Đáp án đúng là: D

Độ dài của nhóm \(\left[ {200;\,235} \right)\) là 235 – 200 = 35.

Đáp án đúng là: B

Ta có cỡ mẫu \(n = 10 + 30 + 7 + 3 = 50\).

Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{50}}\) là thời gian tự học ở nhà của 50 học sinh khối 11 và giả sử dãy này đã được xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó, trung vị là \(\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}\). Do \({x_{25}},\,{x_{26}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {2;3} \right)\) nên nhóm này chứa trung vị của mẫu số liệu.

Đáp án đúng là: C

Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là

\(\overline x = \frac{{18,5 \cdot 4 + 23,5 \cdot 6 + 28,5 \cdot 8 + 33,5 \cdot 18 + 38,5 \cdot 4}}{{4 + 6 + 8 + 18 + 4}} = \frac{{1200}}{{40}} = 30\).

Đáp án đúng là: C

Số học sinh khối 10 được đo chiều cao là \(5 + 18 + 40 + 26 + 8 + 3 = 100\).

Giả sử \({x_1};{x_2};...;{x_{100}}\) là chiều cao của 100 học sinh lớp 10 xếp theo thứ tự không giảm.

Do \({x_1};...;{x_5} \in \left[ {150;152} \right)\) ; \({x_6};...;{x_{23}} \in \left[ {152;154} \right)\) ; \({x_{24}};...;{x_{63}} \in \left[ {154;156} \right)\) .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right)\) mà \({x_{25}};{x_{26}} \in \left[ {154;156} \right)\).

Khi đó \(n = 100;{u_m} = 154;C = 23;{n_m} = 40;{u_{m + 1}} = 156\).

Do đó \({Q_1} = 154 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 23}}{{40}}\left( {156 - 154} \right) = 154,1\).

Đáp án đúng là: B

Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập thì \[\overline A \] và \(\overline B \) là hai biến cố độc lập.

Đáp án đúng là: A

Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc thì \[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\].

Đáp án đúng là: D

Gọi biến cố \(A\): “Học sinh được chọn giỏi Toán”.

Biến cố \(B\): “Học sinh được chọn giỏi Văn”.

Khi đó, biến cố \(AB\): “Học sinh được chọn giỏi cả Văn và Toán”.

Biến cố \(A \cup B\): “Học sinh đó giỏi một trong hai môn Toán hoặc Văn”.

Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{16}}{{40}} = \frac{2}{5};P\left( B \right) = \frac{{20}}{{40}} = \frac{1}{2};P\left( {AB} \right) = \frac{{12}}{{40}} = \frac{3}{{10}}\).

Khi đó \[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\]\( = \frac{2}{5} + \frac{1}{2} - \frac{3}{{10}} = \frac{6}{{10}} = 0,6\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \[n\left( \Omega \right) = C_{11}^6 = 462\].

Gọi biến cố \[A\]: “Tổng số ghi trên \(6\) tấm thẻ ấy là một số lẻ”.

Từ \(1\) đến \(11\) có \(6\) số lẻ và \(5\) số chẵn. Để có tổng là một số lẻ ta có \(3\) trường hợp.

Trường hợp 1: Chọn được \(1\) thẻ mang số lẻ và \(5\) thẻ mang số chẵn có: \[6 \cdot C_5^5 = 6\] cách.

Trường hợp 2: Chọn được \(3\) thẻ mang số lẻ và \(3\) thẻ mang số chẵn có: \[C_6^3 \cdot C_5^3 = 200\] cách.

Trường hợp 3: Chọn được \(5\) thẻ mang số lẻ và \(1\) thẻ mang số chẵn có: \[C_6^5 \cdot 5 = 30\] cách.

Do đó \[n\left( A \right) = 6 + 200 + 30 = 236\]. Vậy \[P\left( A \right) = \frac{{236}}{{462}} = \frac{{118}}{{231}}\].

Đáp án đúng là: C

Theo lí thuyết ta có \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}.\)

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\sqrt[8]{{{a^3}}} = {a^{\frac{3}{8}}}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \[\frac{{\sqrt[3]{{{a^2}\sqrt a }}}}{{{a^3}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{a^2} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}}}}}{{{a^3}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{a^{\frac{5}{2}}}}}}}{{{a^3}}} = \frac{{{{\left( {{a^{\frac{5}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}{{{a^3}}} = \frac{{{a^{\frac{5}{6}}}}}{{{a^3}}} = {a^{\frac{5}{6} - 3}} = {a^{\frac{{ - 13}}{6}}}\]. Do đó \(\alpha = \frac{{ - 13}}{6}\).

