Đáp án đúng là: A

Ta có:$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[\frac{1}{2}f\left(x\right)+2\right]dx=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}2dx=2+4=6.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: V = B.h = 3a².2a = 6a³.

Đáp án đúng là: D

Ta có:$\underset{5}{\overset{-1}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{-1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=-\left(-3\right)=3.$

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức . Suy ra f (x) = sin x.

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥; -1) và (0; 1).

Đáp án đúng là: C

Ta có bán kính mặt cầu $R=\sqrt{6}$ . Suy ra đường kính mặt cầu bằng $2R=2\sqrt{6}.$

Đáp án đúng là: C

Do điểm A(1; 2; -3) nên hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là (1; 2; 0).

Đáp án đúng là: C

Thể tích khối chóp S.ABC là:$V=\frac{1}{3}B.h=\frac{1}{3}\mathrm{.10.3}=10.$

Đáp án đúng là: B

Ta có u₂ = u₁.q $\Rightarrow q=\frac{u_2}{u_1}=2.$

Đáp án đúng là: A

Ta có S_xq = 2prh = 4p.

Đáp án đúng là: C

Ta có  suy ra tiệm cận ngang của đồ là đường thẳng y = 1.

Đáp án đúng là: D

ĐKXĐ: x > -1

log₅ (x + 1) > 2

Û log₅ (x + 1) > log₅ 25

Û x + 1 > 25 Û x > 24.

Đáp án đúng là: D

Từ BBT ta nhận thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồng biến trên khoảng (1; +¥). Do đó hàm số là hàm đa thức bậc ba có hệ số a > 0.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\left|z\right|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.$

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng (d) có phương trình y = 1 cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại 2 điểm phân biệt.

Suy ra phương trình f (x) = 1 có 2 nghiệm thực phân biệt.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x - 4 > 0 Û x > 4.

Tập xác định: D = (4; +¥).

Đáp án đúng là: B

Với a > 0, ta có $4\log \sqrt{a}=4\log \left(a^{\frac{1}{2}}\right)=4.\frac{1}{2}\log a=2\log a.$

Đáp án đúng là: C

Số các tổ hợp chập 3 của 12 phần tử là

Đáp án đúng là: D

Từ bảng biến thiên ta suy ra: điểm cực tiểu của hàm số đã cho là x = 1.

Đáp án đúng là: B

Phương trình của mặt phẳng (Oyz) là: x = 0.

Đáp án đúng là: A

3^{2x + 1} = 3^{2 - x} Û 2x + 1 = 2 - x

Û 3x = 1

Đáp án đúng là: B

Dựa vào hình dáng của đồ thị. Ta thấy hàm số đã cho có 3 cực trị.

Đáp án đúng là: C

Theo định nghĩa phương trình đường thẳng. Ta có $\overrightarrow{u_3}=\left(1;-2;3\right)$   là một véc-tơ chỉ phương của d .

Đáp án đúng là: C

Ta có chiều cao hình nón h OI = 3, bán kính đáy r = IM = 4 thì độ dài đường sinh là:

$l=OM=\sqrt{I{M}^2+O{I}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5.$

Đáp án đúng là: C

Điểm biểu diễn số phức z = 2 - 7i trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ là (2; -7).

Đáp án đúng là: B

Vì z₁ = 2 + 3i và z₂ = 1 - i nên z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (1 - i) = 3 + 2i.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int \left(e^x+2x\right)dx=e^x+x^2+C.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: y' = - 3x^{-3 - 1} = - 3x^-4.

Đáp án đúng là: D

Ta có:$\overrightarrow{AB}\left(2;-2;2\right);\overrightarrow{AC}\left(1;0;-1\right).$

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có véc-tơ chỉ phương là $\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(2;4;2\right)\nearrow \nearrow \left(1;2;1\right)$

 nên có phương trình:

$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{1}.$

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f (x) = x³ - 3x² - 9x + 10 trên đoạn [-2; 2]

Þ f '(x) = 3x² - 6x - 9.

f '(x) = 0 Û 3x² - 6x - 9 = 0 $\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\in \left[-2;2\right]\\ x=3\notin \left[-2;2\right]\end{array}\right.$

Ta có:

f (-2) = 8; f (-1) = 15; f (2) = -12.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x³ - 3x² - 9x + 10 trên đoạn [-2; 2] bằng 15.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: (6 - x)(x + 2) > 0

Û - x² + 4x + 12 > 0 Û -2 < x < 6.

