Đáp án đúng là: D

Số \[50\] không nằm trong lớp \[\left[ {54;{\rm{ }}56} \right)\] là mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: A

Tần số lớn nhất là \(45\) nên nhóm chứa mốt là \(\left[ {54;56} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \({x_1} = \frac{{40,5 + 45,5}}{2} = 43\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {40,5;45,5} \right)\).

 \({x_2} = \frac{{45,5 + 50,5}}{2} = 48\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {45,5;50,5} \right)\).

\({x_3} = \frac{{50,5 + 55,5}}{2} = 53\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {50,5;55,5} \right)\).

\({x_4} = \frac{{55,5 + 60,5}}{2} = 58\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {55,5;60,5} \right)\).

\({x_5} = \frac{{60,5 + 65,5}}{2} = 63\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {60,5;65,5} \right)\).

\({x_6} = \frac{{65,5 + 70,5}}{2} = 68\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {65,5;70,5} \right)\).

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11A là

\(\frac{{43 \cdot 10 + 48 \cdot 7 + 53 \cdot 16 + 58 \cdot 4 + 63 \cdot 2 + 68 \cdot 3}}{{10 + 7 + 16 + 4 + 2 + 3}} \approx 51,81\).

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu là \(n = 50.\)

Gọi \({x_1},...,{x_{50}}\) là tuổi thọ (năm) của \(50\) bình ắc quy và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó: \({x_1},...,{x_4}\) thuộc nhóm \[\left[ {2;2,5} \right);\]

            \({x_5},...,{x_{13}}\) thuộc nhóm \(\left[ {2,5;3} \right);\)

            \({x_{14}},...,{x_{27}}\) thuộc nhóm \(\left[ {3;3,5} \right);\)

            \({x_{28}},...,{x_{38}}\) thuộc nhóm \(\left[ {3,5;4} \right);\)

            \({x_{39}},...,{x_{45}}\) thuộc nhóm \(\left[ {4;4,5} \right);\)

            \({x_{46}},...,{x_{50}}\) thuộc nhóm \(\left[ {4,5;5} \right).\)

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \({x_{13}}.\) Do \({x_{13}}\) thuộc nhóm \(\left[ {2,5;3} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}.\)

Do đó, \({a_2} = 2,5;\) \({m_2} = 9;\) \({m_1} = 4;\) \({a_3} - {a_2} = 3 - 2,5 = 0,5\) và ta có:

\({Q_1} = 2,5 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 4}}{9} \cdot 0,5 = \frac{{107}}{{36}} \approx 2,97.\)

Đáp án đúng là: A

\(A \cup B\): “Gia đình có tivi hoặc máy vi tính”.

Đáp án đúng là: A

Ta có \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).

Đáp án đúng là: D

\[A\] là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ”.

Gọi \[X\] là biến cố: “Người thứ nhất ném trúng rổ”, ta có \(P\left( X \right) = \frac{1}{5}\).

Gọi \[Y\] là biến cố: “Người thứ hai ném trúng rổ”, ta có \(P\left( Y \right) = \frac{2}{7}\).

Khi đó \(A = X \cap Y = XY\).

Ta thấy biến cố \[X,Y\] là \[2\] biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( {XY} \right) = P\left( X \right) \cdot P\left( Y \right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{{35}}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^4 = 210\).

Biến cố \(A\): “Chọn được hai quả xanh, hai quả trắng”.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_4^2 \cdot C_6^2 = 90\).

\( \Rightarrow p\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{7}\).

Đáp án đúng là: D

Với số thực dương \[a\] và số hữu tỉ \[r = \frac{m}{n}\], trong đó \[m,n \in \mathbb{Z},n > 0\]. Lũy thừa của \[a\] với số mũ \[r\], kí hiệu \[{a^r}\], được xác định bởi \[{a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\].

Đáp án đúng là: D

Ta có \({a^4} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{4 + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{9}{2}}}\).

Đáp án đúng là: A

Vì \(0 < \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1\) nên nếu \({\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\) thì \(m < n\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \[C = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}} - {a^{\frac{4}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {a - {a^{\frac{5}{6}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}} \cdot {a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{4}{3} + \frac{3}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4} + \frac{5}{6}}}}} = \frac{{{a^{\frac{{25}}{{12}}}}}}{{{a^{\frac{{13}}{{12}}}}}} = {a^{\frac{{25}}{{12}} - \frac{{13}}{{12}}}} = a\].

Đáp án đúng là: A

Ta có \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\) nên đáp án A sai.

Đáp án đúng là: B

Với \(a\) là số thực dương tùy ý, ta có \[{\log _7}{a^2} = 2{\log _7}a\].

Đáp án đúng là: D

Với \[a\] là số thực dương tùy ý, ta có \[{\log _3}\left( {3a} \right) = {\log _3}3 + {\log _3}a = 1 + {\log _3}a\].

Đáp án đúng là: B

Vì \({\log _a}b = 4\) nên \(a,\,b\) là các số thực dương và \(a \ne 1\).

Khi đó, ta có \({\log _{\sqrt a }}{b^2} + {\log _a}\left( {ab} \right)\)\( = {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{b^2} + \left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)\)

                                         \( = 2 \cdot 2{\log _a}b + 1 + {\log _a}b = 5{\log _a}b + 1 = 5 \cdot 4 + 1 = 21\).

Đáp án đúng là: D

Hàm số \(y = {x^{ - 2}}\) không phải là hàm số mũ.

