Câu hỏi:
11/07/2026 68
Cho hình bình hành \[ABCD\] có cạnh \(AB = 2AD.\) Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD.\]
a) Chứng minh rằng \(DMBN\) là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng \(AN\) là tia phân giác của góc \[DAB.\]
c) Gọi giao điểm của \(AN\) với \[DM\]là \[P,{\rm{ }}CM\] với \[BN\] là \[Q.\] Tìm điều kiện của hình bình hành\[ABCD\] để tứ giác \[PMQN\] là hình vuông.
Cho hình bình hành \[ABCD\] có cạnh \(AB = 2AD.\) Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD.\]
a) Chứng minh rằng \(DMBN\) là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng \(AN\) là tia phân giác của góc \[DAB.\]
c) Gọi giao điểm của \(AN\) với \[DM\]là \[P,{\rm{ }}CM\] với \[BN\] là \[Q.\] Tìm điều kiện của hình bình hành\[ABCD\] để tứ giác \[PMQN\] là hình vuông.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Cho hình bình hành \[ABCD\] có cạnh \(AB = 2AD.\) Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD.\] a) Chứng minh rằng \(DMBN\) là hình bình hành. b) Chứng minh rằng \(AN\) là tia phân giác của góc \[DAB.\] c) Gọi giao điểm của \(AN\) với \[DM\]là \[P,{\rm{ }}CM\] với \[BN\] là \[Q.\] Tìm điều kiện của hình bình hành\[ABCD\] để tứ giác \[PMQN\] là hình vuông. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid1-1750256407.png)
a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD\) và \(AB\,{\rm{//}}\,CD\).
Lại có \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD\] nên \(AM = BM = \frac{1}{2}AB\) và \(DN = CN = \frac{1}{2}CD.\)
Do đó \(AM = BM = DN = CN\).
Tứ giác \(DMBN\) có \(BM\,{\rm{//}}\,DN\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) và \(BM = DN\) nên \(DMBN\) là hình bình hành.
b) Xét tứ giác \(AMND\) có \(AM\,{\rm{//}}\,DN\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) và \(AM = DN\) nên \(AMND\) là hình bình hành
Lại có \(AB = 2AD\) nên \(AD = \frac{1}{2}AB\). Suy ra \(AM = AD\).
Hình bình hành \(AMND\) có \(AM = AD\) nên \(AMND\) là hình thoi.
Suy ra đường chéo \(AN\) là đường phân giác của \(\widehat {DAM}\) hay \(\widehat {DAB}.\)
c) Chứng minh tương tự câu a, ta cũng có tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành.
Suy ra \(AN\,{\rm{//}}\,CM\) hay \(PN\,{\rm{//}}\,QM\).
Do \(DMBN\) là hình bình hành nên \(DM\,{\rm{//}}\,BN\) hay \(PM\,{\rm{//}}\,QN\).
Tứ giác \[PMQN\] có \(PN\,{\rm{//}}\,QM\)và \(PM\,{\rm{//}}\,QN\) nên \[PMQN\] là hình bình hành.
Lại có \(AMND\) là hình thoi nên \(AN \bot DM\) hay \(\widehat {MPN} = 90^\circ \).
Do đó hình bình hành \[PMQN\] là hình chữ nhật.
Để \[PMQN\] là hình vuông thì \(PM = PN\,\,\,\left( * \right)\)
Mà \(PM = \frac{1}{2}DM\) và \(PN = \frac{1}{2}AN\) (do \(AMND\) là hình thoi nên \(P\) là trung điểm của hai đường chéo).
Do đó để \(\left( * \right)\) xảy ra thì \(DM = AN\) hay hình thoi \(AMND\) là hình vuông, khi đó \(\widehat {DAM} = 90^\circ \).
Hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat {DAM} = 90^\circ \) thì sẽ trở thành hình chữ nhật.
