Đáp án đúng là: B

Có ba đa thức là: \(\,\,\frac{{ - 8}}{9}{x^2}y\,\left( {\,2x - 3} \right);\,\,\,\, - \frac{1}{2}{x^2}y;\,\,\,\,{2^2}{x^3} + \frac{1}{3}{x^3}{y^4} - {x^4}z + {x^2}\).

Các biểu thức \(\left( {5 + {y^2}} \right)\frac{1}{x};\,\,\,15 + \frac{1}{z}\) không phải là đa thức do nó có chứa biến ở mẫu.

Đáp án đúng là: C

Ta có \(A = 2{x^2}y \cdot 5x{y^3} = \left( {2 \cdot 5} \right) \cdot \left( {{x^2} \cdot x} \right) \cdot \left( {y \cdot {y^3}} \right) = 10{x^3}{y^4}.\)

Do đó, biểu thức \(A\) có bậc là 7.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(5{x^2}{y^5}:10{x^2}{y^3} = \left( {5:10} \right).\left( {{x^2}:{x^2}} \right).\left( {{y^5}:{y^3}} \right) = \frac{1}{2}{y^2}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \[\left( {4{x^{10}}y - x{y^7} + {x^5}{y^4}} \right):2{x^n}{y^n}\]

\[ = 4{x^{10}}y:2{x^n}{y^n} - x{y^7}:2{x^n}{y^n} + {x^5}{y^4}:2{x^n}{y^n}\].

Để phép chia \(\left( {4{x^{10}}y - x{y^7} + {x^5}{y^4}} \right):2{x^n}{y^n}\) là phép chia hết thì \(n \le 1\) và \(n\) là số tự nhiên.

Do đó \(n \in \left\{ {0\,;\,\,1} \right\}\).

Đáp án đúng là: D

Xét từng đáp án, ta có:

• \({\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\) (bình phương của một tổng)

• \({\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}\) (lập phương của một tổng)

• \({x^3} - {y^3} = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\) (hiệu hai lập phương)

• \({\left( {x - y} \right)^3} = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}\) (lập phương của một hiệu)

Do đó, đáp án A, B, C đúng và đáp án D sai.

Đáp án đúng là: C

Ta có \({\left( {2x - 3} \right)^2} = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.3 + {3^2} = 4{x^2} - 12x + 9\).

Đáp án đúng là: A

Tứ giác có 4 cạnh, 2 đường chéo, 4 đỉnh và 4 góc.

Đáp án đúng là: B

Tứ giác \(ABCD\) có \[\widehat {A\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} = 360^\circ \].

Suy ra \[\widehat {A\,} + \widehat {B\,} = 360^\circ - \left( {\widehat {C\,} + \widehat {D\,}} \right) = 360^\circ - \left( {60^\circ  + 80^\circ } \right) = 220^\circ \].

Mà \[\widehat {A\,\,} - \widehat {B\,} = 10^\circ \] nên ta có \(\widehat {A\,\,} = \frac{{220^\circ + 10^\circ }}{2} = 115^\circ \).

Đáp án đúng là: B

Hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật khi 1 trong 4 góc ở đỉnh là góc vuông nên \[\widehat A = 90^\circ \].

Đáp án đúng là: C

Tứ giác \(ABCD\) là hình thoi có hai đường chéo \(AC,\,\,BD\) vuông góc với nhau thì \(ABCD\) vẫn là hình thoi; chưa thể kết luận được \(ABCD\) là hình vuông.

Đáp án:               a) S.           b) S.           c) Đ.           d) S.

⦁ Đa thức \(A\) có bậc là 3. Do đó ý a) sai.

⦁ Ta có \(B = 3y\left( {3y - x} \right) + \left( { - 2{x^2}{y^2} - 6x{y^3} + 4xy} \right):\frac{2}{3}xy\)

\[ = 9{y^2} - 3xy - 3xy - 9{y^2} + 6\]

\[ = \left( {9{y^2} - 9{y^2}} \right) + \left( { - 3xy - 3xy} \right) + 6\]

\[ = - 6xy + 6 = 6\left( { - xy + 1} \right).\]

Vì \(6\left( { - xy + 1} \right)\,\, \vdots \,\,6\) với mọi giá trị nguyên của \(x,y\) nên \(B\) luôn chia hết cho 6 với mọi giá trị nguyên của biến \(x,\,\,y.\) Do đó ý b) sai.