Đáp án đúng là: A

Quan sát hình vẽ ta thấy:

+) Đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) đi lên từ trái qua phải nên hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), do đó \(a > 1\).

+) Đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), do đó \(0 < b < 1\).

Vậy \(0 < b < 1 < a\).

Do đó, trong các đáp án đã cho, ta thấy đáp án A sai.

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án:

+) Hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) và có cơ số \(0 < \frac{2}{e} < 1\) nên hàm số này nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

+) Hàm số \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) và có cơ số \(\frac{\pi }{3} > 1\) nên hàm số này đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

+) Hàm số \(y = {\log _\pi }\left( {4{x^2} + 1} \right)\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) (do \(4{x^2} + 1 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\)) và có cơ số \(\pi > 1\) nên hàm số này đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

+) Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\) có tập xác định \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) và có cơ số \(0 < \frac{1}{3} < 1\) nên hàm số này nghịch biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: D

Góc giữa hai đường thẳng \[a,b\] trong không gian, kí hiệu \[\left( {a,b} \right)\], là góc giữa hai đường thẳng \[a'\] và \[b'\] cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với \[a\] và \[b\].

Đáp án đúng là: D

Vì \(ABCD.A'BC'D'\) là hình lập phương nên ta có:

+) \[BC{\rm{//}}A'D'\] (do cùng song song với \(B'C'\));

+) \[AB{\rm{//}}DC\] (do \(ABCD\) là hình vuông);

+) \[AA'{\rm{//}}BB'\] (các cạnh bên);

+) \[AB \bot AA'\] (cạnh đáy và cạnh bên).

Đáp án đúng là: A

Trong không gian, hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Đáp án đúng là: B

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của \(SD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AD\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SH\\BC \bot SA\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot SA\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Vì \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ 0° đến 180°, do đó \(0^\circ \le \varphi \le 180^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) ta có: \(AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \).

 Do \(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên \(\left( {ABC} \right)\) nên góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa đường thẳng \(SB\) và đường thẳng \(AB\) hay là \[\widehat {SBA}\].

Trong \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\) ta có: \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 3 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SBA} = 45^\circ \).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\).

Và \(\left. \begin{array}{l}AB \bot BC\\SB \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {SBA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\).  

Lại có \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \).

Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\) bằng \[60^\circ \].

Ta có \(\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right) = {5^2} - {\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} = 25 - 24 = 1\).

Do đó:

\(P = {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^{2018}} \cdot {\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)^{2019}} = {\left[ {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)} \right]^{2018}} \cdot \left( {5 - 2\sqrt 6 } \right) = 5 - 2\sqrt 6 \).

Hàm số đã cho xác định khi \({x^2} - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 2\end{array} \right.\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;\,1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Áp dụng công thức: \[{X_{2030}} = {X_{2014}}{\left( {1 + r} \right)^n}\].

Trong đó \[{X_{2014}} = 90\,\,728\,\,900;{\rm{ }}r = 1,05\% ;{\rm{ }}n = 16\].

Ta được dân số đến hết năm 2030 là: \[{X_{2030}} \approx 107\,\,232\,\,574.\]

1) (0,75 điểm)

Ta có \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

\(\left. \begin{array}{l}BC \bot \left( {SAB} \right)\\SB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot SB\).

2) (0,75 điểm)

Do \(SC \cap \left( {ABCD} \right) = C\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Suy ra góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SCA}\).

Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a\), \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ \).

Vậy góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ \).

Gọi \({A_i}\) là biến cố “Người thứ i bắn trúng” với \(i = 1,2,3\).

Ta có các \({A_i}\) độc lập với nhau và \(P\left( {{A_1}} \right) = x;P\left( {{A_2}} \right) = y;P\left( {{A_3}} \right) = 0,6\).

Gọi \(A\) là biến cố “Ít nhất một trong ba xạ thủ bắn trúng”, \(B\) là biến cố “Ba xạ thủ đều bắn trúng”, \(C\) là biến cố “Có đúng hai xạ thủ đều bắn trúng”.

Theo đề bài, ta có \(P\left( A \right) = 0,976;\,\,P\left( B \right) = 0,336\).

Ta có \(\overline A \) là biến cố “Không có xạ thủ bắn trúng”.

Suy ra \(\overline A = \overline {{A_1}} \overline {{A_2}} \overline {{A_3}} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_2}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_3}} } \right) = \left( {1 - x} \right) \cdot \left( {1 - y} \right) \cdot 0,4\).

Lại có \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right) = \frac{3}{{50}} \Leftrightarrow xy - x - y = - \frac{{47}}{{50}}\) (1)

Tương tự ta có \[B = {A_1}{A_2}{A_3}\]

\[ \Rightarrow P\left( B \right) = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) \cdot P\left( {{A_3}} \right) = x \cdot y \cdot 0,6 = 0,336 \Rightarrow xy = \frac{{14}}{{25}}\] (2)

Từ (1), (2) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{3}{2}\\xy = \frac{{14}}{{25}}\end{array} \right.\).

Ta có \(C = \overline {{A_1}} {A_2}{A_3} + {A_1}\overline {{A_2}} {A_3} + {A_1}{A_2}\overline {{A_3}} \)

\( \Rightarrow P\left( C \right) = \left( {1 - x} \right)y \cdot 0,6 + x\left( {1 - y} \right) \cdot 0,6 + xy \cdot 0,4 = 0,6\left( {x + y} \right) - 0,8xy = 0,452.\)