Câu hỏi:
11/07/2026 75
Cho hình bình hành \[ABCD\] có cạnh \(AB = 2AD.\) Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD.\]
a) Chứng minh rằng \(DMBN\) là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng \(AN\) là tia phân giác của góc \[DAB.\]
c) Gọi giao điểm của \(AN\) với \[DM\]là \[P,{\rm{ }}CM\] với \[BN\] là \[Q.\] Tìm điều kiện của hình bình hành\[ABCD\] để tứ giác \[PMQN\] là hình vuông.
Cho hình bình hành \[ABCD\] có cạnh \(AB = 2AD.\) Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD.\]
a) Chứng minh rằng \(DMBN\) là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng \(AN\) là tia phân giác của góc \[DAB.\]
c) Gọi giao điểm của \(AN\) với \[DM\]là \[P,{\rm{ }}CM\] với \[BN\] là \[Q.\] Tìm điều kiện của hình bình hành\[ABCD\] để tứ giác \[PMQN\] là hình vuông.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD\) và \(AB\,{\rm{//}}\,CD\)
Lại có \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD\] nên \(AM = BM = \frac{1}{2}AB\) và \(DN = CN = \frac{1}{2}CD\)
Do đó \(AM = BM = DN = CN\)
Tứ giác \(DMBN\) có \(BM\,{\rm{//}}\,DN\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) và \(BM = DN\) nên \(DMBN\) là hình bình hành.
b) Xét tứ giác \(AMND\) có \(AM\,{\rm{//}}\,DN\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) và \(AM = DN\) nên \(AMND\) là hình bình hành
Lại có \(AB = 2AD\) nên \(AD = \frac{1}{2}AB\). Suy ra \(AM = AD\)
Hình bình hành \(AMND\) có \(AM = AD\) nên \(AMND\) là hình thoi
Suy ra đường chéo \(AN\) là đường phân giác của \(\widehat {DAM}\) hay \(\widehat {DAB}.\)
c) Chứng minh tương tự câu a, ta cũng có tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành
Suy ra \(AN\,{\rm{//}}\,CM\) hay \(PN\,{\rm{//}}\,QM\)
Do \(DMBN\) là hình bình hành nên \(DM\,{\rm{//}}\,BN\) hay \(PM\,{\rm{//}}\,QN\)
Tứ giác \[PMQN\] có \(PN\,{\rm{//}}\,QM\)và \(PM\,{\rm{//}}\,QN\) nên \[PMQN\] là hình bình hành
Lại có \(AMND\) là hình thoi nên \(AN \bot DM\) hay \(\widehat {MPN} = 90^\circ \)
Do đó hình bình hành \[PMQN\] là hình chữ nhật
Để \[PMQN\] là hình vuông thì \(PM = PN\,\,\,\left( * \right)\)
Mà \(PM = \frac{1}{2}DM\) và \(PN = \frac{1}{2}AN\) (do \(AMND\) là hình thoi nên \(P\) là trung điểm của hai đường chéo)
Do đó để \(\left( * \right)\) xảy ra thì \(DM = AN\) hay hình thoi \(AMND\) là hình vuông, khi đó \(\widehat {DAM} = 90^\circ \)
Hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat {DAM} = 90^\circ \) thì sẽ trở thành hình chữ nhật.
Vậy để \[PMQN\] là hình vuông thì \(ABCD\) phải là hình chữ nhật.
Thật vậy, khi \(ABCD\) là hình vuông thì hình chữ nhật \[PMQN\] có \(PM = PN\) nên là hình vuông.
a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD\) và \(AB\,{\rm{//}}\,CD\)
Lại có \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD\] nên \(AM = BM = \frac{1}{2}AB\) và \(DN = CN = \frac{1}{2}CD\)
Do đó \(AM = BM = DN = CN\)
Tứ giác \(DMBN\) có \(BM\,{\rm{//}}\,DN\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) và \(BM = DN\) nên \(DMBN\) là hình bình hành.
b) Xét tứ giác \(AMND\) có \(AM\,{\rm{//}}\,DN\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) và \(AM = DN\) nên \(AMND\) là hình bình hành
Lại có \(AB = 2AD\) nên \(AD = \frac{1}{2}AB\). Suy ra \(AM = AD\)
Hình bình hành \(AMND\) có \(AM = AD\) nên \(AMND\) là hình thoi
Suy ra đường chéo \(AN\) là đường phân giác của \(\widehat {DAM}\) hay \(\widehat {DAB}.\)
c) Chứng minh tương tự câu a, ta cũng có tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành
Suy ra \(AN\,{\rm{//}}\,CM\) hay \(PN\,{\rm{//}}\,QM\)
Do \(DMBN\) là hình bình hành nên \(DM\,{\rm{//}}\,BN\) hay \(PM\,{\rm{//}}\,QN\)
Tứ giác \[PMQN\] có \(PN\,{\rm{//}}\,QM\)và \(PM\,{\rm{//}}\,QN\) nên \[PMQN\] là hình bình hành
Lại có \(AMND\) là hình thoi nên \(AN \bot DM\) hay \(\widehat {MPN} = 90^\circ \)
Do đó hình bình hành \[PMQN\] là hình chữ nhật
Để \[PMQN\] là hình vuông thì \(PM = PN\,\,\,\left( * \right)\)
Mà \(PM = \frac{1}{2}DM\) và \(PN = \frac{1}{2}AN\) (do \(AMND\) là hình thoi nên \(P\) là trung điểm của hai đường chéo)
Do đó để \(\left( * \right)\) xảy ra thì \(DM = AN\) hay hình thoi \(AMND\) là hình vuông, khi đó \(\widehat {DAM} = 90^\circ \)
Hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat {DAM} = 90^\circ \) thì sẽ trở thành hình chữ nhật.
