đồng biến trên R

Đáp án A

Phương pháp giải:

Đưa về phương trình bậc hai ẩn logx sử dụng công thức  (giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Lời giải: ĐK: x > 0

Tích giá trị tất cả các nghiệm của phương trình là: $10\sqrt[9]{10}$

Đáp án B

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp

Lời giải: Thể tích khối chóp cần tính là 

Đáp án D

Phương pháp giải:

Cô lập tham số m, đưa về khảo sát hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình

Lời giải:

Xét hàm số có  

Để phương trình F(x) = m – 1 có 3 nghiệm phân biệt 

Đáp án C

Phương pháp giải:

Xác định hình chiếu của đỉnh, xác định góc để tìm chiều cao và áp dụng công thức thể tích

Lời giải:

Gọi O là tâm hình vuông  ABCD , H là trọng tâm tam giác ABD

Ta có 

ABCD là hình vuông cạnh a nên 

Tam giác HDO vuông tại  O, có 

Tam giác SHD vuông tại  H, có 

Vậy thể tích cần tính  là 

Đáp án C

Phương pháp giải:

Chia trường hợp của biến cố, áp dụng các quy tắc đếm cơ bản tìm số phần tử của biến cố

Lời giải:

Lấy 6 sản phẩm từ 20 sản phẩm lô hàng có  cách 

Gọi X là biến cố 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm. Khi đó, ta xét các trường hợp sau:

TH1. 6 sản phẩm lấy ra 0 có phế phẩm  nào => có  cách

TH2. 6 sản phẩm lấy ra có duy nhất 1 phế phẩm => có  cách

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là 

Vậy xác suất cần tính là 

Đáp án D

Phương pháp giải: Xác định độ dài đường sinh qua góc và bán kính, tính diện tích tam giác vuông bằng tích hai cạnh góc vuông

Lời giải: Ta có 

Diện tích cần tính là 

Đáp án B

Phương pháp giải:  Đặt ẩn phụ $t=\sqrt[3]{1+x^2}$ , đưa về tích phân hàm đa thức.

Lời giải:

Đặt 

và 

Khi đó 

Vậy 

Đáp án A

Phương pháp giải:

Dựng hình, tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và tính bán kính dựa vào tam giác vuông

Lời giải: Xét lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh bằng  a.

Gọi O là tâm tam giác  ABC, M là trung điểm của AA’

Qua O kẻ $d_1\perp \left(ABC\right)$, qua  M kẻ $d_2\perp AA\text{'}$ và $d_1\cap d_2=I$

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ  ABC.A'B'C

Tam giác  IAO vuông tại  O, có 

Mà 

Vậy diện tích cần tính là 

Đáp án A

Phương pháp giải: Tìm tập xác định, tính giới hạn của hàm số dựa vào định nghĩa tiệm cận đứng, tiệm cận ngang

Lời giải:

Vì hàm số xác định trên khoảng  $\left(-\sqrt{6};\sqrt{6}\right)$ không chứa ∞ nên không tồn tại ∞

Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Xét hệ phương trình  Đồ thị hàm số có duy nhất 1 tiệm cận đứng

Đáp án C

Phương pháp giải:

Tìm hoành độ giao điểm, áp dụng công thức tính diện tích giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của $\left(P_1\right), \left(P_2\right)$ là nghiệm của phương trình:

Vậy diện tích cần tính là

Đáp án D

Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân

Lời giải: Đặt 

Khi đó 

Đáp án D

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tìm số chữ số của một số vô cùng lớn

Lời giải:

Số các chữ số của số $7^{100000}$ là 

= 84509 + 1 = 84510

Đáp án B

Phương pháp giải: Sử dụng công thức lôgarit, đưa về phương trình lôgarit cùng cơ số

Lời giải: Điều kiện: x >1

Ta có:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Đáp án C

Phương pháp giải: Sử dụng biến cố đối và các quy tắc đếm cơ bản.

Lời giải:

Chọn 3 quyển sách trong 15 quyển sách có  cách => n(Ω) = 455

Gọi X là biến cố 3 quyển sách được lấy ra có ít nhất một quyển sách là toán.

Và $\overline{X}$ là biến cố 3 quyển sách được lấy ra không có quyển sách toán. Khi đó, ta xét các trường hợp sau:

TH1. Lấy được 2 quyển lý, 1 quyển hóa => có  cách

TH2. Lấy được 1 quyển lý, 2 quyển hóa => có cách

TH3. Lấy được 3 quyển lý, 0 quyển hóa => có  cách

TH4. Lấy được 0 quyển lý, 3 quyển hóa => có  cách

Suy ra số phần tử của biến cố $\overline{X}$ là 

Vậy xác suất cần tính là 

Đáp án D

Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện để hàm số b1 trên b1 đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng

Lời giải: Ta có 

Yêu cầu bài toán 

Đáp án A

Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định

Lời giải:

Ta có $y=x^3-3m{x}^2+3(2m-1)x+1$  R

Hàm số đồng biến trên R R R

Đáp án A

Phương pháp giải: Dựng chiều cao, xác định góc và độ dài đường cao của khối chóp

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của AB 

Và H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD)

Khi đó (SAB); (ABCD) = (SM;MH) = SMH = 60⁰

$△$SMH vuông tại H, có 

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là 

Đáp án B

Phương pháp giải: Áp dụng định lí Vi-et của phương trình bậc hai.

