Đáp án đúng là: B

Ta có \[{x^4}y + x - 2y{x^4} = {x^4}y - 2{x^4}y + x = - {x^4}y + x\].

Vậy đa thức \[{x^4}y + x - 2y{x^4}\] là đa thức chưa thu gọn.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\frac{1}{2}xyx = \frac{1}{2}{x^2}y\), đơn thức này đồng dạng với đơn thức \( - 3{x^2}y\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đa thức \(7{x^3}{y^2}z - 2{x^4}{y^3}\) chia hết cho \( - 2{x^3}y\).

Hạng tử \(7{x^3}{y^2}z\) không chia hết cho đơn thức \(3{x^4};\,\, - 3{x^4}\) và \(2x{y^3}\) nên đa thức \(7{x^3}{y^2}z - 2{x^4}{y^3}\) cũng không chia hết cho \(3{x^4};\,\, - 3{x^4}\) và \(2x{y^3}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thay \(x = 4,y = - 5,z = - 2\) vào biểu thức \(A\) ta được:

\(A = {4^4} + {4.4^2}.\left( { - 5} \right) - 6.\left( { - 2} \right) = 256 - 320 + 12 = - 52\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) có tên là hiệu hai bình phương.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64 = {\left( {x + 4} \right)^3}\). Vậy \(a = 4.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tứ giác \(ABCD\) có các cặp góc đối nhau là \(\widehat A\) và \(\widehat C\), \(\widehat B\) và \[\widehat D\,.\]

Các cặp góc \(\widehat A\) và \(\widehat B\), \(\widehat C\) và \(\widehat D\) là hai cặp góc kề nhau.

Đáp án đúng là: A

Gọi \[\widehat {CDx}\] là góc ngoài tại đỉnh \(D\).

Tứ giác \(ABCD\) có: \[\widehat {ADC} = 360^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B + \widehat C} \right)\].

Suy ra \[\widehat {ADC} = 360^\circ - \left( {50^\circ {\rm{ }} + 117^\circ \; + 71^\circ } \right) = 122^\circ \].

Vì \[\widehat {ADC}\] và \[\widehat {CDx}\] là hai góc kề bù nên \[\widehat {CDx} = {\rm{180^\circ }} - \widehat {ADC} = 180^\circ - 122^\circ = {\rm{58^\circ }}\].

Vậy số đo góc ngoài tại đỉnh \(D\) bằng \[58^\circ \].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hình thang cân \[ABCD\] có \(AB\,{\mkern 1mu} {\rm{//}}\,{\mkern 1mu} CD\) nên \[AB\] và \[CD\] là hai đáy.

Theo tính chất của hình thang cân ta có \[\widehat A = \widehat B = 125^\circ \].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Hình \({\rm{1}}\) là hình thoi vì có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau.

• Hình \(2\), Hình 3 không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

• Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nếu thỏa mãn điều kiện \[\widehat A = \widehat C;\,\,\widehat B = \widehat D\] (các góc đối bằng nhau).

• Tứ giác \(ABCD\) có một cặp cạnh đối bằng nhau \[\left( {AB = CD} \right)\] hoặc một cặp góc đối bằng nhau \[\left( {\widehat A = \widehat C} \right)\] thì chưa đủ điều kiện để kết luận hình bình hành.

• Tứ giác \(ABCD\) có một cặp cạnh đối song song \[\left( {AB\,{\rm{//}}\,CD} \right)\] thì chưa đủ để kết luận hình bình hành và hai đường chéo của hình bình hành có thể không bằng nhau.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án:               a) Sai.        b) Đúng.     c) Sai.        d) Đúng.

⦁ Thay \(x = 1\,;\,\,y = - 1\) vào biểu thức \(P\), ta có:

\(P = {1^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 1} \right) + 9 = 1 + 4 + 9 = 14.\)

Vậy với \(x = 1\,;\,\,y = 0\) thì \(P = 14\). Do đó ý a) sai.

⦁ Đa thức \(Q = - 6xy - 4{y^2} + 9\) có bậc là 2. Do đó ý b) đúng.

⦁ Ta có \(P - A = Q\)

Suy ra \(A = P - Q\)\( = {x^2} - 4xy + 9 - \left( { - 6xy - 4{y^2} + 9} \right)\)

\( = {x^2} - 4xy + 9 + 6xy + 4{y^2} - 9\)

\( = {x^2} + 2xy + 4{y^2}\).

