Đáp án đúng là: B

Tần số lớn nhất là 30 nên nhóm chứa mốt là nhóm \(\left[ {2;3} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Cỡ mẫu: \(n = 4 + 6 + 7 + 5 + 3 = 25\).

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_6} + {x_7}}}{2}\). Do \({x_6},\,\,{x_7}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {10;20} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}\).

Do đó, \(p = 2\), \({a_2} = 10\), \({m_2} = 6\), \({m_1} = 4\), \({a_3} - {a_2} = 10\).

Vậy \({Q_1} = 10 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 4}}{6} \cdot 10 = 13,75\).

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu \(n = 5 + 12 + 23 + 31 + 29 = 100\).

Ta có bảng sau:

Tuổi thọ trung bình của ruồi giấm trong mẫu số liệu trên là

\(\overline x = \frac{{5 \cdot 41 + 12 \cdot 43 + 23 \cdot 45 + 31 \cdot 47 + 29 \cdot 49}}{{100}} = 46,34\).

Đáp án đúng là: B

Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Khi đó, biến cố giao \(D = A \cap B\) được phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “Cả \(A\) và \(B\) cùng xảy ra”.

Đáp án đúng là: A

Ta có \(A = \left\{ {2;\,\,4;\,\,6} \right\}\), \(B = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,5;\,\,6} \right\}\).

Suy ra \(A \cap B = \left\{ {2;\,\,6} \right\}\).

Đáp án đúng là: D

Lấy ngẫu nhiên đồng thời \[3\] quả cầu từ \[15\] quả cầu đã cho có \[C_{15}^3 = 455\] cách.

Lấy được \[3\] quả cầu cùng màu từ các quả cầu đã cho có \[C_9^3 + C_6^3 = 104\] cách.

Vậy xác suất để lấy được \[3\] quả cầu cùng màu là \(P = \frac{{104}}{{455}} = \frac{8}{{35}}\).

Đáp án đúng là: D

Gọi biến cố \(A\): “Học sinh A thi đỗ”.

Biến cố \(B\): “Học sinh B thi đỗ”.

Biến cố \[C\]: “Chỉ có một bạn thi đỗ”.

Theo đề, ta có: \(P\left( A \right) = P\left( B \right) = 0,6\)\( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline B } \right) = 0,4\).

Khi đó ta có \(C = A\overline B \cup \overline A B\).

Do đó \(P\left( C \right) = P\left( {A\overline B \cup \overline A B} \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right)\)\( = P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( B \right)\)

                                                                         \( = 0,6 \cdot 0,4 + 0,4 \cdot 0,6 = 0,48\).

Đáp án đúng là: B

Với hai số thực dương \(x,\,\,y\) và hai số thực \(\alpha ,\,\,\beta \) tùy ý, ta có:

+) \({x^\alpha } \cdot {x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}\) (nhân hai lũy thừa cùng cơ số);

+) \({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \cdot \beta }}\) (lũy thừa của lũy thừa);

+) \({\left( {xy} \right)^\alpha } = {x^\alpha } \cdot {y^\alpha }\) (lũy thừa của một tích).

Khi đó, áp dụng công thức lũy thừa của một tích ta có

\({\left( {xy} \right)^{\alpha + \beta }} = {x^{\alpha + \beta }} \cdot {y^{\alpha + \beta }} \ne {x^\alpha } \cdot {y^\beta }\) (dấu bằng chỉ xảy ra khi \(\alpha = \beta = 0\)).

Từ đó suy ra đáp án B sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có \(K = {27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ - 0,75}} - {25^{0,5}} = \frac{{109}}{{27}}\).

Đáp án đúng là: A

Với \(a\) là số thực khác 0 thì \({a^0} = 1\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \[\sqrt a \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{{{a^5}}} = {a^{\frac{1}{2}}} \cdot {a^{\frac{1}{3}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}} = {a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{5}{6}}} = {a^{\frac{5}{3}}}\].

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3} \cdot {b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}} \cdot {b^6}} }}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{a^{12}} \cdot {b^6}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{\sqrt[3]{{{a^6} \cdot {b^3}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{{{\left( {{a^6} \cdot {b^3}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{{a^2} \cdot b}} = ab\).