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên thuộc tập xác định của hàm số y = log [(6 - x)(x + 2)].

Đáp án đúng là: B

Vì phương trình z² + z + 6 = 0 có hai nghiệm z₁ và z₂.

Theo định lí Vi-et, ta có:$\left\{\begin{array}{c}{z}_1+z_2=-1\\ z_1{z}_2=6\end{array}\right.$ .

Do đó: z₁ + z₂ + z₁z₂ = -1 + 6 = 5.

Đáp án đúng là: B

Tam giác ABC vuông tại B nên $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=1.$

Ta có:$\left\{\begin{array}{c}\left(ABC\text{'}\right)\cap \left(ABC\right)=AB\\ AB\perp BCtaiB,BC\subset \left(ABC\right)\left(DoBC\perp \left(AA\text{'}B\text{'}B\right)\right)\\ AB\perp BC\text{'}taiB,BC\text{'}\subset \left(ABC\text{'}\right)\left(DoAB\perp \left(CC\text{'}B\text{'}B\right)\right)\end{array}\right.$

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (ABC') và (ABC) là góc $\widehat{C\text{'}BC}.$

Xét DC'BC vuông tại C ta có:

$\tan \widehat{C\text{'}BC}=\frac{CC\text{'}}{BC}=\frac{AA\text{'}}{BC}=1\Rightarrow \widehat{C\text{'}BC}=45°.$

Vạy góc giữa hai mặt phẳng (ABC') và (ABC) là 45°.

Đáp án đúng là: D

A'C' Ì (A'B'C'D'),

BD // (A'B'C'D')

Þ d (BD, A'C') = d (BD, (A'B'C'D'))

= d (B, (A'B'C'D')) = BB' = 3a.

Đáp án đúng là: D

*Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện cho hàm số đó xác định rồi tính đạo hàm của hàm số và xét sự đồng biến/nghịch biến của hàm số đó

*Lời giải:

Ta có: y = x³ + x

$\Rightarrow$ y' = 3x² + 1 > 0 , x $\in$ ℝ.

*Các dạng bài tập thường gặp sự đồng biến/nghịch biến của hàm số:

a) Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số. 

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

– Bước 2: Tính đạo hàm f′(x) , sau đó tìm các điểm x1,x2,…,xn  mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không xác định.

– Bước 3: Xét dấu đạo hàm và đưa ra kết luận về khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

+ Các khoảng mà f′(x)>0 là các khoảng đồng biến của hàm số.

+ Các khoảng mà f′(x)<0 là các khoảng nghịch biến của hàm số.

b) Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Tính f′(x).

– Bước 2: Nêu các điều kiện của bài toán:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên R⇔y′=f′(x)⩾0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên R⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

– Bước 3: Từ các điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai để tìm m. 

c) Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D đã cho trước.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Nêu các điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên D⇔y′=f′(x)⩾0, với ∀x∈D.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên D⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈D.

– Bước 2: Từ điều kiện trên hãy sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm m.

- Bước 3: Kết luận

d) Dạng 4: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

– Bước 1: Tính y′

– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến và nghịch biến:

– Bước 3: Đưa ra kết luận.

Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (có đáp án)

Bài tập Sự đồng biến nghịch biến của hàm số Toán 12 mới nhất

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng đi qua A và song song với (P) có phương trình là

2x - (y + 3) + 3(z - 2) = 0

Û 2x - y + 3z - 9 = 0.

Đáp án đúng là: D

Từ 40 đến 60 ta có 21 số nên n (W) = 21

Các số thỏa mãn đề bài: 45; 46; 47; 48; 49; 56; 57; 58; 59 Þ Có 9 số.

Xác suất để chọn được số thoản mãn đề bài:

Đáp án đúng là: B

+) TH1:$\left\{\begin{array}{c}{3}^b-3>0\\ a{.2}^b-18<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{3}^b>3\\ 2^b<\frac{18}{a}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}b>1\\ b<{\log }_2\left(\frac{18}{a}\right)\end{array}\right.$

$\iff 1<b<{\log }_2\left(\frac{18}{a}\right)$

Để có đúng ba số nguyên b thì $4<{\log }_2\left(\frac{18}{a}\right)\le 5\iff 16<\frac{18}{a}\le 32\iff \frac{9}{16}\le a<\frac{9}{8}.$

Trường hợp này có 1 giá trị a = 1 nguyên thỏa mãn.