Như vậy \(A = {x^2} + 2xy + 4{y^2}.\) Do đó ý c) sai.

⦁ Ta có: \[M = \left( {x - 2y} \right)A - {x^3} + 5\]

\( = \left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right) - {x^3} + 5\)

\[ = x\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right) - 2y\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right) - {x^3} + 5\]

\[ = {x^3} + 2{x^2}y + 4x{y^2} - 2{x^2}y - 4x{y^2} - 8{y^3} - {x^3} + 5\]

\[ = {x^3} - 8{y^3} - {x^3} + 5\]\[ = - 8{y^3} + 5\].

Như vậy, giá trị của biểu thức \(M\) không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x.\) Do đó ý d) đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án:               a) Sai.        b) Đúng.     c) Đúng.     d) Sai.

⦁ Giả sử \[AI\] cắt \[BC\] ở \[H\].

Ta có: \[\widehat {DAI} + \widehat {DAB} + \widehat {BAH} = 180^\circ \], mà \[\widehat {DAB} = 90^\circ \] (do \[\Delta DAB\] vuông cân tại \[A\]).

Suy ra \[\widehat {DAI} + \widehat {BAH} = 90^\circ \]. Do đó ý a) sai.

⦁ Mà \[\widehat {DAI} = \widehat {ABC}\] (gt) nên \[\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ \].

Trong \[\Delta ABH\] có: \[\widehat {ABH} + \widehat {BAH} + \widehat {AHB} = 180^\circ \].

Suy ra \[\widehat {AHB} = 180^\circ \left( {\widehat {ABH} + \widehat {BAH}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \] hay \[AI \bot BC\]. Do đó ý b) đúng.

⦁ Ta có \[\widehat {BAE} = \widehat {BAC} + \widehat {CAE} = \widehat {BAC} + 90^\circ \] và \[\widehat {DAC} = \widehat {BAC} + \widehat {BAD} = \widehat {BAC} + 90^\circ \].

Do đó \[\widehat {BAE} = \widehat {DAC}\].

Xét \[\Delta BAE\] và \[\Delta DAC\] có:

\[AB = AD;\,\,\widehat {BAE} = \widehat {DAC};\,\,AC = AE\];

Do đó \[\Delta BAE = \Delta DAC\] (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {CDA}\) (hai góc tương ứng). Do đó ý c) đúng.

⦁ Tam giác \[ABD\] vuông cân tại \[A\] nên \[AK\] vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường phân giác. Do đó \(\widehat {DAK} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = 45^\circ \).

Khi đó \(\widehat {ABK} = \widehat {BAK} = 45^\circ \) nên \[\Delta ABK\] vuông cân tại \[K\], do đó \[KA = KB\].

Ta có \[\widehat {KAI} = \widehat {DAK} + \widehat {DAI} = 45^\circ + \widehat {DAI} = 45^\circ + \widehat {ABC}\].

Mặt khác \[\widehat {KBC} = \widehat {ABK} + \widehat {ABC} = 45^\circ + \widehat {ABC}\] (do \[\Delta ABD\] vuông cân tại \[A\] nên \(\widehat {ABK} = 45^\circ )\).

Do đó \(\widehat {KAI} = \widehat {KBC}\). Do đó ý d) sai.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 1.

Ta có \(B - \left( {5{x^2} - 2xyz} \right) = 2{x^2} + 2xyz + 1\)

Suy ra \[B = \left( {2{x^2} + 2xyz + 1} \right) + \left( {5{x^2} - 2xyz} \right)\]

\( = 2{x^2} + 2xyz + 1 + 5{x^2} - 2xyz\)

\( = \left( {2{x^2} + 5{x^2}} \right) + \left( {2xyz - 2xyz} \right) + 1 = 7{x^2} + 1\).

Do đó, hạng tử tự do của đa thức \(B\) là 1.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 27.

Ta có \[{x^3} - 9{x^2} + 27x - m = {x^3} - 3 \cdot {x^2} \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot {3^2} - m\].

Để biểu thức trên là lập phương của một tổng thì \(m = {3^3} = 27\).