⦁ Thay \(x = \frac{1}{2};\) \(y = 4\) vào biểu thức \(A = - 6xy + 6\) đã thu gọn được ở câu a, ta được:

\(A = - 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 + 6 = - 12 + 6 = - 6.\)

Vậy \(A = - 6\) khi \(x = \frac{1}{2};\,\,y = 4.\) Do đó ý c) sai.

⦁ Tổng của hai đa thức \(A\) và \(B\) là:

\[A + B = \left( {{x^2}y + 5xy - 1} \right) + \left( { - 6xy + 6} \right)\]

\[ = {x^2}y + 5xy - 1 - 6xy + 6\]

\[ = {x^2}y + \left( {5xy - 6xy} \right) + \left( {6 - 1} \right)\]

\[ = {x^2}y - xy + 5.\]

Như vậy, tổng của hai đa thức \(A\) và \(B\) có hạng tử tự do là 5. Do đó ý d) sai.

Đáp án:      a) Đúng.    b) Sai.        c) Sai.        d) Đúng.

⦁ Tứ giác \(BMND\) có: \[MN\parallel BD{\rm{ }}\left( {MN\parallel BC} \right)\]; \[MN = BD\] (gt).

Do đó, tứ giác \(BMND\)là hình bình hành. Do đó ý a) là đúng.

⦁ Vì \(\Delta {\rm{ }}ABH\) vuông tại \(H\,\,\left( {AH \bot BC} \right)\) có \(HM\) là trung tuyến nên \(HM = \frac{1}{2}AB\).

Mà \(MA = \frac{1}{2}AB\) suy ra \(MA = HM\).

Vậy \(\Delta {\rm{ }}AMH\) cân tại \[M\].  Do đó ý b) sai.

⦁ Tứ giác \(DHMN\) có \[MN\parallel DH{\rm{ }}\left( {MN\parallel BC} \right)\] nên tứ giác \(DHMN\) là hình thang.                        \(\left( 1 \right)\)

Ta có \(AH \bot BC\); \[MN\parallel BC\] nên \(AH \bot MN\).

Vì \(\Delta {\rm{ }}AMH\) cân tại \[M\] có \(AH \bot MN\) nên \(MN\) là phân giác của \(\Delta {\rm{ }}AMH\).

Do đó \(\widehat {AMN} = \widehat {HMN}.\) Do đó ý c) sai.

⦁ Tứ giác \(BMND\)là hình bình hành nên \[ND\parallel MB\].

Do đó \(\widehat {AMN} = \widehat {DNM}\)     (so le trong) nên \(\widehat {HMN} = \widehat {DNM}\).   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra tứ giác \(DHMN\) là hình thang cân. Do đó ý d) đúng.

Đáp án: 6.

Ta có \[\left( {5{x^5}{y^4}z + \frac{1}{2}{x^4}{y^2}{z^3} - 2x{y^3}{z^2}} \right):\frac{1}{4}x{y^2}z\]

\[ = 5{x^5}{y^4}z:\frac{1}{4}x{y^2}z + \frac{1}{2}{x^4}{y^2}{z^3}:\frac{1}{4}x{y^2}z - 2x{y^3}{z^2}:\frac{1}{4}x{y^2}z\]

\[ = 20{x^4}{y^2} + 2{x^3}{z^2} - 8yz\].

 Đa thức \[20{x^4}{y^2} + 2{x^3}{z^2} - 8yz\] có bậc 6 nên bậc của đa thức cần tìm có bậc là 6.

Đáp số: 200.

Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \).

Suy ra \[\widehat A + \widehat B = 360^\circ - \widehat C - \widehat D = 360^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 250^\circ .\]

Ta có \(\widehat A:\widehat B = 3:2\) nên \[\frac{{\widehat A}}{{\widehat B}} = \frac{3}{2}\] hay \[\frac{{\widehat A}}{3} = \frac{{\widehat B}}{2}\].