Đáp án đúng là: D

Ta có:

+) \[{\log _a}x\] có nghĩa khi và chỉ khi \(x > 0\), do đó đáp án A sai.

+) \({\log _a}1 = 0\), do đó đáp án B sai.

+) \({\log _a}xy = {\log _a}x + {\log _a}y\), do đó đáp án C sai.

+) \[{\log _a}{x^n} = n{\log _a}x\,\,\left( {x > 0,\,n \ne 0} \right)\], do đó đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: B

Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}9 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}{3^2} = 2 \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}}{\log _3}3 = 4\).

Đáp án đúng là: B

Lôgarit cơ số 10 của số thực dương \(a\) kí hiệu là \(\log a\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \[\frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5 = \frac{1}{2}{\log _a}{3^2} - {\log _a}5 = {\log _a}3 - {\log _a}5 = {\log _a}\frac{3}{5}\].

Vậy \(x = \frac{3}{5}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}\)\( = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left[ {\left( {{x^2} + 9{y^2}} \right) + 6xy} \right]}}\)

               \( = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left( {6xy + 6xy} \right)}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left( {12xy} \right)}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}} = 1\).

Đáp án đúng là: D

Hàm số \(y = {x^{2023}}\) không phải hàm số mũ.

Đáp án đúng là: C

Hàm số \(y = {\log _3}x\) là hàm số lôgarit cơ số 3.

Đáp án đúng là: D

Hàm số \(y = {\log _{\frac{e}{3}}}x\) có cơ số là \(\frac{e}{3}\) và \(0 < \frac{e}{3} < 1\) nên hàm số này nghịch biến trên tập xác định \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: A

Đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) đi lên từ trái qua phải nên hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(a > 1\).

Đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số \(y = {b^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(0 < b < 1\).

Vậy \(0 < b < 1 < a\).

Đáp án đúng là: A

ĐKXĐ: \( - {x^2} + 5x - 6 > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3\).

Vậy hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{8}}}\left( { - {x^2} + 5x - 6} \right)\) có tập xác định là \(\left( {2;3} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Vì \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình lập phương nên \(AB{\rm{//}} = C'D'\,\,\left( {{\rm{//}} = CD} \right)\).

Suy ra \(ABC'D'\) là hình bình hành, do đó \(AD'{\rm{//}}BC'\).

Lại có \(AD' \bot A'D\) (do \(ADD'A'\) là hình vuông).

Từ đó suy ra \(BC' \bot A'D\).

Đáp án đúng là: B

Vì \(MN{\rm{//}}M'N'\) nên \(\left( {MN,\,\,M'P'} \right) = \left( {M'N',\,M'P'} \right) = \widehat {N'M'P'} = 45^\circ \).

Đáp án đúng là: D

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BD\).

Khi đó ta có \(ME,\,\,NE\) lần lượt là đường trung bình của các tam giác \(BCD,\,\,ABD\).

Suy ra \(ME{\rm{//}}CD,\,NE{\rm{//}}AB\). Do đó, \(\left( {AB,\,CD} \right) = \left( {NE,\,ME} \right)\).

Ta có \(ME = \frac{{CD}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a,\,\,NE = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(MNE\) ta có

\(\cos \widehat {MEN} = \frac{{M{E^2} + N{E^2} - M{N^2}}}{{2ME \cdot NE}} = \frac{{{a^2} + {a^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2 \cdot a \cdot a}} = \frac{{ - 1}}{2}\).

Suy ra \(\widehat {MEN} = 120^\circ \).

Khi đó, \(\left( {NE,\,ME} \right) = 180^\circ - \widehat {MEN} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

Vậy \(\left( {AB,\,CD} \right) = 60^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Nếu \(b\; \bot a\) thì có thể xảy ra trường hợp \(b\; \subset \;\left( P \right)\), nên đáp án A sai.

Đáp án đúng là: B

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên hình chiếu của điểm \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(A\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra \[SA \bot BC\].

Lại có \[ABCD\] là hình vuông nên \(AB \bot BC\).

Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \(BC \bot AM\).

Mà \(AM \bot SB\) (do \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\)).

Như vậy, \(AM \bot \left( {SBC} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \[SA = SC \Rightarrow \Delta SAC\] là tam giác cân tại \(S\).