Khi đó, \[{x^3} - 9{x^2} + 27x - 27 = {x^3} - 3 \cdot {x^2} \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot {3^2} - {3^3} = {\left( {x - 3} \right)^3}\].

Hướng dẫn giải

Đáp số: 120.

Góc ngoài tại đỉnh \(B\) có số đo bằng \(70^\circ \) nên góc trong tại đỉnh \(B\) có số đo bằng \(180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).

Xét tứ giác \(ABCD,\) ta có: \(\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} = 360^\circ \).

Do đó \(3x + 110^\circ + x + 90^\circ = 360^\circ \).

Suy ra \(4x = 160^\circ \) nên \(x = 40^\circ \).

Vậy \(3x = 3 \cdot 40^\circ = 120^\circ .\)

Đáp số: 12.

Tứ giác \[MNPQ\] là hình thoi nên hai đường chéo \[MP\] và \[NQ\] vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm \[O\] của mỗi đường. Suy ra \(OM = \frac{1}{2}MP\,;\,\,ON = \frac{1}{2}NQ.\) Diện tích hình thoi \[MNPQ\] là:

\[{S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}MP \cdot NQ = \frac{1}{2} \cdot 2OM \cdot 2ON = 2OM \cdot ON = 48\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).\]

Suy ra \[OM \cdot ON = \frac{{48}}{2} = 24.\]

Diện tích tam giác \[MON\] là: \[{S_{MON}} = \frac{1}{2}OM \cdot ON = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).\]

Vậy diện tích tam giác \[MON\] là \[12\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\]

a) Do \[MNBA\] và \[MNCB\] là hình bình hành Suy ra \[AB{\rm{ // }}MN,{\rm{ }}BC{\rm{ // }}MN\] nên theo tiên đề Euclid, hai đường thẳng \[AB\] và \[BC\] trùng nhau. Do đó ba điểm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\] thẳng hàng. Do \[MNBA\] và \[MNCB\] là hình bình hành nên \[AB = MN,{\rm{ }}BC = MN\]. Suy ra \(AB = BC\). Mà \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\] thẳng hàng nên \[B\] là trung điểm của \[AC\].

b) Từ câu a, ta suy ra \(MN{\rm{//}}\,AC\) nên \[MNCA\] là hình thang.

Do \[MNCB\] là hình bình hành nên \[NC{\rm{ // }}MB\], từ đó \[\widehat {NCB} = \widehat {MBA}\] (hai góc đồng vị). Điều kiện để hình thang \[MNCA\] là hình thang cân là \[\widehat {MAB} = \widehat {NCB}\] tức là \[\widehat {MAB} = \widehat {MBA}.\]

Vậy điều kiện để \[MNCA\] là hình thang cân là tam giác \[MAB\] cân tại \[M\].

c) Chứng minh tương tự câu a, ta có \(MN\,{\rm{//}}\,AD\) và bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) thẳng hàng. Do đó \[MNDA\] là hình thang. Do \[MNDC\] là hình bình hành nên \[ND{\rm{ // }}MC\], từ đó \[\widehat {NDC} = \widehat {MCA}\] (hai góc đồng vị). Điều kiện để hình thang \[MNDA\] là hình thang cân là \[\widehat {NDC} = \widehat {MAC}\].

Khi đó điều kiện để \[MNDA\] là hình thang cân là \[\widehat {MCA} = \widehat {MAC}\] tức là tam giác \[MAC\] cân tại \[M\].

Do \[MB\] là đường trung tuyến của tam giác \[MAC\] nên điều kiện để tam giác \[MAC\] cân tại \[M\] là \[MB\] vuông góc với \[AC\].

Vậy điều kiện để hình thang \[MNDA\] là hình thang cân đó là tam giác \[MAB\] vuông tại \[B\].

Đáp án đúng là: B

Biểu thức \(2x + 4\) không phải là đơn thức vì nó có chứa phép tính cộng.

Đáp án đúng là: C

Đơn thức \( - 10abx{y^2}\) có hệ số \( - 10\) và bậc là 1 + 1 + 1 + 2 = 5.

Đáp án đúng là: C

Có bốn đa thức là: \(x - 5 + {y^2};\,\,\,\,{x^2}yz;\,\,\,\,2x + 5{x^3} - {x^4} + 5{x^2};\,\,\,\frac{1}{3}x + {y^2}z\).