Vì \( - 3 < \frac{{ - 13}}{6} < - 2\) nên chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: A

Ta có \({\log _a}a = 1\) nên đáp án A sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có \({\log _{{a^5}}}b = \frac{1}{5}{\log _a}b\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5 + {\log _a}2 = \frac{1}{2}{\log _a}{3^2} - {\log _a}5 + {\log _a}2 = 2 \cdot \frac{1}{2}{\log _a}3 - {\log _a}5 + {\log _a}2\)

        \( = {\log _a}3 - {\log _a}5 + {\log _a}2 = {\log _a}\frac{3}{5} + {\log _a}2 = {\log _a}\left( {\frac{3}{5} \cdot 2} \right) = {\log _a}\frac{6}{5}\).

Vậy \(x = \frac{6}{5}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \[S = 2\ln a - \ln b - \ln c = \ln {a^2} - \left( {\ln b + \ln c} \right) = \ln \left( {bc} \right) - \ln \left( {bc} \right) = 0\] (do \[{a^2} = bc\]).

Đáp án đúng là: A

Trong các hàm số đã cho, hàm số \(y = {2^x}\) là hàm số mũ.

Đáp án đúng là: D

Tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}x\) là \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: A

Kẻ đường thẳng \(d:\,\,y = 1\).

Hoành độ giao điểm của \(d\) với các đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\), \(y = {\log _b}x\), \(y = {\log _c}x\) lần lượt là \(a,\,\,b,\,\,c\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(a > c > b\).

Đáp án đúng là: A

Vì \(2 > 1\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;\,3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = {2^3} = 8;\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}\).

Suy ra \(M = 8,\,m = \frac{1}{4} \Rightarrow M \cdot m = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2\).

Đáp án đúng là: B

Hai đường thẳng \(a\) và \(b\) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(90^\circ \).

Đáp án đúng là: B

Hình hộp có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên mỗi mặt của hình hộp là một hình thoi.

Xét từng đáp án, ta thấy:

+ Đáp án A đúng vì \(\left\{ \begin{array}{l}A'C' \bot B'D'\\B'D'\,{\rm{//}}\,BD\end{array} \right. \Leftrightarrow A'C' \bot BD\).

+ Đáp án B sai vì \[BB'\,{\rm{//}}\,DD'\].

+ Đáp án C đúng vì \(\left\{ \begin{array}{l}A'B \bot AB'\\AB'{\rm{//}}DC'\end{array} \right. \Rightarrow A'B \bot DC'\).

+ Đáp án D đúng vì \(\left\{ \begin{array}{l}BC' \bot B'C\\B'C\,{\rm{//}}\,A'D\end{array} \right. \Rightarrow BC'\,{\rm{//}}\,A'D\).

Đáp án đúng là: A

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên

+ \(ABCD\) là hình vuông, suy ra \(AC \bot BD\);

+ \(BB' \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra \(BB' \bot AC\).

Lại có \(BB',\,BD \subset \left( {BB'D'D} \right)\).

Từ đó suy ra \(AC \bot \left( {BB'D'D} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Đáp án A sai vì \(b\) có thể vuông góc với \(\left( P \right)\).

Đáp án B đúng bởi \(a{\rm{//}}\left( P \right) \Rightarrow \exists a' \subset \left( P \right)\) sao cho \(a{\rm{//}}a'\), mà \(b \bot \left( P \right) \Rightarrow b \bot a'\). Khi đó \(a \bot b\).

Đáp án C sai vì \(b\) có thể nằm trong \(\left( P \right)\).

Đáp án D sai vì \(b\) có thể nằm trong \(\left( P \right)\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(BC \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình chữ nhật) và \(BC \bot SA\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)).

Do đó, \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), suy ra \(BC \bot AE\). Mà \(AE \bot SB\) (gt).

Từ đó suy ra \(AE \bot \left( {SBC} \right)\), suy ra \(AE \bot SC\) (1).

Tương tự, ta chứng minh được \(CD \bot \left( {SAD} \right)\), suy ra \(CD \bot AF\). Mà \[AF \bot SD\] (gt).

Từ đó suy ra \(AF \bot \left( {SCD} \right)\), suy ra \(AF \bot SC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot \left( {AEF} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(A\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].

Vì \(C \in \left( {ABC} \right)\) nên \(C\) là hình chiếu của \(C\) lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].

Vậy hình chiếu của \[SC\] lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là \[AC\].

Đáp án đúng là: C

Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(SA \bot BC\).

Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] nên \(BC \bot AB\).

Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\). Do đó \(B\) là hình chiếu của \(C\) lên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

Khi đó giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] là \[\widehat {BSC}\].

Đáp án đúng là: B

Góc nhị diện gồm hai nửa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có chung bờ là đường thẳng \(d\), được kí hiệu là \[\left[ {P,\,d,\,Q} \right]\].

Đáp án đúng là: A

Ta có \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \(\left( {SB,\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SBA}\).

Tam giác \(SBA\) vuông tại \(A\) (do \(SA \bot AB\)) có \(SA = AB = a\) nên tam giác \(SBA\) vuông cân tại \(A\), suy ra \(\widehat {SBA} = 45^\circ \).

Vậy góc giữa đường thẳng \[SB\] và mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] bằng \[45^\circ \].

Đáp án đúng là: C

Ta có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array} \right.\).

Do đó \(\widehat {BAC}\) là một góc phẳng của góc góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\).

Ta có \(\Delta ABC\) có \(AB = BC = AC = a\) nên \(\Delta ABC\) là tam giác đều, suy ra \(\widehat {BAC} = 60^\circ \).

Vậy số đo góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\) bằng \(60^\circ \).

1. Với \(b > 1 > a > 0\) ta có:

\[\log _a^2\left( {ab} \right) = 4 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)^2} = 4\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + {\log _a}b = 2\\1 + {\log _a}b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _a}b = 1\\{\log _a}b = - 3\end{array} \right.\].

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\b > 1\end{array} \right.\)nên \({\log _a}b = - 3\).

Khi đó, \(\log _a^3\left( {a{b^2}} \right) = {\left( {{{\log }_a}a + 2{{\log }_a}b} \right)^3} = {\left( {1 + 2 \cdot \left( { - 3} \right)} \right)^3} = - 125\).

2. Hàm số \[y = {\left( {{x^2} - 2x - m + 1} \right)^{\sqrt 7 }}\] có tập xác định là \[\mathbb{R}\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow m < {\left( {x + 1} \right)^2},\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow m < 0\].

Mà \[\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left( { - 2024;2024} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left( { - 2024;0} \right)\end{array} \right.\] nên có 2023 giá trị \[m\] thỏa mãn yêu cầu.

a) Ta có tam giác \[ABC\] là tam giác đều và \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AM \bot BC\).

Mà \(SA \bot BC\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\), do đó \[BC \bot \left( {SAM} \right)\]. Suy ra \[BC \bot AH\].

Vì \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[A\] lên \[SM\] nên \[AH \bot SM\].

Ta suy ra \[AH \bot \left( {SBC} \right)\].

b) Vì \[AH \bot \left( {SBC} \right)\] nên \[SH\] là hình chiếu của \[SA\] lên mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\].

c) Từ b) ta suy ra góc giữa đường thẳng \[SA\] và mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] là góc \[\alpha = \widehat {ASH}\].

Xét tam giác \[SAM\] vuông tại \[A\] ta có:

\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}}\]\[ \Rightarrow A{H^2} = \frac{{6{a^2}}}{{11}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\].

Xét tam giác \[SAH\] vuông tại \[H\] ta có: \[\sin \widehat {ASH} = \frac{{AH}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}\].

Do đó, \(\cos \widehat {ASH} = \frac{{2\sqrt {22} }}{{11}}\).

Nhận xét: Hệ thống I gồm 2 bóng mắc nối tiếp nên nó chỉ hoạt động bình thường khi cả hai bóng bình thường. Hệ thống II gồm 2 bóng được mắc song song nên nó chỉ hỏng khi cả hai bóng đều hỏng.

⦁ Gọi \(A\) là biến cố: “Hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng” thì \(\overline A \) là biến cố “Hệ thống đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng”.

Do khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15 nên xác suất để 1 bóng đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng là 1 – 0,15 = 0,85.

Xác suất để hệ thống đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng là:

\(P\left( {\overline A } \right) = 0,85 \cdot 0,85 = 0,7225\).

Suy ra \(P\left( A \right) = 1 - 0,7225 = 0,2775\).

⦁ Gọi \(B\) là biến cố: “Hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng”.

Do khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15 nên xác suất để 1 bóng đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng là 0,15.

Xác suất để hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng là \[P\left( B \right) = 0,15 \cdot 0,15 = 0,0225\].

Vậy xác suất để cả hai hệ thống I, II đều bị hỏng là:

\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,2775 \cdot 0,0225 = \frac{{999}}{{160\,\,000}} \approx 0,00624.\)