Đáp án đúng là: A

Số học sinh có chiều cao từ 156 cm trở lên là

25 + 8 + 3 + 1 = 37 (học sinh).

Đáp án đúng là: B

Tần số lớn nhất của mẫu số liệu trên là 15 nên nhóm chứa mốt là \(\left[ {129;131} \right)\).

Ta có: \(j = 3\), \({a_3} = 129\), \({m_3} = 15\), \({m_2} = 7,\,\,{m_4} = 10\), \(h = 2\). Do đó:

\({M_o} = 129 + \frac{{15 - 7}}{{\left( {15 - 7} \right) + \left( {15 - 10} \right)}} \cdot 2 \approx 130,23\).

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu: \(n = 3 + 6 + 12 + 6 + 3 = 30\).

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \({x_8}\). Do \({x_8}\) thuộc nhóm \(\left[ {80;90} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}\).

Do đó: \(p = 2\), \({a_2} = 80\), \({m_2} = 6\), \({m_1} = 3\), \({a_3} - {a_2} = 10\). Ta có:

\({Q_1} = 80 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 3}}{6} \cdot 10 = 87,5\).

Đáp án đúng là: B

Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Khi đó, \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập thì \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\).

Đáp án đúng là: C

Cho hai biến cố \(A\) và \[B\] của cùng một phép thử có không gian mẫu \(\Omega \).

+ Nếu \(A\) và \[B\] đối nhau thì \[A \cup B = \Omega \] nên đáp án A đúng.

+ Nếu \[A \cap B = \emptyset \]  thì \(A\) và \[B\] gọi là hai biến cố xung khắc nên đáp án B đúng.

+ Nếu \(A\) là biến cố không thì \(\overline A \) là biến cố chắc chắn nên đáp án D đúng.

Vậy đáp án C sai.

Đáp án đúng là: C

Ta có \(A = \left\{ {SSS;SSN;NSS} \right\}\); \(B = \left\{ {SSS;NNN} \right\}\).

Khi đó \(A \cup B = \left\{ {SSS;SSN;NSS;NNN} \right\}\).

Đáp án đúng là: B

Ta tìm số cách chọn 7 cuốn còn lại sao cho không có đủ 3 môn.

Có 3 trường hợp :

+) 7 cuốn còn lại gồm 2 môn Toán và Lý có: \(C_9^7\) cách.

+) 7 cuốn còn lại gồm 2 môn Lý và Hóa có: \(C_{11}^7\) cách.

+) 7 cuốn còn lại gồm 2 môn Toán và Hóa có: \(C_{10}^7\) cách.

Suy ra có \(C_9^7 + C_{11}^7 + C_{10}^7 = 486\) cách chọn 7 cuốn còn lại sao cho không có đủ 3 môn. Do đó số cách chọn 8 cuốn sao cho 7 cuốn còn lại có đủ 3 môn là \(C_{15}^7 - 486 = 5949\) cách.

Xác suất cần tìm là \(P = \frac{{5949}}{{C_{15}^7}} = \frac{{661}}{{715}}\).

Đáp án đúng là: C

Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên áp dụng công thức nhân xác suất ta có

\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4}}{{0,8}} = 0,5\).

Vì \(\overline A \) là biến cố đối của \(A\) nên \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,2\).

Vì \(\overline B \) là biến cố đối của \(B\) nên \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0,5\).

Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên \(\overline A \) và \(\overline B \) cũng độc lập, do đó

\(P\left( {\overline {AB} } \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,2 \cdot 0,5 = 0,1\).

Đáp án đúng là: A

Với các số dương \[a \ne 1\] và các số thực \[\alpha \], \[\beta \], ta có:

+) \[{a^\alpha } \cdot {a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\];         +) \[\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\];                 +) \[{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}\].

Đáp án đúng là: A

Các đẳng thức ở đáp án B, C, D đúng và đáp án A sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có \({a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}}\).

Đáp án đúng là: C

Sau 1 năm, chị Hà nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là

\(T = 20\,\,000\,\,000{\left( {1 + 0,5\% } \right)^{12}} \approx 21\,\,234\,\,000\) (đồng).