Do đó, để \[PMQN\] là hình vuông thì \(ABCD\) phải là hình chữ nhật.
Thật vậy, khi \(ABCD\) là hình vuông thì hình chữ nhật \[PMQN\] có \(PM = PN\) nên là hình vuông.
a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD\) và \(AB\,{\rm{//}}\,CD\).
Lại có \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD\] nên \(AM = BM = \frac{1}{2}AB\) và \(DN = CN = \frac{1}{2}CD.\)
Do đó \(AM = BM = DN = CN\).
Tứ giác \(DMBN\) có \(BM\,{\rm{//}}\,DN\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) và \(BM = DN\) nên \(DMBN\) là hình bình hành.
b) Xét tứ giác \(AMND\) có \(AM\,{\rm{//}}\,DN\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) và \(AM = DN\) nên \(AMND\) là hình bình hành
Lại có \(AB = 2AD\) nên \(AD = \frac{1}{2}AB\). Suy ra \(AM = AD\).
Hình bình hành \(AMND\) có \(AM = AD\) nên \(AMND\) là hình thoi.
Suy ra đường chéo \(AN\) là đường phân giác của \(\widehat {DAM}\) hay \(\widehat {DAB}.\)
c) Chứng minh tương tự câu a, ta cũng có tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành.
Suy ra \(AN\,{\rm{//}}\,CM\) hay \(PN\,{\rm{//}}\,QM\).
Do \(DMBN\) là hình bình hành nên \(DM\,{\rm{//}}\,BN\) hay \(PM\,{\rm{//}}\,QN\).
Tứ giác \[PMQN\] có \(PN\,{\rm{//}}\,QM\)và \(PM\,{\rm{//}}\,QN\) nên \[PMQN\] là hình bình hành.
Lại có \(AMND\) là hình thoi nên \(AN \bot DM\) hay \(\widehat {MPN} = 90^\circ \).
Do đó hình bình hành \[PMQN\] là hình chữ nhật.
Để \[PMQN\] là hình vuông thì \(PM = PN\,\,\,\left( * \right)\)
Mà \(PM = \frac{1}{2}DM\) và \(PN = \frac{1}{2}AN\) (do \(AMND\) là hình thoi nên \(P\) là trung điểm của hai đường chéo).
Do đó để \(\left( * \right)\) xảy ra thì \(DM = AN\) hay hình thoi \(AMND\) là hình vuông, khi đó \(\widehat {DAM} = 90^\circ \).
Hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat {DAM} = 90^\circ \) thì sẽ trở thành hình chữ nhật.
Do đó, để \[PMQN\] là hình vuông thì \(ABCD\) phải là hình chữ nhật.
Thật vậy, khi \(ABCD\) là hình vuông thì hình chữ nhật \[PMQN\] có \(PM = PN\) nên là hình vuông.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Phân tích đa thức \[{x^3}\left( {13xy - 5} \right) - {y^3}\left( {5 - 13xy} \right)\] thành nhân tử ta được
Phân tích đa thức \[{x^3}\left( {13xy - 5} \right) - {y^3}\left( {5 - 13xy} \right)\] thành nhân tử ta được
Câu 3:
Cho các biểu thức sau:
\(\left( {5 + {y^2}} \right)\frac{1}{x};\,\,\frac{{ - 8}}{9}{x^2}y\,\left( {\,2x - 3} \right);\,\,\,\, - \frac{1}{2}{x^2}y;\,\,\,\,{2^2}{x^3} + \frac{1}{3}{x^3}{y^4} - {x^4}z + {x^2};\,\,\,15 + \frac{1}{z}\).
Có bao nhiêu đa thức trong các biểu thức trên?
Cho các biểu thức sau:
\(\left( {5 + {y^2}} \right)\frac{1}{x};\,\,\frac{{ - 8}}{9}{x^2}y\,\left( {\,2x - 3} \right);\,\,\,\, - \frac{1}{2}{x^2}y;\,\,\,\,{2^2}{x^3} + \frac{1}{3}{x^3}{y^4} - {x^4}z + {x^2};\,\,\,15 + \frac{1}{z}\).
