Đáp án đúng là: B

Số con mèo có cân nặng nhỏ hơn 100 gam trong mẫu số liệu trên là 3 + 3 = 6 (con).

Đáp án đúng là: D

Cỡ mẫu \(n = 50\).

Ta có bảng sau:

Điểm trung bình của mẫu áo trong mẫu số liệu trên là

\(\overline x = \frac{{9 \cdot 55 + 10 \cdot 65 + 23 \cdot 75 + 6 \cdot 85 + 2 \cdot 95}}{{50}} = 71,4\).

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu \(n = 50\).

Gọi \({x_1};\,{x_2};...;\,{x_{50}}\) là điểm của mẫu áo do 50 người đánh giá trong mẫu số liệu ở Câu 34 và giả sử dãy này đã được xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó trung vị của mẫu số liệu là \(\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}\). Do \({x_{25}},{x_{26}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {70;\,80} \right)\) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, \(p = 3,{a_3} = 70,{m_3} = 23,{m_1} + {m_2} = 9 + 10 = 19\),\({a_4} - {a_3} = 80 - 70 = 10\) và ta có:

\({M_e} = 70 + \frac{{\frac{{50}}{2} - 23}}{{19}} \cdot 10 \approx 73\).

Đáp án đúng là: C

Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố \(A\) và \[B\] được gọi là độc lập với nhau.

Đáp án đúng là: D

Với hai biến cố \(A\) và \[B\] bất kì thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Biến cố hợp của \(A\) và \(B\), kí hiệu là \(A \cup B\).

Đáp án đúng là: C

\(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập thì hai biến cố \(A\) và \(\overline B \) cũng độc lập với nhau.

Đáp án đúng là: D

Xét hai biến cố:

\(A\): “Học sinh đó học khá môn Ngữ văn”;

\(B\): “Học sinh đó học khá môn Toán”.

Theo đề bài, ta có: \(P\left( A \right) = 19\% = 0,19;\,\,P\left( B \right) = 32\% = 0,32;\,\,P\left( {AB} \right) = 7\% = 0,07\).

Theo công thức cộng xác suất, ta có:

\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,19 + 0,32 - 0,07 = 0,44\).

Do đó, xác suất để chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường X học khá môn Ngữ văn hoặc học khá môn Toán là 0,44.

Vậy tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn hoặc học khá môn Toán của trường X là 44%.

Đáp án đúng là: C

Xét biến cố \(A\): “Bạn Hùng bắn trúng bia”, ta có \(P\left( A \right) = 0,7\).

Xét biến cố \(B\): “Bạn Dũng bắn trúng bia”, ta có \(P\left( B \right) = 0,8\).

Ta thấy \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập và \(C = A \cap B\), suy ra

\(P\left( C \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,7 \cdot 0,8 = 0,56\).

Đáp án đúng là: A

Với \(a\) là số thực khác \(0\), ta có \({a^0} = 1\); \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\).

Vậy đáp án A đúng và các đáp án B, C, D sai.

Đáp án đúng là: A

Biểu thức \(M = {2^0}\) và \(Q = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}}\) có nghĩa.

Đáp án đúng là: C

Xét từng đáp án ta có:

+) \({4^{2m}} = {\left( {{2^2}} \right)^{2m}} = {\left( {{2^{2 \cdot 2}}} \right)^m} = {\left( {{2^4}} \right)^m}\).

+) \({2^m} \cdot \left( {{2^{3m}}} \right) = {2^{m + 3m}} = {2^{4m}} = {\left( {{2^4}} \right)^m}\).

+) \({4^m} \cdot \left( {{2^m}} \right) = {\left( {{2^2}} \right)^m} \cdot {2^m} = {2^{2m}} \cdot {2^m} = {2^{2m + m}} = {2^{3m}} = {\left( {{2^3}} \right)^m}\).