Mặt khác \[O\] là trung điểm của \[AC\] (tính chất hình thoi).

Khi đó ta có \[AC \bot SO\].

Ta có $\left\{\begin{array}{c}AC\perp BD\left(\text{t/c hình thoi}\right)\\ AC\perp SO\end{array}\right.\Rightarrow AC\perp \left(SBD\right)$

Vậy chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: A

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.

Đáp án đúng là: B

Góc nhị diện được gọi là vuông nếu nó có số đo bằng \[90^\circ \].

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SB \bot SA\\SC \bot SA\end{array} \right.\) nên góc \(CSB\) là một góc phẳng của góc góc nhị diện \[\left[ {B\,,\,SA\,,\,C} \right]\].

Lại có \(\widehat {CSB} = 90^\circ \,\,\left( {{\rm{do}}\,SB \bot SC} \right)\).

Vậy số đo của góc nhị diện \[\left[ {B\,,\,SA\,,\,C} \right]\] bằng \(90^\circ \).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc \(SDA\).

Tam giác \(SAD\) vuông ở \(A\) nên \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \). Suy ra \(\widehat {SDA} = 60^\circ \).

Vậy góc giữa \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có số đo bằng \(60^\circ \).

Cỡ mẫu \(n = 2 + 5 + 7 + 5 + 1 = 20\).

Gọi \({x_1};\,{x_2};...;\,{x_{20}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu trên là \(\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}\). Mà \({x_5},{x_6}\) thuộc nhóm \(\left[ {9;\,11} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({Q_1} = 9 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 2}}{5}.\left( {11 - 9} \right) = 10,2\).

Do \({Q_1}\) gần với 10 nên nhận định của Hằng là hợp lí.

\[I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2} = 2{\log _3}\left[ {1 + {{\log }_3}a} \right] - {\log _2}b = 2{\log _3}\left[ {1 + 2} \right] - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\].

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\). Suy ra \(AI = ID = \frac{1}{2}AD = a\).

Ta có \(AI = BC\,\,\left( { = a} \right)\) và \(AI\,{\rm{//}}\,BC\,\,\left( {{\rm{do}}\,AD\,{\rm{//}}\,BC} \right)\) nên tứ giác \(ABCI\) là hình bình hành. Lại có \(AI = AB = a\) nên \(ABCI\) là hình thoi, mà \(\widehat {ABC} = 90^\circ \), do đó \(ABCI\) là hình vuông. Khi đó, \(\widehat {AIC} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {CID} = 90^\circ \).

Tam giác \(ICD\) có \(ID = IC = a\) và \(\widehat {CID} = 90^\circ \) nên tam giác \(ICD\) vuông cân tại \(I\).

Suy ra \(\widehat {ICD} = 45^\circ \).

Lại có \(\widehat {ACI} = \frac{1}{2}\widehat {BCI} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ  = 45^\circ \) (vì \(ABCI\) là hình vuông).

Nên ta có \(\widehat {ACD} = \widehat {ACI} + \widehat {ICD} = 90^\circ \). Suy ra \(AC \bot CD\).

Mà \[CD \bot SA\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\], từ đó suy ra \(DC \bot \left( {SAC} \right)\).

Gọi \(n\) là số trận mà An chơi, \(A\) là biến cố: “An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi \(n\) trận”. Khi đó \(\overline A \) là biến cố: “An thua cả \(n\) trận”.

Gọi \({A_i}\) là biến cố: “An thua ở trận thứ \(i\)”, \(i = 1,\,2,\,3,\,...,\,n\). Khi đó

\(\overline A = {A_1}{A_2}...{A_n}\) và \(P\left( {{A_i}} \right) = 1 - 0,4 = 0,6\).

Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = P\left( {{A_1}{A_2}...{A_n}} \right) = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) \cdot ... \cdot P\left( {{A_n}} \right) = {\left( {0,6} \right)^n}\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - {\left( {0,6} \right)^n}\).

Mà \(P\left( A \right) \ge 0,95 \Leftrightarrow 1 - {\left( {0,6} \right)^n} \ge 0,95 \Leftrightarrow n \ge 6\).

Vậy An phải chơi tối thiểu 6 trận.