+) TH2: $\left\{\begin{array}{c}{3}^b-3<0\\ a{.2}^b-18>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{3}^b<3\\ 2^b>\frac{18}{a}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}b<1\\ b>{\log }_2\left(\frac{18}{a}\right)\end{array}\right.$

Để có đúng ba số nguyên b thì

$-3\le {\log }_2\left(\frac{18}{a}\right)<-2\iff \frac{1}{8}\le \frac{18}{a}<\frac{1}{4}\iff 72<a\le 144.$

Trường hợp này có 144 - 72 = 72 giá trị a nguyên thỏa mãn.

Vậy số giá trị nguyên của a là: 72 + 1 = 73.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

f '(x) = 4(m - 1)x³ - 4mx = 4x[(m - 1)x² - m]

f '(x) = 0  ( m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán)

Vì $\underset{\left[0;3\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(2\right)$  Þ x = 2 là nghiệm của f '(x) = 0

$\Rightarrow \frac{m}{m-1}=4\Rightarrow m=4m-4\Rightarrow m=\frac{4}{3}$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^4-\frac{8}{3}{x}^2+1$

f (0) = 1;$f\left(3\right)=\frac{81}{3}-\frac{72}{3}+\frac{3}{3}=\frac{12}{3}=4$

Vậy $\underset{\left[0;3\right]}{\max }f\left(x\right)=4.$

Đáp án đúng là: D

Ta có:

F (x), G (x) là nguyên hàm của f (x) Þ F (x) = G (x) + C

$\Rightarrow S=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|F\left(x\right)-G\left(x\right)\right|dx=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|C\right|dx=\left|\underset{0}{\overset{3}{\int }}Cdx\right|=\left|3C\right|=15$

Þ |C| = 5 Þ C = ±5

$\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(3\right)-G\left(0\right)=F\left(3\right)-\left(G\left(0\right)+C\right)$

= F (3) - G (0) - C = F (3) - G (0) + a

Þ a = -C = 5 (do a > 0)

Đáp án đúng là: D

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P) và trục Ox .

Ta có: d (A; (P)) = AH £ AK.

Suy ra khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất khi H º K, hay mặt phẳng (P) nhận véc-tơ $\overrightarrow{AK}$ làm véc-tơ pháp tuyến.

K là hình chiếu của A trên trục Ox suy ra: K(1; 0; 0), .

Mặt phẳng (P) đi qua K có phương trình:

-2(y - 0) + 2(z + 0) = 0 Û y - z = 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có SH = 4

$AB=2.AH=2.SH.\tan \widehat{ASH}=\mathrm{2.4.}\tan 60°=8\sqrt{3}$

Có OS là bán kính mặt cầu cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp DSAB

Suy ra:$2OS=\frac{AB}{\sin ASB}\Rightarrow OS=\frac{8\sqrt{3}}{2.\sin 120°}=8$

Vậy diện tích mặt cầu: S = 4p.8² = 256p.

Đáp án đúng là: C

Ta có:$a^{4x-{\log }_5{a}^2}\le {25}^{40-y^2}\iff {\log }_5{a}^{4x-{\log }_5{a}^2}\le {\log }_5{25}^{40-y^2}$

Û (4x - 2log₅ a)log₅ a £ 2(40 - y²)

Coi (*) là bất phương trình bậc hai ẩn log₅ a

Để (*) đúng với mọi số thực dương a thì

D' £ 0 Û x² - (40 - y²) £ 0 Û x² + y² - 40 £ 0 (1)

Ta có biểu thức (1) là hình tròn (C₁) tâm O(0; 0), bán kính .

Mặt khác P = x² + y² + x - 3y Û x² + y² + x - 3y - P = 0 là phương trình đường tròn (C₂) tâm , bán kính .

Để tồn tại điểm chung của đường tròn (C₂) với hình tròn (C₁) thì

$R_2\le R_1+OI\iff \frac{1}{2}\sqrt{10+4P}\le 2\sqrt{10}+\frac{1}{2}\sqrt{10}$

$\iff \sqrt{10+4P}\le 5\sqrt{10}\iff P\le 60$

Vậy P_max = 60.

Đáp án đúng là: B

Đáp án đúng là: D

Ta có ${\left|z+4i\right|}^2=\left|\left(z-4\right)\left(\overline{z}-4i\right)\right|=\left|\left(z-4\right)\left(\overline{z+4i}\right)\right|$

$=\left|z-4\right|\left|\overline{z+4i}\right|=\left|z-4\right|\left|z+4i\right|$

Suy ra |z + 4i| = 0 hoặc |z + 4i| = |z - 4|.