+) \({2^{4m}} = {\left( {{2^4}} \right)^m}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(P = \frac{{{a^{2 + \sqrt 3 }} \cdot {{\left( {{a^{1 - \sqrt 3 }}} \right)}^{1 + \sqrt 3 }}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{a^{2 + \sqrt 3 }} \cdot {a^{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{a^{2 + \sqrt 3 }} \cdot {a^{ - 2}}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{a^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}} = \frac{1}{a}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \({4^x} + {4^{ - x}} = {\left( {{2^2}} \right)^x} + {\left( {{2^2}} \right)^{ - x}} = {\left( {{2^x}} \right)^2} + {\left( {{2^{ - x}}} \right)^2} + 2 \cdot {2^x} \cdot {2^{ - x}} - 2 = {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} - 2\).

Vì \({4^x} + {4^{ - x}} = 7\) nên \({\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} - 2 = 7\), tức là \({\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 9\).

Suy ra \({2^x} + {2^{ - x}} = 3\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,{2^x} + {2^{ - x}} > 0} \right)\).

Khi đó \(P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + 4 \cdot {2^x} + 4 \cdot {2^{ - x}}}} = \frac{{5 - \left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}{{8 + 4\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}} = \frac{{5 - 3}}{{8 + 4 \cdot 3}} = \frac{2}{{20}} = \frac{1}{{10}}\).

Do vậy \(a = 1,\,\,b = 10\) và \(ab = 10\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \({\log _a}\frac{1}{x} = {\log _a}1 - {\log _a}x = 0 - {\log _a}x = - {\log _a}x \ne \frac{1}{{{{\log }_a}x}}\). Vậy đáp án C sai.

Đáp án đúng là: B

Với \(0 < a \ne 1\) thì ta có \({\log _a}a = 1\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}} = {a^{{{\log }_{{a^{\frac{1}{2}}}}}4}} = {a^{2{{\log }_a}{2^2}}} = {a^{4{{\log }_a}2}} = {\left( {{a^{{{\log }_a}2}}} \right)^4} = {2^4} = 16\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(5{\log _2}a + 4{\log _2}b = {\log _2}{a^5} + {\log _2}{b^4} = {\log _2}\left( {{a^5}{b^4}} \right)\).

Do đó, \(x = {a^5}{b^4}\).

Đáp án đúng là: B

Vì \({\log _2}x = \sqrt 2 \) nên \(x > 0\).

Khi đó ta có \(A = {\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}{x^3} + {\log _4}x\)\( = 2{\log _2}x + 3{\log _{{2^{ - 1}}}}x + {\log _{{2^2}}}x\)

                        \( = 2{\log _2}x - 3{\log _2}x + \frac{1}{2}{\log _2}x = - \frac{1}{2}{\log _2}x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Hàm số $y={\left(2a-1\right)}^x$ là hàm số mũ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}2a-1>0\\ 2a-1\ne 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a>\frac{1}{2}\\ a\ne 1\end{array}\right.$

Vậy \(a \in \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: B

Hàm số \(y = {\log _a}x\) có tập xác định là \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) nên ta loại hình (I) và (II).

Vì cơ số \(a > 1\) nên hàm số này đồng biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), tức là đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải, do vậy hình (III) là dạng đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x;{\rm{ }}a > 1\).

Đáp án đúng là: C

Hàm số \(y = {7^x}\) là hàm số mũ cơ số \(7\).

Đáp án đúng là: B

Quan sát hình vẽ ta thấy:

+) Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) đi lên từ trái qua phải nên hàm số này đồng biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(a > 1\).

+) Đồ thị hàm số \(y = {\log _b}x\) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số này nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(0 < b < 1\).

Đáp án đúng là: D

ĐKXĐ: \(2x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\).

Vậy tập xác định của hàm số \[y = \log \left( {2x - {x^2}} \right)\] là \(D = \left( {0;2} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Hai đường thẳng \[a\] và \(b\) vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng \(90^\circ .\)

Đáp án đúng là: A

Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[c\] khi \[b\] song song với \[c\] (hoặc \[b\] trùng với \[c\]).