Đáp án đúng là: D

Ta có \[{9^x} + {9^{ - x}} = 23 \Leftrightarrow {\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} + {3^{ - x}} = 5\\{3^x} + {3^{ - x}} = - 5{\rm{ }}\left( {{\rm{loai}}} \right)\end{array} \right.\]

Từ đó, thế vào \[P = \frac{{5 + \left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)}}{{1 - \left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)}} = \frac{{5 + 5}}{{1 - 5}} = - \frac{5}{2}.\]

Đáp án đúng là: D

Với \(0 < a \ne 1,\,M > 0\) và \(\alpha \) là số thực tùy ý, ta có:

+) \({\log _a}1 = 0\);       +) \({\log _a}a = 1\);

+) \({\log _a}{a^\alpha } = \alpha \);             +) \({a^{{{\log }_a}M}} = M\).

Đáp án đúng là: B

Lôgarit của tích bằng tổng các lôgarit: \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\ln {e^2} = 2\ln e = 2 \cdot 1 = 2\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(P = {\log _a}\left( {a \cdot \sqrt[3]{{{a^2}}}} \right) = {\log _a}\left( {a \cdot {a^{\frac{2}{3}}}} \right) = {\log _a}\left( {{a^{\frac{5}{3}}}} \right) = \frac{5}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \({\log _7}\frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2} \cdot 2{\log _7}\frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}{\log _7}{\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = \frac{1}{2}{\log _7}\frac{{{a^2} + {b^2} + 2ab}}{9}\)

                          \( = \frac{1}{2}{\log _7}\frac{{7ab + 2ab}}{9} = \frac{1}{2}{\log _7}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_7}a + {{\log }_7}b} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(y = {5^{\frac{x}{3}}} = {\left( {{5^{\frac{1}{3}}}} \right)^x}\) là hàm số mũ với cơ số \({5^{\frac{1}{3}}}\);

\(y = {4^{ - x}} = {\left( {{4^{ - 1}}} \right)^x} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}\) là hàm số mũ với cơ số \(\frac{1}{4}\);

Hàm số \(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\) là hàm số mũ với cơ số \(\sqrt 3 \);

Hàm số \(y = {x^{ - 4}}\) không phải hàm số mũ.

Đáp án đúng là: B

Các hàm số \(y = {\log _2}x\), \(y = {\log _{\sqrt 3 }}x\), \(y = \ln x\), \(y = {\log _{{2^{ - 3}}}}x\) là hàm số lôgarit.

Hàm số \(y = {\log _x}5\) không phải hàm số lôgarit.

Đáp án đúng là: A

Đồ thị hàm số \(y = {36^x}\) luôn đi qua điểm \(\left( {0;\,\,1} \right)\).

Đáp án đúng là: B

+) Hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 1\) là hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)\) và với \(0 < a < 1\) thì hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)\) nên đáp án A và D sai.

+) Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) với \(0 < a\), \(a \ne 1\) luôn đi qua điểm \(\left( {1\,;\,\,a} \right)\) nên đáp án C sai.

+) Đồ thị các hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x}\)với \(0 < a\), \(a \ne 1\) đối xứng với nhau qua trục \(Oy\) là mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: B

ĐKXĐ: \({x^2} + 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > - 1\end{array} \right.\).

Vậy tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\) là \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: C

Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng.

Đáp án đúng là: C

+) Phương án A và B sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

+) Phương án C đúng vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì phương của chúng song song với nhau.

+) Phương án D sai vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì có thể song song hoặc trùng nhau.

Đáp án đúng là: C

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\)là hình lập phương nên \(AB\,{\rm{//}}A'B'\) và \(A'B'C'D'\) là hình vuông.

Do \(AB\,{\rm{//}}A'B'\) nên \(\left( {AB,\,A'C'} \right) = \left( {A'B',\,A'C'} \right) = \widehat {B'A'C'} = 45^\circ \).

Đáp án đúng là: D

Trong không gian cho điểm \(A\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), có đúng một đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

Đáp án đúng là: B

Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \[SA \bot BC\], đáp án A đúng.

Ta có \(BC \bot AB\) (do tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\]) và \[SA \bot BC\] nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).

Suy ra \(BC \bot AH\). Lại có \(AH \bot SB\), do đó \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Suy ra \(AH \bot SC\) và \[AH \bot BC\], đáp án C và D đúng.

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE.\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SB\\AE \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot SC\) (1).

Tương tự, ta có \(AF \bot SC\) (2).

Từ (1), (2) ta có \(SC \bot \left( {AEF} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(SH \bot \left( {ABC} \right)\). Vậy góc giữa \(SA\) và \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[\widehat {SAH}.\]

Đáp án đúng là: B

Vì \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \(SA \bot BA,\,\,SA \bot AC\), do đó góc \[BAC\] là một góc phẳng của góc nhị diện \[\left[ {B\,,\,SA\,,\,C} \right]\].

