Đáp án đúng là: D

• Biểu thức \(\frac{{2x}}{y}\) không phải là đơn thức vì nó có chứa biến ở dưới mẫu.

• Biểu thức \(3x + 2y\) không phải là đơn thức vì nó có chứa phép tính cộng.

• Biểu thức \(4\left( {x - y} \right) = 4x - 4y\) không phải là đơn thức vì nó có chứa phép tính trừ.

• Biểu thức \( - \frac{2}{3}x{y^2}\) là đơn thức vì nó chỉ chứa tích giữa các số và biến.

Đáp án đúng là: A

Ta có \[\left( {M + N} \right)\,\,.\,P = M\,.\,P + N\,.\,P = MP + NP\].

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(A = 4{x^3}y\left( { - 5xy} \right) = - 20{x^4}{y^2}\) nên suy ra \(A\) và \(B\) là hai đơn thức đồng dạng, nhưng không đồng dạng với đơn thức \(C.\)

Đáp án đúng là: B

Ta có \(H = \left( {2x - 3} \right)\left( {x + 7} \right) - 2x\left( {x + 5} \right) - x\)

\( = \left( {2{x^2} + 14x - 3x - 21} \right) - \left( {2{x^2} + 10x} \right) - x\)

\( = 2{x^2} + 11x - 21 - 2{x^2} - 10x - x\)

\( = \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( {11x - 10x - x} \right) - 21\)\( = - 21 < - 1\).

Vậy \(H < - 1\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \({\left( {M - N} \right)^2} = {M^2} - 2MN + {N^2}\) (bình phương của một hiệu) nên đáp án B đúng.

Vì \({\left( { - 1} \right)^2} = 1\) nên \({\left( {M - N} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2}.{\left( {M - N} \right)^2} = {\left[ { - \left( {M - N} \right)} \right]^2} = {\left( {N - M} \right)^2}\) nên đáp án A đúng.

Lại có \({\left( {N - M} \right)^2} = {N^2} - 2NM + {M^2}\), do đó đáp án C đúng.

Vậy cả 3 đáp án A, B, C đều đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(14{x^2}y - 21x{y^2} + 28{x^2}{y^2} = 7xy\left( {2x - 3y + 4xy} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Tứ giác \(IJLK\) không phải là tứ giác lồi vì có hai đỉnh \(I\) và \(J\) cùng thuộc cạnh \(IJ\) nằm về hai phía của đường thẳng \(LK.\)

Đáp án đúng là: D

Tổng số đo các góc trong tứ giác bằng \(360^\circ .\)

Đáp án đúng là: A

Hình bình hành là hình chữ nhật khi có hai đường chéo bằng nhau.

Đáp án đúng là: C

Dựa vào dấu hiệu nhận biết:

• Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành nên A đúng.

• Hình thang có hai cạnh đáy song song, thêm hai cạnh bên song song thì nó là hình bình hành do có các cặp cạnh đối song song nên B đúng.

• Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành nên D đúng.

Đáp án đúng là: D

Trong hình vẽ trên, ta thấy tứ giác \[ABCD\] có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm \(I\) của mỗi đường.

 Do đó, tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành.

Đáp án:               a) Đúng.    b) Sai.        c) Sai.        d) Đúng.

⦁ Đa thức \(A\) có hạng tử tự do là \( - 4\). Do đó ý a) đúng.

⦁ Thay \(x = 1\,;\,\,y = 0\) vào biểu thức \(B\), ta có:

\(B = 2 \cdot {1^2} - 3 \cdot 1 \cdot 0 + {0^2} - 4 = 2 - 4 = - 2.\)

Vậy với \(x = 1\,;\,\,y = 0\) thì \(B = - 2\). Do đó ý b) sai.

⦁ Ta có: \(B = A + M\)

Suy ra \(M = B - A\)\( = 2{x^2} - 3xy + {y^2} - 4 - \left( {{x^2} - 4xy - 4} \right)\)

\( = 2{x^2} - 3xy + {y^2} - 4 - {x^2} + 4xy + 4\)

\( = {x^2} + xy + {y^2}.\)

Như vậy \(M = {x^2} + xy + {y^2}.\) Do đó ý c) sai.

⦁ Ta có \[P = \left( {x - 3} \right)M - y - \left( {x + y} \right)\left( {xy - 3y} \right)\]

\( = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - \left( {{x^2}y - 3xy + x{y^2} - 3{y^2}} \right)\)

\[ = x\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - 3\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - {x^2}y + 3xy - x{y^2} + 3{y^2}\]

\[ = {x^3} + {x^2}y + x{y^2} - 3{x^2} - 3xy - 3{y^2} - {x^2}y + 3xy - x{y^2} + 3{y^2}\]

\[ = {x^3} - 3{x^2}\].