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{\widehat A}}{3} = \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{\widehat A + \widehat B}}{{3 + 2}} = \frac{{250^\circ }}{5} = 50^\circ .\]

Suy ra \[\widehat A = 3 \cdot 50^\circ = 150^\circ \,;\,\,\widehat B = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ .\]

Do đó \(2\widehat A - \widehat B = 2 \cdot 150^\circ - 100^\circ = 200^\circ .\)

Đáp số: 130.

Theo đề bài \(\widehat A - 2\widehat B = 30^\circ \) nên \(\widehat A = 2\widehat B + 30^\circ \).

Vì \[ABCD\] là hình thang cân  nên \(\widehat A + \widehat B = 180^\circ \) nên \(2\widehat B + 30^\circ + \widehat B = 180^\circ \).

Suy ra \(3\widehat B = 150^\circ \) hay \(\widehat B = 50^\circ \) nên \(\widehat A = 130^\circ .\)

Do đó \(\widehat A = \widehat D = 130^\circ .\)

Vậy số đo góc tại đỉnh \[D\] của hình thang là \(130^\circ .\)

a) \[10{x^2}\left( {2x - y} \right) + 6xy\left( {y - 2x} \right)\]

\[ = 10{x^2}\left( {2x - y} \right) - 6xy\left( {2x - y} \right)\]

\[ = \left( {2x - y} \right)\left( {10{x^2} - 6xy} \right)\]

\[ = 2x\left( {2x - y} \right)\left( {5x - 3y} \right).\]

Đáp án đúng là: C

Biểu thức \[{x^3}y\] là một đơn thức.

Đáp án đúng là: B

Đơn thức \({\left( { - 8} \right)^2}{x^2}yz\) có bậc bằng tổng số mũ các biến và là \[2 + 1 + 1 = 4.\]

Đáp án đúng là: D

Hai đơn thức \(\frac{{ - 8}}{9}{x^3}{y^4}z\) và \(10{x^3}{y^4}z\) đồng dạng với nhau vì chúng có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.

Đáp án đúng là: B

Ta có thể viết đa thức \(K\) dưới dạng tổng của 4 đơn thức:

\(K = \frac{1}{2}{x^2}y + \left( { - 3xyz} \right) + \frac{2}{3}{x^3}{y^2}{z^4} + \left( { - 2} \right)\).

Vậy đa thức \(K\) có 4 hạng tử là \(\frac{1}{2}{x^2}y,\,\, - 3xyz,\,\,\frac{2}{3}{x^3}{y^2}{z^4}\) và \( - 2\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \( - 3{x^3}{y^2}.\frac{1}{9}xy = \left( { - 3.\frac{1}{9}} \right).\left( {{x^3}.x} \right).\left( {{y^2}.y} \right) =  - \frac{1}{3}{x^4}{y^3}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \({\left( {2x - 3} \right)^2} = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.3 + {3^2} = 4{x^2} - 12x + 9\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64 = {x^3} + 3.{x^2}.4 + 3.x{.4^2} + {4^3} = {\left( {x + 4} \right)^3}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \[{x^3} + 125{y^3} = {x^3} + {\left( {5y} \right)^3} = \left( {x + 5y} \right)\left( {{x^2} - 5xy + 25{y^2}} \right)\].

Đáp án đúng là: A

Ta có \(A = 5{x^2}y - 3xy + \frac{1}{2}{x^2}y - xy + 5xy - \frac{1}{3}x + \frac{1}{2} + \frac{4}{3}x - \frac{1}{4}\)

\( = \left( {5{x^2}y + \frac{1}{2}{x^2}y} \right) + \left( { - 3xy - xy + 5xy} \right) + \left( { - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}x} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} \right)\)

\( = \left( {5 + \frac{1}{2}} \right){x^2}y + \left( { - 3 - 1 + 5} \right)xy + \left( { - \frac{1}{3} + \frac{4}{3}} \right)x + \left( {\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} \right)\)

\( = \frac{{11}}{2}{x^2}y + xy + x + \frac{1}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(A = xy\left( {x + 1} \right) + x\left( {3 - xy} \right)\)

         \( = {x^2}y + xy + 3x - {x^2}y\)

         \( = \left( {{x^2}y - {x^2}y} \right) + xy + 3x\)

         \( = xy + 3x\).