Đáp án đúng là: A

Gọi \(I\) là giao điểm hai đường chéo \(AB'\) và \(A'B\) của hình vuông \(ABB'A'\).

Khi đó ta có \(AI \bot A'B\).

Lại có \(BC \bot AI\) (do \(BC \bot \left( {ABB'A'} \right)\).

Do đó, \(AI \bot \left( {A'BCD'} \right)\).

Suy ra góc giữa \[AC\] và mặt phẳng \[\left( {A'BCD'} \right)\] là góc \(ACI\), tức là \(\alpha = \widehat {ACI}\).

Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \), \(AI = \frac{{AB'}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(AIC\) vuông tại \(I\) nên \(\sin \widehat {ACI} = \frac{{AI}}{{AC}} = \frac{1}{2}\), suy ra \(\alpha = \widehat {ACI} = 30^\circ \).

Đáp án đúng là: C

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) và \(I\) là trung điểm của \(BC\). Suy ra \(OI \bot BC\).

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SO = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}\).

Do \(SB = SC\) nên tam giác \(SBC\) cân tại \(S\). Suy ra \(SI \bot BC\).

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\BC \bot SI\\BC \bot OI\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \widehat {SIO}\] là một góc phẳng của góc nhị diện \[\left[ {S,BC,A} \right]\].

Lại có \(OI\) là đường trung bình tam giác \(ABC\) nên \(OI = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\).

Xét \(\Delta SIO\) vuông tại \(O\), ta có \[\tan \widehat {SIO} = \frac{{SO}}{{OI}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \widehat {SIO} = 30^\circ \].

Vậy số đo góc nhị diện \[\left[ {S,BC,A} \right]\] bằng 30°.

a) Cỡ mẫu \(n = 2 + 5 + 7 + 6 + 3 = 23\).

Gọi \({x_1};\,{x_2};...;\,{x_{23}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu trên là \({x_6} \in \left[ {9;\,11} \right)\).

Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({Q_1} = 9 + \frac{{\frac{{1.23}}{4} - 2}}{5}.\left( {11 - 9} \right) = 10,5\).

Do \({Q_1}\) gần với 10 nên nhận định của chị Nga là hợp lí.

b) \[P = {\log _{\sqrt a }}{b^3} \cdot {\log _b}{a^4} = {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{b^3} \cdot {\log _b}{a^4} = \frac{3}{{\frac{1}{2}}} \cdot 4 \cdot {\log _a}b \cdot \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = 24.\]

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SA\,\,\,\,\,\,\left( {{\rm{v\`i }}SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\CD \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\).

b) Gọi \(O = AC \cap BD.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CO \bot BD\\SO \bot BD\,\,\,\,\left( {{\rm{v\`i }}\,\,\,SB = SD\,} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right] = \widehat {SOC}\).

\(\Delta SOA\) vuông tại \(A:\) \(AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = SA \Rightarrow \)\(\widehat {SOA} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {SOC} = 135^\circ \).

Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right]\) bằng \(135^\circ .\)

Gọi \(a\) là số tiền vay, \(r\) là lãi suất, \(m\) là số tiền hàng tháng trả.

Số tiền nợ sau tháng thứ nhất là: \({N_1} = a\left( {1 + r} \right) - m\).

Số tiền nợ sau tháng thứ hai là: \({N_2} = \left[ {a\left( {1 + r} \right) - m} \right] + \left[ {a\left( {1 - r} \right) - m} \right]r - m\)

     \( = a{\left( {1 + r} \right)^2} - m\left[ {\left( {1 + r} \right) + 1} \right]\)

….

Số tiền nợ sau \(n\) tháng là:

\({N_n} = a{\left( {1 + r} \right)^n} - m\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {1 + r} \right)}^{n - 2}} + ... + 1} \right] = a{\left( {1 + r} \right)^n} - m\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}\).

Sau \(n\) tháng anh Nam trả hết nợ: \({N_n} = a{\left( {1 + r} \right)^n} - m\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1000{\left( {1 + 0,005} \right)^n} - 30\frac{{{{\left( {1 + 0,005} \right)}^n} - 1}}{{0,005}} = 0\\ \Leftrightarrow n = 36,55\end{array}\)

Vậy \(37\) tháng thì anh Nam trả hết nợ.