Nếu |z + 4i| = 0 thì z = - 4i : $\left\{\begin{array}{c}\left|z^2\right|={\left|4i\right|}^2=16\\ 2\left|z-\overline{z}\right|=2\left|-8i\right|=16\end{array}\right.$  thỏa mãn.

Nếu |z + 4i| = |z - 4| thì đặt z = x + yi với x, y Î ℝ ta được

$\left\{\begin{array}{c}\sqrt{x^2+{\left(y+4\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-4\right)}^2+y^2}\\ x^2+y^2=4\left|y\right|\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=-y\\ 2{\left|y\right|}^2=4\left|y\right|\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}y=0\\ x=0\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{c}y=2\\ x=-2\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{c}y=-2\\ x=2\end{array}\right.$

Vậy có 4 số phức thỏa mãn là 0, 2 - 2i, - 2 + 2i, - 4i.

Đáp án đúng là: B

Ta có I(1; 3; 9) và R = 3. Suy ra d (I, (OMN)) = 3.

Vậy mặt cầu (S) tiếp xúc (OMN) tại A(1; 0; 9).

Gọi tọa độ M(m; 0; 0) và N(0; 0; n).

Ta có $\overrightarrow{AM}=\left(m-1;0;-9\right);\overrightarrow{AN}=\left(-1;0;n-9\right).$

Do A, M, N thẳng hàng nên (m - 1)(n - 9) = 9 (1).

Do IA ^ (OMN) và H là trung điểm MN thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp DOMN.

Suy ra K là tâm mặt cầu ngoại tiếp IOMN Þ KH Ì (IMN)

bán kính đường tròn ngoại tiếp DIMN bằng  (đường tròn lớn)

$\frac{1}{2}.IH.MN=\frac{IM.IN.MN}{4.\frac{13}{2}}\iff IM.IN=39$

Û ((m - 1)² + 90)((n - 9)² + 10) = 1521 (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left\{\begin{array}{c}\left(m-1\right)\left(n-9\right)=9\\ \left({\left(m-1\right)}^2+90\right)\left({\left(n-9\right)}^2+10\right)=1521\end{array}\right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{c}u={\left(m-1\right)}^2\\ v={\left(n-9\right)}^2\end{array}\right.$  , ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{c}uv=81\\ \left({\left(m-1\right)}^2+90\right)\left({\left(n-9\right)}^2+10\right)=1521\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}uv=81\\ \left(u+90\right)\left(v+10\right)=1521\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}uv=81\\ 90v+10u=540\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}u=27\\ v=3\end{array}\right.$

Vậy $AM.AN=\sqrt{u+81}.\sqrt{v+1}=12\sqrt{3}.$

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số y = x⁴ - 2mx² + 64x.

Ta có: y' = 4x³ - 4mx + 64 (*)

Phương trình hoành độ giao điểm:$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^3-2mx+64=0\left(1\right)\end{array}\right.$

x⁴ - 2mx² + 64x = 0

Phương trình (1) luôn có một nghiệm x ¹ 0 nên đồ thị hàm số y = x⁴ - 2mx² + 64x cắt Ox ít nhất hai điểm và $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(x^4-2m{x}^2+64x\right)=+\infty$  .

Suy ra để hàm số y = |x⁴ - 2mx² + 64x| có 3 điểm cực trị thì hàm số y = x⁴ - 2mx² + 64x có đúng một điểm cực trị Û phương trình (*) có đúng một nghiệm đơn

$\Rightarrow m=x^2+\frac{16}{x}$ có đúng một nghiệm đơn.

Xét hàm số: $f\left(x\right)=x^2+\frac{16}{x},f\text{'}\left(x\right)=2x-\frac{16}{x^2}.$

Bảng biến thiên: $f\text{'}\left(x\right)=0\iff 2x-\frac{16}{x^2}=0\iff x=2.$

Từ bảng biến thiên suy ra m £ 12.

Suy ra:$\left\{\begin{array}{c}m\in {\mathbb{Z}}^{+}\\ m\le 12\end{array}\right.\Rightarrow m\in \left\{1;2;3;\mathrm{...};11;12\right\}.$

Vậy có 12 giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = |x⁴ - 2mx² + 64x| có đúng ba điểm cực trị.