Khi đó \(A.B = \left( {xy + 3x} \right)\left( {5 + xy} \right) = 5xy + {x^2}{y^2} + 15x + 3{x^2}y\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\left( {5x + 4} \right)\left( {5x - 4} \right) - {\left( {5x + 1} \right)^2} + 123\)

         \( = \left( {25{x^2} - 16} \right) - \left( {25{x^2} + 10x + 1} \right) + 123\)

         \( = \left( {25{x^2} - 25{x^2}} \right) - 10x + \left( {123 - 16 - 1} \right)\)

         \( =  - 10x + 106\)

Giá trị của biểu thức đã cho tại \(x =  - 1\) là \( - 10.\left( { - 1} \right) + 106 = 10 + 106 = 116\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \[{x^3}\left( {13xy - 5} \right) - {y^3}\left( {5 - 13xy} \right)\]

\( = {x^3}\left( {13xy - 5} \right) + {y^3}\left( {13xy - 5} \right)\)

\( = \left( {13xy - 5} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\)

\( = \left( {13xy - 5} \right)\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\).

a) Thay \(x = 0;\,y =  - 2\) vào đa thức \(M\) ta được

\(M = {23.0^{23}}.\left( { - 2} \right) - 22.0.{\left( { - 2} \right)^{23}} + 21.\left( { - 2} \right) - 1 = 0 - 0 - 42 - 1 =  - 43\).

Thay \(x = 0;\,y =  - 2\) vào đa thức \(N\) ta được

\(N =  - 22.0.{\left( { - 2} \right)^3} - 42.\left( { - 2} \right) - 1 = 0 + 84 - 1 = 83\).

Vậy \(M =  - 43;\,N = 83\) tại \(x = 0;\,y =  - 2\).

b) Ta có:

\(M + N = \left( {23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 21y - 1} \right) + \left( { - 22x{y^3} - 42y - 1} \right)\)

         \( = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 21y - 1 - 22x{y^3} - 42y - 1\)

         \( = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} - 22x{y^3} + \left( {21y - 42y} \right) + \left( { - 1 - 1} \right)\)

         \( = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} - 22x{y^3} - 21y - 2\).

\(M - N = \left( {23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 21y - 1} \right) - \left( { - 22x{y^3} - 42y - 1} \right)\)

         \( = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 21y - 1 + 22x{y^3} + 42y + 1\)

         \( = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 22x{y^3} + \left( {21y + 42y} \right) + \left( { - 1 + 1} \right)\)

         \( = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 22x{y^3} + 63y\).

c) Từ \(M - N - P = 63y + 1\) suy ra

\(P = \left( {M - N} \right) - \left( {63y + 1} \right)\)

\( = \left( {23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 22x{y^3} + 63y} \right) - \left( {63y + 1} \right)\)

\( = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 22x{y^3} + 63y - 63y - 1\)

\( = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 22x{y^3} - 1\).

Vậy \(P = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 22x{y^3} - 1\).

a) \({202^2} = {\left( {200 + 2} \right)^2} = {200^2} + 2.200.2 + {2^2} = 40\,\,000 + 800 + 4 = 40\,\,804\).

b) \(299\,.\,301 = \left( {300 - 1} \right).\left( {300 + 1} \right) = {300^2} - 1 = 90\,\,000 - 1 = 89\,\,999\).

c) \({95^3} + {15.95^2} + 3.95.25 + {5^3}\)

\( = {95^3} + {3.95^2}.5 + {3.95.5^2} + {5^3}\)

\( = {\left( {95 + 5} \right)^3} = {100^3} = 1\,\,000\,\,000\).

d) \(9\left( {{{10}^2} + 10 + 1} \right) + 100\left( {{{98}^2} + 392 + {2^2}} \right)\)

\( = \left( {10 - 1} \right)\left( {{{10}^2} + 10 + 1} \right) + 100\left( {{{98}^2} + 2.98.2 + {2^2}} \right)\)

\( = {10^3} - 1 + 100{\left( {98 + 2} \right)^2}\)

\( = 1\,000 - 1 + {100.100^2}\)

\( = 999 + 100.10\,\,000\)

\( = 999 + 1\,\,000\,\,000\)

\[ = 1\,\,000\,\,999\].