Lời giải: Ta có

Đáp án B

Phương pháp giải: Quy đồng, đưa về dạng tích và sử dụng công thức tích thành tổng

Lời giải: Điều kiện: 

Ta có cos3x.tan4x=sin5x ó cos3x.sin4x = cos4x.sin5x

Đáp án A

Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện để hàm số bậc nhất trên bậc nhất  đồng biến hoặc nghịch biến trên  các  khoảng  xác định của nó.

Lời giải:

Ta có 

Hàm số nghịch biến trên

Đáp án C

Phương pháp giải:

Dựa vào phương pháp tính giới hạn (nhân liên hợp) của dạng vô định ∞ - ∞

Lời giải: Ta có 

Khi đó 

Chú ý và sai lầm : Học sinh có thể sử dụng MTCT cho bài toán này

Đáp án B

Phương pháp giải: Bấm máy hoặc khai triển bằng  tay tìm số phức w

Lời giải:

Ta có 

Vậy 

Đáp án A

Phương pháp giải:

Vì điểm M thuộc d nên tham số hóa tọa độ điểm M, tính tổng  $M{A}^2+M{B}^2$ đưa về khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất

Lời giải:

Vì  suy ra $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AM}=(t-2;4-2t;2t)\\ \overrightarrow{BM}=(t;2-2t;2t-2)\end{array}\right.$

Khi đó 

Dễ thấy 

Vậy T_min = 10. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 1 => M(2;0;5)

Đáp án B

Phương pháp giải:

Dựng hình, xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau để tính chiều cao lăng trụ

Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có 

Kẻ  => MH là đoạn vuông  góc chung của BC, AA’

Mà 

Xét tam giác vuông AA’G có : 

Vậy thể tích cần tính là: 

Đáp án C

Phương pháp giải: Áp dụng công thức bài toán vay vốn trả góp, hoặc tìm từng tháng, dùng phương pháp quy  nạp và đưa về tổng của cấp số nhân

Lời giải:

Sau tháng thứ nhất số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là 500(1+0,5%) - 10 triệu đồng.

Sau tháng thứ hai số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là

[500(1+0,5%) – 10].(1+0,5%) – 10 = 500.(1+0,5%)² – 10[(1+0,5%)+1] triệu đồng

Sau tháng thứ ba số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là

500.(1+0,5%)³ – 10[(1+0,5%)² + (1+0,5%) +1] triệu đồng

Số tiền gốc còn lại sau tháng thứ  n là

500(2+0,5%)ⁿ – 10[(1+0,5%)^n-1 + (1+0,5%)^n-2 + … + 1] triệu đồng

Đặt y = 1+0,5% = 1,005 thì ta có số tiền gốc còn lại trong ngân hàng sau tháng thứ  n là

Vì lúc này số tiền cả gốc lẫn lãi đã trả hết

Vậy sau 58 tháng thì người đó trả hết nợ ngân hàng

Đáp án A

Phương pháp giải:

Giải phương trình f’ bằng 0, tìm nghiệm và lập bảng biến thiên xét điểm cực trị

Lời giải:

Ta có 

Dễ thấy f’(x) đổi dấu khi đi qua 3 điểm  => Hàm số có 3 điểm cực trị.

Đáp án D

Phương pháp giải:

Chia trường hợp để phá trị tuyệt đối, sử dụng đổi biến số để đưa về tích phân đề bài cho

Lời giải:

Ta có

+ Đặt  và . Khi đó 

+ Đặt  và . Khi đó 

Vậy 

Đáp án C

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, từ đó đánh giá giá trị lớn nhất của biểu thức.

Lời giải:

${\log }_{\sqrt{3}}\frac{x+y}{x^2+y^2+xy+2}$ = $x(x-3)+y(y-3)+xy$ (1)

(2)

Đặt

=> f(t) đồng biến trên (0;+∞)

Khi đó, 

vì 

Vậy P_max = 1 khi  và chỉ khi 

Đáp án C

Phương pháp giải: Sử dụng biến cố đối và các quy tắc đếm cơ bản

Lời giải:

Ta đi làm phần đối của giả thiết, tức là chọn 6 học sinh giỏi chỉ lấy từ một khối hoặc hai khối.