Như vậy, giá trị của biểu thức \(P\) không phụ thuộc vào giá trị của biến \(y.\) Do đó ý d) đúng.

Đáp án:      a) Sai.        b) Đúng.     c) Sai.        d) Đúng.

⦁ Khi lấy điểm \(I\) sao cho \(A\) là trung điểm của \(ID\); điểm \(K\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(EK\).

Suy ra \(AI = AD\,;\,\,MK = ME.\) Do đó ý a) là sai.

⦁ Xét tứ giác \(ADME\) có:

\(\widehat {DAE} = 90^\circ \) (vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\))

\(\widehat {ADM} = 90^\circ \) \(\left( {MD \bot AB} \right)\)

\(\widehat {AEM} = 90^\circ \) \(\left( {ME \bot AC} \right)\)

Do đó tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật. Do đó ý b) đúng.

⦁ Vì \(AB \bot AC\) (vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)); \(MD \bot AB\) nên \(MD\,{\rm{//}}\,AC.\)

Tứ giác \(ADMC\) có \(MD\,{\rm{//}}\,AC\) nên \(ADMC\) là hình thang.

Hình thang \(ADMC\) có \(\widehat {CAD} = 90^\circ \) nên \(ADMC\) là hình thang vuông. Do đó ý c) sai.

⦁ Vì \(ADME\) là hình chữ nhật nên \(AD = ME\,;\,\,AD\,{\rm{//}}\,ME\) (tính chất hình chữ nhật).

Mà \(A\) là trung điểm của \(DI\); \(M\) là trung điểm của \(KE\) nên \[DI = KE;\,\,DI\,{\rm{//}}\,KE.\]

Suy ra \(DIEK\) là hình bình hành.

Do đó \(DK\,{\rm{//}}\,EI\). Do đó ý d) đúng.

Đáp số: \[ - {\bf{15}}\].

Ta có: \(A = - \frac{1}{3}x{y^2} + \frac{1}{2}{x^2}y + x{y^2} - \frac{3}{4}{x^2}y\)

\( = \left( { - \frac{1}{3}x{y^2} + x{y^2}} \right) + \left( {\frac{1}{2}{x^2}y - \frac{3}{4}{x^2}y} \right)\)

\( = \frac{2}{3}x{y^2} - \frac{1}{4}{x^2}y\).

Thay \(x = - 2\) và \(y = 3\) vào biểu thức \(A\) ta được:

\(A = \frac{2}{3} \cdot \left( { - 2} \right) \cdot {3^2} - \frac{1}{4} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} \cdot 3 = - 12 - 3 = - 15.\)

Đáp số: 8.

Ta có \[{x^3} + 6{x^2} + 12x + m = {x^3} + 3 \cdot {x^2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot {2^2} + m\].

Để biểu thức trên là lập phương của một tổng thì \(m = {2^3} = 8\).

Khi đó, \[{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 = {x^3} + 3 \cdot {x^2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot {2^2} + {2^3} = {\left( {x + 2} \right)^3}\].

Đáp số: 107.

Xét tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} = 360^\circ \) (tổng các góc của một tứ giác)

Do đó \(65^\circ + \widehat C + 23^\circ + \widehat C + 58^\circ = 360^\circ \)

Suy ra \(2\widehat C + 146^\circ = 360^\circ \) nên \(2\widehat C = 360^\circ - 146^\circ = 214^\circ \).

Do đó \(\widehat C = 107^\circ .\)

Hình vuông \[ABCD\] có hai đường chéo \[AC\] và \[BD\] cắt nhau tại trung điểm \[O\] của mỗi đường nên \[OA = OB.\]

Suy ra tam giác \[OAB\] cân tại \[O.\]

Mà tứ giác \[ABCD\] là hình vuông nên \[AC \bot BD\] hay \[OA \bot OB.\]

Do đó, tam giác \[OAB\] vuông cân tại \[O.\]

a) Tứ giác \[AHBD\] có \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[HD\] nên là hình bình hành. Do \[AH\] là đường cao của \[\Delta ABC\] nên \[AH \bot BC\], suy ra \[\widehat {AHB} = 90^\circ \]. Hình bình hành \[AHBD\] có \[\widehat {AHB} = 90^\circ \] nên \[AHBD\] là hình chữ nhật.

Tương tự, tứ giác \[AHCE\] có \[N\] là trung điểm của \[AC\] và \[HE\] nên là hình bình hành.

Lại có \[\widehat {AHC} = 90^\circ \] nên \[AHCE\] là hình chữ nhật.

Do \[AHBD,{\rm{ }}AHCE\] là các hình chữ nhật (chứng minh trên).

Suy ra \[\widehat {ADB} = \widehat {DBH} = \widehat {HCE} = \widehat {AEC} = 90^\circ \].