Chiều dài của hộp giấy đó là: \(x + y\) (cm).

Diện tích xung quanh của hộp giấy đó là:

\({S_{xq}} = 2\left[ {\left( {x + y} \right) + x} \right].\left( {y + 3} \right)\)\( = 2\left( {2x + y} \right)\left( {y + 3} \right)\)

                                    \( = \left( {4x + 2y} \right)\left( {y + 3} \right)\)

                                    \( = 4xy + 12x + 2{y^2} + 6y\) (cm2).

Thể tích của hộp giấy đó là:

\(V = x\left( {x + y} \right)\left( {y + 3} \right) = \left( {{x^2} + xy} \right)\left( {y + 3} \right) = {x^2}y + 3{x^2} + x{y^2} + 3xy\) (cm3).

Vậy đa thức biểu thị diện tích xung quanh của hộp giấy đó là \({S_{xq}} = 4xy + 12x + 2{y^2} + 6y\) (cm2) và đa thức biểu thị thể tích của hộp giấy đó là \(V = {x^2}y + 3{x^2} + x{y^2} + 3xy\) (cm3).

a) \(3{x^2} - \sqrt 3 x + \frac{1}{4}\)

\( = {\sqrt 3 ^2}.{x^2} - 2.\sqrt 3 x.\frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)

\( = {\left( {\sqrt 3 x} \right)^2} - 2.\sqrt 3 x.\frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)

\( = {\left( {\sqrt 3 x - \frac{1}{2}} \right)^2}\).

b) \({x^2} - x - {y^2} + y\)

\( = \left( {{x^2} - {y^2}} \right) - \left( {x - y} \right)\)

\( = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right)\)

\( = \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right)\).

c) \[{x^4} + {x^3} + 2{x^2} + x + 1\]

\[ = \left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) + \left( {{x^3} + x} \right)\]

\[ = \left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} + 2{x^2} + 1} \right] + \left( {{x^3} + x} \right)\]

\[ = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + x\left( {{x^2} + 1} \right)\]

\[ = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\].

d) \({x^3} + 2{x^2} + x - 16x{y^2}\)

\( = x\left( {{x^2} + 2x + 1 - 16{y^2}} \right)\)

\( = x\left[ {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - {4^2}.{y^2}} \right]\)

\( = x\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {4y} \right)}^2}} \right]\)

\( = x\left( {x - 4y + 1} \right)\left( {x + 4y + 1} \right)\).

Vì \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} = 4abcd\)

\( \Rightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} - 4abcd = 0\). (*)

Ta có \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} - 4abcd\)

\( = \left( {{a^4} - 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \right) + \left( {{c^4} - 2{c^2}{d^2} + {d^4}} \right) + \left( {2{a^2}{b^2} - 4abcd + 2{c^2}{d^{^2}}} \right)\)

\( = \left[ {{{\left( {{a^2}} \right)}^2} - 2{a^2}{b^2} + {{\left( {{b^2}} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {{c^2}} \right)}^2} - 2{c^2}{d^2} + {{\left( {{d^2}} \right)}^2}} \right] + 2\left[ {{{\left( {ab} \right)}^2} - 2ab.cd + {{\left( {cd} \right)}^2}} \right]\)

\( = {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} + 2{\left( {ab - cd} \right)^2}\).

Từ (*) suy ra \({\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} + 2{\left( {ab - cd} \right)^2} = 0\). (**)

Mà \({\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} \ge 0,\,\,2{\left( {ab - cd} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,\,b,\,c,\,d\).

Do đó (**) xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 0\\{c^2} - {d^2} = 0\\ab - cd = 0\end{array} \right.\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a =  \pm b\\c =  \pm d\\ab = cd\end{array} \right.\).

Mà \(a,\,b,\,c,\,d\) là các số dương nên \(a = b = c = d\).

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.