Biểu thức \(2x - 3 + \frac{2}{y}\) không phải là đa thức do nó có chứa biến ở mẫu.

Đáp án đúng là: A

Đa thức \({x^2}{y^2} + x{y^5} - {x^2}{y^4}\) có 3 hạng tử.

+ Hạng tử \({x^2}{y^2}\) có bậc là 2 + 2 = 4.

+ Hạng tử \(x{y^5}\) có bậc là 1 + 5 = 6.

+ Hạng tử \( - {x^2}{y^4}\) có bậc là 2 + 4 = 6.

Vậy đa thức \({x^2}{y^2} + x{y^5} - {x^2}{y^4}\) có bậc là 6.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(5{x^2}{y^5}:10{x^2}{y^3} = \left( {5:10} \right).\left( {{x^2}:{x^2}} \right).\left( {{y^5}:{y^3}} \right) = \frac{1}{2}{y^2}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) (bình phương của một tổng).

Đáp án đúng là: D

Xét từng đáp án, ta có:

\({x^2} - {y^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)\) (hiệu hai bình phương)

\({\left( { - x - y} \right)^2} = {\left( { - x} \right)^2} - 2.\left( { - x} \right).y + {y^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\) (áp dụng bình phương của một hiệu)

\({x^3} - {y^3} = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\) (hiệu hai lập phương)

\({x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\) (tổng hai lập phương)

Do đó, đáp án A, B, C đúng và đáp án D sai.

Đáp án đúng là: C

Ta có \(4{x^2} - 25{y^2} = {\left( {2x} \right)^2} - {\left( {5y} \right)^2} = \left( {2x + 5y} \right)\left( {2x - 5y} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Thay \(x = 2;\,y = \frac{1}{3}\) vào đa thức \(4{x^2}y - \frac{2}{3}x{y^2} + 5xy - x\) ta được

\({4.2^2}.\frac{1}{3} - \frac{2}{3}.2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + 5.2.\frac{1}{3} - 2 = \frac{{176}}{{27}}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\)

\( = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.1 + 1 - \left( {9x.x + 9x} \right)\)

\( = 9{x^2} - 6x + 1 - 9{x^2} - 9x\)

\( =  - 15x + 1\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \({a^4} + {a^3} + {a^3}b + {a^2}b\)

\( = \left( {{a^4} + {a^3}} \right) + \left( {{a^3}b + {a^2}b} \right)\)

\( = {a^3}\left( {a + 1} \right) + {a^2}b\left( {a + 1} \right)\)

\( = \left( {a + 1} \right)\left( {{a^3} + {a^2}b} \right)\)

\( = \left( {a + 1} \right){a^2}\left( {a + b} \right)\)

\( = {a^2}\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)\).

a) Với \(x,\,y,\,z\) là các biến, ta có đa thức \(P\) có 4 hạng tử:

+ Hạng tử \(5xyz\) có bậc là 3.

+ Hạng tử \( - 2{x^2}\) có bậc là 2.

+ Hạng tử \(4xy\) có bậc là 2.

+ Hạng tử \( - 5\) có bậc là 0.

Vậy bậc của đa thức \(P\) bằng 3.

b) Ta có:

\[P + Q = \left( {5xyz - 2x{}^2 + \,4xy - 5} \right) + \left( { - xyz + 4{x^2} + 2xy - 7} \right)\]

\[ = 5xyz - 2x{}^2 + \,4xy - 5 - xyz + 4{x^2} + 2xy - 7\]

\( = \left( {5xyz - xyz} \right) + \left( { - 2{x^2} + 4{x^2}} \right) + \left( {4xy + 2xy} \right) - \left( {5 + 7} \right)\)

\[ = 4xyz + 2{x^2} + 6xy - 12\].

\[P - Q = \left( {5xyz - 2x{}^2 + \,4xy - 5} \right) - \left( { - xyz + 4{x^2} + 2xy - 7} \right)\]

\[ = 5xyz - 2x{}^2 + \,4xy - 5 + xyz - 4{x^2} - 2xy + 7\]

\( = \left( {5xyz + xyz} \right) + \left( { - 2{x^2} - 4{x^2}} \right) + \left( {4xy - 2xy} \right) + \left( { - 5 + 7} \right)\)

\[ = 6xyz - 6{x^2} + 2xy + 2\].