Chọn 6 học sinh giỏi trong 15 học sinh giỏi của 3 khối có $C_{15}^6=5005$ cách

Số cách chọn 6 học sinh giỏi bằng cách chỉ lấy từ 1 khối 12 là $C_6^6=1$ 

Chọn 6 học sinh giỏi trong 10 học sinh giỏi của 2 khối 12 và 11 có $C_{10}^6=210$ cách, tuy nhiên phải trừ đi 1 trường hợp nếu 6 học sinh chỉ ở khối 12 => số cách chọn là 210 – 1 = 2019 cách

Chọn 6 học sinh giỏi trong 11 học sinh giỏi của 2 khối 12 và 10 có $C_{11}^6=462$ cách, uy nhiên phải trừ đi 1 trường hợp nếu 6 học sinh chỉ ở khối 12  => số cách chọn là 462 – 1 = 461 cách.

Chọn 6 học sinh giỏi trong 9 học sinh giỏi của 2 khối 11 và 10 có $C_9^6=84$ cách

Suy ra số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là 5005 – 209 – 461 – 84 – 1 = 4250 cách

Đáp án B

Phương pháp giải: Chuẩn hóa thể tích, đưa diện tích toàn phần về hàm số, khảo sát hàm (hoặc bất đẳng thức) tìm min

Lời giải:

Thể tích của khối trụ là 

Chuẩn hóa 

Diện tích toàn phần của hình trụ là 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

Đáp án B

Phương pháp giải:

Tâm đường tròn ngoại tiếp cách đều 3 đỉnh của tam giác và thuộc mặt phẳng chứa tam giác

Lời giải:

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=(2;2;1)\\ \overrightarrow{AC}=(1;4;3)\end{array}\Rightarrow \left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=(2;-5;6)\right.$=> Phương trình (ABC): 2x – 5y + 6z – 10 = 0

Vì I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC 

Lại có

Kết hợp với 

. Vậy S = $\frac{46}{5}$

Đáp án D

Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ, đưa về giải phương trình mũ (dạng đẳng cấp bậc hai)

Lời giải:

Đặt 

và 

Suy ra 

Đáp án D

Phương pháp giải: Xét đẳng thức vectơ, đưa về hình chiếu của điểm trên mặt phẳng

Lời giải:

Gọi M(a;b;c) thỏa mãn đẳng thức vectơ $2\overrightarrow{MA }+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

Khi đó $S=2N{A}^2+N{B}^2+N{C}^2$ = $2\overrightarrow{N{A}^2}+\overrightarrow{N{B}^2}+\overrightarrow{N{C}^2}$ = $2{\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MC}\right)}^2$

= $4M{N}^2+2\overrightarrow{NM}\left(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)$ + $\overrightarrow{2M{A}^2}+\overrightarrow{M{B}^2}+\overrightarrow{M{C}^2}$

= $4M{N}^2+\overrightarrow{2M{A}^2}+\overrightarrow{M{B}^2}+\overrightarrow{M{C}^2}$

Suy ra S_min ó MN_min ó N là hình chiếu của M trên(P) => MN$\perp$(P)

Phương trình đường thẳng  MN là 

Mà m$\in$mp(P) suy ra t–(1–t)+t+2+2=0 ó t = –1 => N(–1;2;1)

Đáp án A

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng phương và tính diện tích tam giác

Lời giải: TXĐ : D = R

Ta có R

Phương trình 

Hàm số có 3 điểm cực trị ó (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 

Khi đó 

Gọi ;  là ba điểm cực trị. Tam giác ABC cân tại A.

Trung điểm  H của BC là

Và

 Diện tích tam giác ABC là  

Mà  R suy ra 

Vậy S_max = 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = 0

Đáp án C

Phương pháp giải:

Chọn hệ số a, b, c hoặc đánh giá tích để biện luận số nghiệm của phương trình

Lời giải:

Cách 1. Ta có: 

Lại có  có 3 nghiệm thuộc khoảng 

Cách 2. Chọn  và đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

Đáp án D

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, đưa về hàm một biến, dựa vào giả thiết để tìm điều kiện của biến

Lời giải:

Từ giả thiết chia cả 2 vế cho x²y² ta được :  

Đặt  ta có 

Khi đó  

Ta có  mà 

nên 

Dấu đẳng thức xảy ra khi . Vậy M_max = 16

Đáp án A

Phương pháp giải:

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối nón và áp dụng công thức tính độ dài cùng tròn

Lời giải:

Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của phễu  hình  nón.

Thể tích của khối nón là  với  l là độ dài đường sinh và l = R bán kính tấm bìa  hình tròn =>  vì chuẩn hóa R = 1

Xét hàm số  trên (0;1) có 

Ta có 

Do đó  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

Mà độ dài cung phần cuộn làm phễu chính là chu vi đáy hình nón