Vậy để \[PMQN\] là hình vuông thì \(ABCD\) phải là hình chữ nhật.
Thật vậy, khi \(ABCD\) là hình vuông thì hình chữ nhật \[PMQN\] có \(PM = PN\) nên là hình vuông.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {C\,} = 60^\circ ,\widehat {D\,} = 80^\circ ,\widehat {A\,\,} - \widehat {B\,} = 10^\circ .\) Số đo của \(\widehat {A\,}\) là
Câu 4:
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A,{\rm{ }}AH\] là đường cao. Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,{\rm{ }}AC\]. Gọi \[D,{\rm{ }}E\] lần lượt là điểm sao cho \[M\] là trung điểm của \[HD,{\rm{ }}N\] là trung điểm của \[HE.\]
a) Chứng minh \[AHBD,{\rm{ }}AHCE,{\rm{ }}BCED\] là những hình chữ nhật.
b) Chứng minh \[BE = CD,\,\,DH = HE.\]
c) Chứng minh giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\].
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A,{\rm{ }}AH\] là đường cao. Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,{\rm{ }}AC\]. Gọi \[D,{\rm{ }}E\] lần lượt là điểm sao cho \[M\] là trung điểm của \[HD,{\rm{ }}N\] là trung điểm của \[HE.\]
a) Chứng minh \[AHBD,{\rm{ }}AHCE,{\rm{ }}BCED\] là những hình chữ nhật.
b) Chứng minh \[BE = CD,\,\,DH = HE.\]
c) Chứng minh giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\].
Câu 5:
Cho hình vuông \[ABCD\], hai đường chéo \[AC\] cắt \[BD\] tại điểm \[O.\] Tính số đo của góc của tam giác \[OAB\] (đơn vị: độ)
Câu 9:
Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A = 100^\circ ,\) góc ngoài tại đỉnh \(B\) bằng \(110^\circ ;\,\,\widehat C = 75^\circ .\) Số đo góc \(D\) là
Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A = 100^\circ ,\) góc ngoài tại đỉnh \(B\) bằng \(110^\circ ;\,\,\widehat C = 75^\circ .\) Số đo góc \(D\) là
Câu 10:
Cho hai đa thức \(A = {x^2} - 4xy - 4\) và \(B = 2{x^2} - 3xy + {y^2} - 4.\) Tìm đa thức \(M\) thỏa mãn \(B = A + M.\)
Cho hai đa thức \(A = {x^2} - 4xy - 4\) và \(B = 2{x^2} - 3xy + {y^2} - 4.\) Tìm đa thức \(M\) thỏa mãn \(B = A + M.\)
Câu 11:
Chọn câu trả lời đúng nhất để điền vào chỗ chấm: \({\left( {M - N} \right)^2} = ...\)
Chọn câu trả lời đúng nhất để điền vào chỗ chấm: \({\left( {M - N} \right)^2} = ...\)
Câu 12:
Cho đa thức \(A = - \frac{1}{3}x{y^2} + \frac{1}{2}{x^2}y + x{y^2} - \frac{3}{4}{x^2}y.\) Tính giá trị của \(A\) tại \(x = - 2;y = 3\).
Cho đa thức \(A = - \frac{1}{3}x{y^2} + \frac{1}{2}{x^2}y + x{y^2} - \frac{3}{4}{x^2}y.\) Tính giá trị của \(A\) tại \(x = - 2;y = 3\).
Câu 13:
Giá trị của biểu thức \(S = - 6xy\frac{1}{2}{x^2}yz + 2zx{y^2}{x^2}\) khi \(x = - 2,y = 1,z = - 1\) là
Câu 14:
Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến \(y:\)
\[P = \left( {x - 3} \right)M - y - \left( {x + y} \right)\left( {xy - 3y} \right).\]
Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến \(y:\)
\[P = \left( {x - 3} \right)M - y - \left( {x + y} \right)\left( {xy - 3y} \right).\]
Câu 15:
Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {A\,\,} = 65^\circ ,\) \(\widehat {B\,} = \widehat C + 23^\circ ,\) \(\widehat {D\,} = 58^\circ .\)Tính số đo góc \(C\) (đơn vị: độ).
Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {A\,\,} = 65^\circ ,\) \(\widehat {B\,} = \widehat C + 23^\circ ,\) \(\widehat {D\,} = 58^\circ .\)Tính số đo góc \(C\) (đơn vị: độ).