Ta có \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = {x^3} + 3{x^2}.1 + 3x{.1^3} + {1^3} = {\left( {x + 1} \right)^3}\).

Thay \(x = 99\) vào biểu thức \({\left( {x + 1} \right)^3}\) ta được \({\left( {99 + 1} \right)^3} = {100^3} = 1\,000\,000\).

Vậy giá trị của biểu thức \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\) tại \(x = 99\) là \(1\,000\,000\).

Ta có \[A = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\]

\( = \left( {{x^3} + {1^3}} \right) - \left( {{x^3} - {1^3}} \right)\)

\( = {x^3} + 1 - {x^3} + 1\)

\( = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {1 + 1} \right)\)

\( = 2\) với mọi \(x\).

Vậy giá trị của biểu thức \(A\) không phụ thuộc vào biến \(x\).

Ta có \(VT = \left( {x + y} \right)\left( {{x^4} - {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3} + {y^4}} \right)\)

         \( = x\left( {{x^4} - {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3} + {y^4}} \right) + y\left( {{x^4} - {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3} + {y^4}} \right)\)

         \( = {x^5} - {x^4}y + {x^3}{y^2} - {x^2}{y^3} + x{y^4} + {x^4}y - {x^3}{y^2} + {x^2}{y^3} - x{y^4} + {y^5}\)

         \( = \left( {{x^5} + {y^5}} \right) + \left( { - {x^4}y + {x^4}y} \right) + \left( {{x^3}{y^2} - {x^3}{y^2}} \right) + \left( { - {x^2}{y^3} + {x^2}{y^3}} \right) + \left( {x{y^4} - x{y^4}} \right)\)

         \( = {x^5} + {y^5} = VP\).

Suy ra điều phải chứng minh.

Ta có \[A = {\left( {xy + 1} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2}\]

         \( = \left[ {\left( {xy + 1} \right) + \left( {x + y} \right)} \right].\left[ {\left( {xy + 1} \right) - \left( {x + y} \right)} \right]\)

         \( = \left( {xy + 1 + x + y} \right)\left( {xy + 1 - x - y} \right)\)

         \( = \left[ {\left( {xy + x} \right) + \left( {y + 1} \right)} \right].\left[ {\left( {xy - x} \right) - \left( {y - 1} \right)} \right]\)

         \( = \left[ {x\left( {y + 1} \right) + \left( {y + 1} \right)} \right].\left[ {x\left( {y - 1} \right) - \left( {y - 1} \right)} \right]\)

         \( = \left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\).

Do đó \(A = \left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\).

Thay \(x = 2,\,y = 2\) vào biểu thức \(A\) ta được

\(A = \left( {2 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {2 - 1} \right).\left( {2 - 1} \right) = 3.3.1.1 = 9\).

Vậy \(A = 9\) tại \(x = 2,\,y = 2\).

Để đa thức \(4{x^6}{y^7} - 10{x^5}{y^6} + 8{x^4}{y^5}\) chia hết cho đơn thức \( - 4{x^m}{y^n}\) thì mọi hạng tử của đa thức \(4{x^6}{y^7} - 10{x^5}{y^6} + 8{x^4}{y^5}\) đều phải chia hết cho đơn thức \( - 4{x^m}{y^n}\), khi đó ta cần có:

Số mũ của \(x\) và số mũ của \(y\) trong \( - 4{x^m}{y^n}\) nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của \(x\) và số mũ của \(y\) trong mọi hạng tử của \(4{x^6}{y^7} - 10{x^5}{y^6} + 8{x^4}{y^5}\); tức là phải có \(\left\{ \begin{array}{l}m \le 6\\m \le 5\\m \le 4\\n \le 7\\n \le 6\\n \le 5\end{array} \right.\), khi đó ta tìm được \(m \le 4\) và \(n \le 5\), mà \(m,n \in \mathbb{N}\), do đó \(m \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\) và \(n \in \left\{ {0;\,1;\,2;\,3;4;\,5} \right\}\).

Vậy \(m \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\) và \(n \in \left\{ {0;\,1;\,2;\,3;4;\,5} \right\}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.