Có bao nhiêu đa thức trong các biểu thức trên?
Câu 6:
Chứng minh rằng nếu \[{a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} = 4abcd\] và \(a,\,b,\,c,\,d\) là các số dương thì \[a = b = c = d.\]
Chứng minh rằng nếu \[{a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} = 4abcd\] và \(a,\,b,\,c,\,d\) là các số dương thì \[a = b = c = d.\]
Câu 7:
Nhân hai đơn thức \( - 3{x^3}{y^2}\) và \(\frac{1}{9}xy\) ta được kết quả là
Câu 8:
Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {C\,} = 60^\circ ,\widehat {D\,} = 80^\circ ,\widehat {A\,\,} - \widehat {B\,} = 10^\circ .\) Số đo của \(\widehat {A\,}\) là
Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {C\,} = 60^\circ ,\widehat {D\,} = 80^\circ ,\widehat {A\,\,} - \widehat {B\,} = 10^\circ .\) Số đo của \(\widehat {A\,}\) là
Câu 9:
Để chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình vuông, dấu hiệu nào sau đây là sai?
Câu 10:
Cho hai đa thức:
\(M = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 21y - 1\) và \(N = - 22x{y^3} - 42y - 1\).
a) Tính giá trị của mỗi đa thức \(M,\,N\) tại \(x = 0;\,y = - 2\).
b) Tính \(M + N,\,M - N\).
c) Tìm đa thức \(P\) sao cho \(M - N - P = 63y + 1\).
Cho hai đa thức:
\(M = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 21y - 1\) và \(N = - 22x{y^3} - 42y - 1\).
a) Tính giá trị của mỗi đa thức \(M,\,N\) tại \(x = 0;\,y = - 2\).
b) Tính \(M + N,\,M - N\).
c) Tìm đa thức \(P\) sao cho \(M - N - P = 63y + 1\).
Câu 11:
Cho tam giác nhọn \[ABC\] có \[AB < BC.\] Từ trung điểm \(M\) của cạnh \(AB\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt cạnh \(AC\) tại \(N.\) Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(BD = MN.\) Kẻ đường cao \[AH\left( {H \in BC} \right)\] của tam giác \[ABC\].
a) Tứ giác \(BMND\)là hình bình hành. b) Tam giác \(AMH\) cân tại \(A\).
c) \(\widehat {AMN} = \frac{2}{3}\widehat {HMN}.\) d) Tứ giác \(DHMN\) là hình thang cân.
Cho tam giác nhọn \[ABC\] có \[AB < BC.\] Từ trung điểm \(M\) của cạnh \(AB\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt cạnh \(AC\) tại \(N.\) Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(BD = MN.\) Kẻ đường cao \[AH\left( {H \in BC} \right)\] của tam giác \[ABC\].
a) Tứ giác \(BMND\)là hình bình hành. b) Tam giác \(AMH\) cân tại \(A\).
c) \(\widehat {AMN} = \frac{2}{3}\widehat {HMN}.\) d) Tứ giác \(DHMN\) là hình thang cân.
Câu 14:
Một hộp giấy có dạng hình hộp chữ nhật với chiều rộng là \(x\) (cm), chiều dài hơn chiều rộng \(y\) (cm) và chiều cao là \(y + 3\) (cm) (như hình dưới). Viết đa thức biểu thị diện tích xung quanh và thể tích của hộp giấy đó.
Một hộp giấy có dạng hình hộp chữ nhật với chiều rộng là \(x\) (cm), chiều dài hơn chiều rộng \(y\) (cm) và chiều cao là \(y + 3\) (cm) (như hình dưới). Viết đa thức biểu thị diện tích xung quanh và thể tích của hộp giấy đó.