Tứ giác \[BCED\] có \[\widehat {ADB} = \widehat {DBH} = \widehat {HCE} = \widehat {AEC} = 90^\circ \] nên \[BCED\] là hình chữ nhật.

b) Do \[BCED\] là hình chữ nhật (câu a) nên \[CD = BE\].

Do \[AHBD,{\rm{ }}AHCE\] là các hình chữ nhật (câu a) nên \[AB = DH,{\rm{ }}AC = HE\].

Mà \[AB = AC\] (do \[\Delta ABC\] cân tại \[A\]) nên \[DH = HE\].

c) Vì \[ADBH,{\rm{ }}AECH\] là các hình chữ nhật nên \[AD = BH,{\rm{ }}AE = HC,{\rm{ }}AD{\rm{ // }}BC,{\rm{ }}AE{\rm{ // }}BC\].

Mà \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] có \[AH\] là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó \[H\] là trung điểm của \[BC\], suy ra \[BH = HC\].

Từ đó, \[AD = BH = HC = AE\].

Tứ giác \[ADHC\] có: \[AD{\rm{ // }}HC,{\rm{ }}AD = HC\] nên \[ADHC\] là hình bình hành.

Tứ giác \[ABHE\] có: \[AE{\rm{ // }}BH,{\rm{ }}AE = BH\] nên \[ABHE\] là hình bình hành.

Vì \[ADHC\] là hình bình hành nên \[CD\] cắt \[AH\] tại trung điểm của \[AH\].

Vì \[AEHB\] là hình bình hành nên \[BE\] cắt \[AH\] tại trung điểm của \[AH\].

Vậy giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\].

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[{x^4}y + x - 2y{x^4} = {x^4}y - 2{x^4}y + x =  - {x^4}y + x\]

Vậy đa thức \[{x^4}y + x - 2y{x^4}\] là đa thức chưa thu gọn.

Đáp án đúng là: D

Đa thức \({x^4} - \frac{1}{2}x{y^3}z\) có bậc là \(5.\)

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(S =  - 6xy\frac{1}{2}{x^2}yz + 2zx{y^2}{x^2} =  - 3{x^3}{y^2}z + 2{x^3}{y^2}z =  - {x^3}{y^2}z\)

Thay \(x =  - 2,y = 1,z =  - 1\) vào biểu thức \( - {x^3}{y^2}z\) ta được:

\(S =  - {\left( { - 2} \right)^3} \cdot {1^2} \cdot \left( { - 1} \right) =  - 8.\)

Đáp án đúng là: A

Đẳng thức \({x^2} - x =  - x + {x^2}\) là hằng đẳng thức.

Đẳng thức \(x\left( {x - 1} \right) = x - {x^2}\) không là hằng đẳng thức vì khi ta thay \(x = 2\) thì hai đẳng thức không bằng nhau.

Đẳng thức \({\left( {a - b} \right)^2} =  - {\left( {b - a} \right)^2}\) không là hằng đẳng thức vì khi ta thay \(a = 0,\,\,b = 1\) thì hai đẳng thức không bằng nhau.

Đẳng thức \(a - 2 = 2 - a\) không là hằng đẳng thức vì khi ta thay \(a = 0\) thì hai đẳng thức không bằng nhau.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \({\left( { - a + b} \right)^3} = {\left( {b - a} \right)^3} = {b^3} - 3{b^2}a + 3b{a^2} - {a^3} =  - {a^3} + 3{a^2}b - 3a{b^2} + {b^3}\).

Vậy đáp án C là đáp án sai.

Đáp án đúng là: C

Tứ giác \(ABCD\) có các cặp góc đối nhau là \(\widehat {A\,\,}\) và \(\widehat {C\,};\) \(\widehat {B\,}\) và \(\widehat {D\,}\).

Do đó phương án C là khẳng định sai.

Đáp án đúng là: D

Tứ giác có 2 đường chéo, tổng các góc bằng \(360^\circ .\)

Giả sử có tứ giác có 1 góc tù và 3 góc vuông khi đó tổng số đo các góc của tứ giác này là lớn hơn \(90^\circ  + 3 \cdot 90^\circ  = 360^\circ \), điều này mâu thuẫn với định lí tổng các góc của một tứ giác.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} = 360^\circ  - \left( {\widehat {C\,} + \widehat {D\,}} \right) = 360^\circ  - \left( {60^\circ  + 80^\circ } \right) = 220^\circ \].

Mà \[\widehat {A\,\,} - \widehat {B\,} = 10^\circ \] nên ta có \(\widehat {A\,\,} = \frac{{220^\circ  + 10^\circ }}{2} = 115^\circ \).

Đáp án đúng là: C

− Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành:

+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành nên A đúng.

+ Hình thang nên hai cạnh đối song song, thêm điều kiện hai cạnh bên song song tức có các cặp cạnh đối song song nên hình thang này là hình bình hành nên B đúng.

+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành nên D đúng.

− Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nên không đủ dữ kiện khẳng định là hình bình hành. Do đó phương án C là khẳng định sai.

Đáp án đúng là: C

+ Ta thấy \[AB = CD = AD = BC\] thì \[ABCD\] chỉ có bốn cạnh bằng nhau nên \[ABCD\] chưa chắc là hình chữ nhật.

+ Nếu \(\widehat {A\,} = \widehat B = \widehat C = 90^\circ \) thì tứ giác \[ABCD\] có ba góc vuông nên \[ABCD\] là hình chữ nhật (do dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông).

+ Nếu \(\widehat {A\,} = \widehat B = \widehat C = 90^\circ \) và \[AB\,{\rm{//}}\,CD\] thì tứ giác \[ABCD\] có \[AD\,{\rm{//}}\,BC;{\rm{ }}AB\,{\rm{//}}\,CD\] nên \[ABCD\] là hình bình hành, lại có \(\widehat A = 90^\circ \) nên \[ABCD\] là hình chữ nhật (do dấu hiệu hình bình hành có một góc vuông).

+ Nếu \[AB\,{\rm{//}}\,CD;{\rm{ }}AB = CD\] và \[AC = BD\] thì \[ABCD\] là hình bình hành (do có cặp cạnh đối \[AB;{\rm{ }}CD\] song song và bằng nhau), lại có hai đường chéo bằng nhau \[AC = BD\] nên \[ABCD\] là hình chữ nhật (do dấu hiệu hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau).

Đáp án đúng là: D

Các phương án A, B, C là các khẳng định đúng theo dấu hiệu nhận biết hình vuông.

Phương án D sai vì hình thoi đã có sẵn hai đường chéo vuông góc, hình thoi cần có hai đường chéo bằng nhau thì mới là hình vuông.

a) \(\frac{3}{4}{x^3}{y^3}:\left( { - \frac{1}{2}{x^2}{y^2}} \right)\)

\[ = \left[ {\frac{3}{4}:\left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right] \cdot \left( {{x^3}:{x^2}} \right) \cdot \left( {{y^3}:{y^2}} \right)\]

\[ =  - \frac{3}{2}xy.\]

a) \[{x^3} + 9{x^2} + 27x + 19 = 0\]

\[{x^3} + 9{x^2} + 27x + 27 - 8 = 0\]

\[{\left( {x + 3} \right)^3} = 8\]

Suy ra \[x + 3 = 2\]

\(x =  - 1.\)

Vậy \(x =  - 1.\)

Ta có: \(B = A + M\)

Suy ra \(M = B - A\)

\( = 2{x^2} - 3xy + {y^2} - 4 - \left( {{x^2} - 4xy - 4} \right)\)

\( = 2{x^2} - 3xy + {y^2} - 4 - {x^2} + 4xy + 4\)

\( = {x^2} + xy + {y^2}.\)

Vậy \(M = {x^2} + xy + {y^2}.\)

Ta có: \[P = \left( {x - 3} \right)M - y - \left( {x + y} \right)\left( {xy - 3y} \right)\]

\( = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - \left( {{x^2}y - 3xy + x{y^2} - 3{y^2}} \right)\)

\[ = x\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - 3\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - {x^2}y + 3xy - x{y^2} + 3{y^2}\]

\[ = {x^3} + {x^2}y + x{y^2} - 3{x^2} - 3xy - 3{y^2} - {x^2}y + 3xy - x{y^2} + 3{y^2}\]

\[ = {x^3} - 3{x^2}\]

Vậy giá trị của biểu thức \(P\) không phụ thuộc vào giá trị của biến \(y.\)

Ta có: \(4{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0\)

\(4{x^2} - 4x\left( {y + z} \right) + \left( {{y^2} + 2yz + {z^2}} \right) + {y^2} + {z^2} - 6y - 10z + 34 = 0\)

\(\left[ {4{x^2} - 4x\left( {y + z} \right) + {{\left( {y + z} \right)}^2}} \right] + \left( {{y^2} - 6y + 9} \right) + \left( {{z^2} - 10z + 25} \right) = 0\)

\({\left( {2x - y - z} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 0\,\,\left( * \right)\)

Với mọi \(x,y,z\) ta có: \({\left( {2x - y - z} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 3} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {z - 5} \right)^2} \ge 0\)

Do đó \(\left( * \right)\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - y - z} \right)^2} = 0\\{\left( {y - 3} \right)^2} = 0\\{\left( {z - 5} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - z = 0\\y - 3 = 0\\z - 5 = 0\end{array} \right.\), tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\\z = 5\end{array} \right.\)

Khi đó \(S = {\left( {4 - 4} \right)^{2023}} + {\left( {3 - 4} \right)^{2025}} + {\left( {5 - 4} \right)^{2027}} = 0 - 1 + 1 = 0.\)