Đáp án đúng là: A

Vì \[ABCD.EFGH\] là hình hộp chữ nhật nên \(AE{\rm{//}}CG\).

Do đó, \(\left( {AE,\,CD} \right) = \left( {CG,\,CD} \right) = \widehat {DCG} = 90^\circ \).

Đáp án đúng là: D

Qua điểm \(O\) cho trước, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) cho trước.

Đáp án đúng là: B

Đáp án B sai do thiếu yếu tố hai đường thẳng phải cắt nhau.

Đáp án đúng là: D

Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), suy ra \(SA \bot BC\).

Lại có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AB \bot BC\).

Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \(BC \bot SB\).

Đáp án đúng là: C

Vì \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) nên \(BO \bot AC\).

Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)nên \(SA \bot BO\).

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BO \bot AC\\BO \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BO \bot \left( {SAC} \right)\).

Suy ra \(O\) là hình chiếu của \(B\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Có \(S\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Do đó \(SO\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.

Đáp án đúng là: A

Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(A\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Khi đó \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].

Vậy góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \(\widehat {SCA}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\BC \bot AB\\BC \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {SBA}\] là một góc phẳng của góc nhị diện \[\left[ {S,BC,A} \right]\].

Xét \[\Delta SAB\] vuông tại \[A\], ta có: \[\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}}\]\[ = \frac{{a\sqrt 3 }}{a}\]\[ \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \].

Đáp án đúng là: D

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \) hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AC\).

Do đó góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SCA}\).

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 \).

Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SAC} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{a\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SAC} = 60^\circ .\)

a) Ta có \(3\sqrt 2 - 4 = \sqrt 2 \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) \Rightarrow M = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{2019}} \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^{2018}} \cdot {\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{2018}}\).

Lại có \(\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = {3^2} - {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 9 - 8 = 1\).

Khi đó, \({\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{2018}}.{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{2018}} = {\left[ {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)} \right]^{2018}} = 1\).

Do vậy \(M = \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) \cdot {2^{1009}}\).

b) Điều kiện xác định của hàm số: \({x^2} - 2mx + 4 > 0\).

Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\) Û \({x^2} - 2mx + 4 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.\)

a) Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AI\) là trung tuyến nên \(AI\) đồng thời là đường cao, do đó \(AI \bot BC\). (1)

Vì tam giác \(BCD\) cân tại \(D\) có \(DI\) là trung tuyến nên \(DI\) đồng thời là đường cao, do đó \(DI \bot BC\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC \bot \left( {AID} \right)\).

b) Vì \(AH\) là đường cao của tam giác \(AID\) nên \(AH \bot ID\).

Lại có \(BC \bot \left( {AID} \right)\) nên \(BC \bot AH\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot ID\\AH \bot BC\\ID,\,BC \subset \left( {BCD} \right)\\ID \cap BC = I\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\).

Từ đó suy ra \(AH \bot BD\).

Gọi \(A\) là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá”;

       \(B\) là biến cố “Người đó mắc bệnh viêm phổi”;

Khi đó \(AB\) là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi”.

Xác suất để người đó nghiện thuốc lá là \[P\left( A \right) = \frac{{752 + 1236}}{{5000}} = \frac{{1988}}{{5000}}\].

Xác suất để người đó mắc bệnh phổi là \[P\left( B \right) = \frac{{752 + 575}}{{5000}} = \frac{{1327}}{{5000}}\].

Xác suất để người đó nghiện thuốc lá và mắc bệnh phổi là \[P\left( {AB} \right) = \frac{{752}}{{5000}}\].

Nhận thấy: \[P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{{1988}}{{5000}} \cdot \frac{{1327}}{{5000}} \ne \frac{{752}}{{5000}} = P\left( {AB} \right)\].

Do đó, hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.

Vậy ta kết luận rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau.