Đáp án đúng là: A

Từ bảng kết quả ta thấy chiều cao trong khoảng \(\left[ {154;156} \right)\) có số học sinh là 40.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài tập của các em học sinh là:

\(\overline x = \frac{{2 \cdot 2 + 4 \cdot 6 + 7 \cdot 10 + 4 \cdot 14 + 3 \cdot 18}}{{20}} = 10,4\) (phút).

Đáp án đúng là: A

Tần số lớn nhất là 7 nên nhóm chứa mốt là \(\left[ {20;30} \right)\).

Ta có: \(u = 20\), \({n_3} = 7\), \({n_2} = 6,\,\,{n_4} = 5\), \(g = 10\).

Do đó, \({M_o} = 20 + \frac{{7 - 6}}{{2 \cdot 7 - 6 - 5}} \cdot 10 = \frac{{70}}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Hợp của hai biến cố \(A\) và \(B\) kí hiệu là \(A \cup B\).

Đáp án đúng là: A

Nếu \[A \cap B = \emptyset \] thì \(A\) và \[B\] gọi là hai biến cố xung khắc.

Đáp án đúng là: A

Ta có không gian mẫu \[\Omega = \left\{ {SS;\,NN;\,SN;\,NS} \right\}\].

Biến cố \(A\): “Đồng xu xuất hiện mặt \(S\) ở lần gieo thứ nhất” nên \[A = \left\{ {SS;\,SN} \right\}\].

Biến cố \[B\]: “Đồng xu xuất hiện mặt \(N\) ở lần gieo thứ nhất” nên \[B = \left\{ {NN;\,NS} \right\}\].

Khi đó ta thấy \[A \cap B = \emptyset \]. Vậy \(A\) và \[B\] là hai biến cố xung khắc.

Đáp án đúng là: B

Không gian mẫu \(\Omega = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\, \ldots ;\,\,12} \right\}\). Suy ra \(n\left( \Omega \right) = 12\).

Ta có \(A = \left\{ {3;\,\,6;\,\,9;\,\,12} \right\}\), \(B = \left\{ {5;\,\,10} \right\}\).

Suy ra \(A \cup B = \left\{ {3;\,\,5;\,\,6;\,\,9;\,\,10;\,\,12} \right\}\). Do đó, \(n\left( {A \cup B} \right) = 6\).

Vậy \(P\left( {A \cup B} \right) = \frac{{n\left( {A \cup B} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Gọi biến cố \(E\): “Bạn Trung lọt vào chung kết”;

biến cố \(F\): “Bạn Dũng lọt vào chung kết.

Theo bài ra ta có \(P\left( E \right) = 0,8;\,\,P\left( F \right) = 0,6\).

Vì hai bạn đó không cùng thuộc một bảng đấu loại nên hai biến cố \(E\) và \(F\) độc lập.

Vì biến cố\(A\): “Cả hai bạn lọt vào chung kết” nên \(A = E \cap F\).

Áp dụng công thức nhân xác suất ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( {E \cap F} \right) = P\left( E \right) \cdot P\left( F \right) = 0,8 \cdot 0,6 = 0,48\).

Đáp án đúng là: A

Theo tính chất của lũy thừa ta có \({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{ab}}\) với mọi \(x\), \(a\), \(b\) dương.

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\frac{{{5^a}}}{{{5^b}}} = {5^{a - b}}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}\) (với các biểu thức đều có nghĩa) nên \(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{ab}}\).

Đáp án đúng là: D

\[P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 - \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1 + 2 - \sqrt 3 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 2 - 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 2} \right)}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}\].

Đáp án đúng là: C

\({\log _a}b\) xác định khi và chỉ khi \[a > 0,\,\,a \ne 1,\,\,b > 0\].

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\log \left( {10a} \right) = \log 10 + \log a = 1 + \log a\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \({\log _{{a^2}}}\left( {a\sqrt a } \right) = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot {\log _a}a = \frac{3}{4}\).

Đáp án đúng là: D

\({\log _3}\left( {{3^a} \cdot {9^b}} \right) = {\log _9}3 \Rightarrow {\log _3}\left( {{3^a}} \right) + {\log _3}\left( {{9^b}} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow a + 2b = \frac{1}{2} \Rightarrow 2a + 4b = 1\).

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(y = {4^x}\) là hàm số mũ.

Đáp án đúng là: A

Vì cơ số \(5 > 1\) nên hàm số \(y = {\log _5}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\,\, + \infty } \right)\).

Mà \(\left( {1;\,\, + \infty } \right) \subset \left( {0;\,\, + \infty } \right)\) nên hàm số \(y = {\log _5}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;\,\, + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: B

Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\,\,\left( {a > 0,\,\,a \ne 1} \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định: \[2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\].

Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\].

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Hàm số có TXĐ: \(D = \mathbb{R},\) tập giá trị \(T = \left( {0; + \infty } \right)\) và hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) (loại A và C).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 1;3} \right)\) (loại B). Chọn D.

Đáp án đúng là: D

Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có thể hoặc cắt nhau (tức là cùng nằm trên một mặt phẳng), hoặc chéo nhau (tức là không cùng nằm trên một mặt phẳng), do đó các đáp án A, B, C chưa đúng.

Hiển nhiên \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau thì góc giữa \(a\) và \(b\) bằng \(90^\circ \), vậy đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: A

Theo lý thuyết, ta thấy đáp án A đúng.

Đáp án B sai do chúng có thể vuông góc với nhau.

Đáp án C sai do chúng có thể chéo nhau.

Đáp án D sai do chúng có thể song song.

Đáp án đúng là: D

Gọi \(O\) là tâm của hình thoi \(ABCD\).

Khi đó \[OJ{\rm{//}}CD\].

Nên góc giữa \[IJ\] và \(CD\) bằng góc giữa \[IJ\] và \[OJ\].

Xét tam giác \[IOJ\] có

 \(IJ = \frac{1}{2}SB = \frac{a}{2},\,OJ = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2},\,\,IO = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\) (sử dụng tính chất đường trung bình).

Nên tam giác \[IOJ\]đều. Suy ra \[\widehat {IJ{\rm{O}}} = 60^\circ \]

Vậy \[\left( {IJ,\,CD} \right) = \left( {IJ,\,\,OJ} \right) = \widehat {IJ{\rm{O}}} = 60^\circ \].

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng \(\Delta \) được gọi là vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nếu \(\Delta \) vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) (ĐN đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).

Vậy đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: A

Giả sử xét hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ có \(\left\{ \begin{array}{l}A'B'{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\\B'C' \bot A'B'\end{array} \right.\) nhưng \(B'C'{\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\)

Vậy đáp án A sai.

Đáp án đúng là: B

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC\\DB = DC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot DM\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADM} \right) \Rightarrow BC \bot AD.\)

Chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(A\) là hình chiếu của \[S\] lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].

Do đó, hình chiếu của \[SB\] lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là \[AB\].

Đáp án đúng là: B

Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng 90°.

Đáp án đúng là: A

Từ giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\AB \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {BCD} \right)\).

Do đó \(\left( {AC,\left( {BCD} \right)} \right) = \widehat {ACB}\).

Đáp án đúng là: D

Gọi \[\left\{ \begin{array}{l}A'C \cap AC' = I\\C'D \cap CD' = H\end{array} \right.\] .

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên ta chứng minh được  \(\left\{ \begin{array}{l}C'D \bot CD'\\C'D \bot A'D'\end{array} \right.\)\( \Rightarrow C'D \bot \left( {A'BCD'} \right) \Rightarrow IH\) là hình chiếu vuông góc của \(AC'\) lên \(\left( {A'BCD'} \right)\).

\( \Rightarrow \widehat {C'IH}\) là góc giữa \(AC'\) và \(\left( {A'BCD'} \right).\)

Giả sử hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\).

Khi đó ta có \[C'H = \frac{{C'D}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\], \(IH = \frac{{A'D'}}{2} = \frac{a}{2}\).

Tam giác \(C'IH\) vuông tại \[H\] có \(\tan \widehat {C'IH} = \frac{{C'H}}{{IH}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\frac{a}{2} = \sqrt 2 .\)

Vậy \(\tan \alpha = \sqrt 2 .\)

Đáp án đúng là: C

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \[SA \bot BC\]. Lại có \(BC \bot AB\) (do tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\)). Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \(BC \bot SB\).

Ta có \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\), \(AB \bot BC,\,\,SB \bot BC\)

\( \Rightarrow \widehat {SBA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\).

Ta có \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \).

Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\) bằng \(60^\circ .\)

a) Cỡ mẫu: \(n = 3 + 6 + 12 + 6 + 3 = 30\).

Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{30}}\) là khối lượng của 30 củ khoai tây và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó, trung vị là \(\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \({x_8}\). Do \({x_8}\) thuộc nhóm \(\left[ {80;90} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}\).

Do đó: \(p = 2\), \({a_2} = 80\), \({m_2} = 6\), \({m_1} = 3\), \({a_3} - {a_2} = 10\). Ta có:

\({Q_1} = 80 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 3}}{6}.10 = 87,5\).

Vậy 75% số lượng khoai tây nặng ít nhất là 87,5 gam.

b) Ta có \(I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2}\)

        \( = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}3 + {{\log }_3}a} \right] + {\log _{{2^{ - 2}}}}{b^2}\)

        \( = 2{\log _3}\left[ {1 + {{\log }_3}a} \right] - {\log _2}b\)

        \( = 2{\log _3}\left[ {1 + 2} \right] - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\).

a) Ta có \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA{\rm{ }}\left( {do{\rm{ SA}} \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

\(\left. \begin{array}{l}BC \bot \left( {SAB} \right)\\SB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot SB\).

b) Kẻ \(AM \bot BD\,\,\,\left( {M \in BD} \right)\).

Khi đó, \(BD \bot \left( {SAM} \right)\) (do \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AM\end{array} \right.\)).

Suy ra \(BD \bot SM\). Khi đó \(\widehat {SMA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {A,BD,S} \right]\).

Ta có \(AM = \frac{{AB \cdot AD}}{{BD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{{2a}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy tan của góc nhị diện \(\left[ {A,BD,S} \right]\) bằng \(\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

Cường độ trận động đất ở San Francisco là \[M = \log A - \log {A_0} = \log \frac{A}{{{A_0}}} = 8,3\].

Cường độ trận động đất ở Nam Mỹ là \[M = \log \frac{{4A}}{{{A_0}}} = \log 4 + \log \frac{A}{{{A_0}}} = 8,9\] độ richter.