Câu hỏi:
11/07/2026 109
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A,{\rm{ }}AH\] là đường cao. Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,{\rm{ }}AC\]. Gọi \[D,{\rm{ }}E\] lần lượt là điểm sao cho \[M\] là trung điểm của \[HD,{\rm{ }}N\] là trung điểm của \[HE.\]
a) Chứng minh \[AHBD,{\rm{ }}AHCE,{\rm{ }}BCED\] là những hình chữ nhật.
b) Chứng minh \[BE = CD,\,\,DH = HE.\]
c) Chứng minh giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\].
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A,{\rm{ }}AH\] là đường cao. Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,{\rm{ }}AC\]. Gọi \[D,{\rm{ }}E\] lần lượt là điểm sao cho \[M\] là trung điểm của \[HD,{\rm{ }}N\] là trung điểm của \[HE.\]
a) Chứng minh \[AHBD,{\rm{ }}AHCE,{\rm{ }}BCED\] là những hình chữ nhật.
b) Chứng minh \[BE = CD,\,\,DH = HE.\]
c) Chứng minh giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\].
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Tứ giác \[AHBD\] có \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[HD\] nên là hình bình hành.
Do \[AH\] là đường cao của \[\Delta ABC\] nên \[AH \bot BC\], suy ra \[\widehat {AHB} = 90^\circ \].
Hình bình hành \[AHBD\] có \[\widehat {AHB} = 90^\circ \] nên \[AHBD\] là hình chữ nhật.
![Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A,{\rm{ }}AH\] là đường cao. Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,{\rm{ }}AC\]. Gọi \[D,{\rm{ }}E\] lần lượt là điểm sao cho \[M\] là trung điểm của \[HD,{\rm{ }}N\] là trung điểm của \[HE.\] a) Chứng minh \[AHBD,{\rm{ }}AHCE,{\rm{ }}BCED\] là những hình chữ nhật. b) Chứng minh \[BE = CD,\,\,DH = HE.\] c) Chứng minh giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid4-1750258811.png)
Tương tự, tứ giác \[AHCE\] có \[N\] là trung điểm của \[AC\] và \[HE\] nên là hình bình hành.
Lại có \[\widehat {AHC} = 90^\circ \] nên \[AHCE\] là hình chữ nhật.
Do \[AHBD,{\rm{ }}AHCE\] là các hình chữ nhật (chứng minh trên).
Suy ra \[\widehat {ADB} = \widehat {DBH} = \widehat {HCE} = \widehat {AEC} = 90^\circ \].
Tứ giác \[BCED\] có \[\widehat {ADB} = \widehat {DBH} = \widehat {HCE} = \widehat {AEC} = 90^\circ \] nên \[BCED\] là hình chữ nhật.
b) Do \[BCED\] là hình chữ nhật (câu a) nên \[CD = BE\].
Do \[AHBD,{\rm{ }}AHCE\] là các hình chữ nhật (câu a) nên \[AB = DH,{\rm{ }}AC = HE\].
Mà \[AB = AC\] (do \[\Delta ABC\] cân tại \[A\]) nên \[DH = HE\].
c) Vì \[ADBH,{\rm{ }}AECH\] là các hình chữ nhật nên \[AD = BH,{\rm{ }}AE = HC,{\rm{ }}AD{\rm{ // }}BC,{\rm{ }}AE{\rm{ // }}BC\].
Mà \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] có \[AH\] là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó \[H\] là trung điểm của \[BC\], suy ra \[BH = HC\].
Từ đó, \[AD = BH = HC = AE\].
Tứ giác \[ADHC\] có: \[AD{\rm{ // }}HC,{\rm{ }}AD = HC\] nên \[ADHC\] là hình bình hành.
Tứ giác \[ABHE\] có: \[AE{\rm{ // }}BH,{\rm{ }}AE = BH\] nên \[ABHE\] là hình bình hành.
Vì \[ADHC\] là hình bình hành nên \[CD\] cắt \[AH\] tại trung điểm của \[AH\].
Vì \[AEHB\] là hình bình hành nên \[BE\] cắt \[AH\] tại trung điểm của \[AH\].
Vậy giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\].
|
a) Tứ giác \[AHBD\] có \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[HD\] nên là hình bình hành. Do \[AH\] là đường cao của \[\Delta ABC\] nên \[AH \bot BC\], suy ra \[\widehat {AHB} = 90^\circ \]. Hình bình hành \[AHBD\] có \[\widehat {AHB} = 90^\circ \] nên \[AHBD\] là hình chữ nhật. |
|
Tương tự, tứ giác \[AHCE\] có \[N\] là trung điểm của \[AC\] và \[HE\] nên là hình bình hành.
Lại có \[\widehat {AHC} = 90^\circ \] nên \[AHCE\] là hình chữ nhật.
Do \[AHBD,{\rm{ }}AHCE\] là các hình chữ nhật (chứng minh trên).
Suy ra \[\widehat {ADB} = \widehat {DBH} = \widehat {HCE} = \widehat {AEC} = 90^\circ \].
Tứ giác \[BCED\] có \[\widehat {ADB} = \widehat {DBH} = \widehat {HCE} = \widehat {AEC} = 90^\circ \] nên \[BCED\] là hình chữ nhật.
b) Do \[BCED\] là hình chữ nhật (câu a) nên \[CD = BE\].
Do \[AHBD,{\rm{ }}AHCE\] là các hình chữ nhật (câu a) nên \[AB = DH,{\rm{ }}AC = HE\].
Mà \[AB = AC\] (do \[\Delta ABC\] cân tại \[A\]) nên \[DH = HE\].
c) Vì \[ADBH,{\rm{ }}AECH\] là các hình chữ nhật nên \[AD = BH,{\rm{ }}AE = HC,{\rm{ }}AD{\rm{ // }}BC,{\rm{ }}AE{\rm{ // }}BC\].
Mà \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] có \[AH\] là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó \[H\] là trung điểm của \[BC\], suy ra \[BH = HC\].
Từ đó, \[AD = BH = HC = AE\].
Tứ giác \[ADHC\] có: \[AD{\rm{ // }}HC,{\rm{ }}AD = HC\] nên \[ADHC\] là hình bình hành.
Tứ giác \[ABHE\] có: \[AE{\rm{ // }}BH,{\rm{ }}AE = BH\] nên \[ABHE\] là hình bình hành.
Vì \[ADHC\] là hình bình hành nên \[CD\] cắt \[AH\] tại trung điểm của \[AH\].
Vì \[AEHB\] là hình bình hành nên \[BE\] cắt \[AH\] tại trung điểm của \[AH\].
Vậy giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\].
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {C\,} = 60^\circ ,\widehat {D\,} = 80^\circ ,\widehat {A\,\,} - \widehat {B\,} = 10^\circ .\) Số đo của \(\widehat {A\,}\) là
Câu 4:
Cho hình vuông \[ABCD\], hai đường chéo \[AC\] cắt \[BD\] tại điểm \[O.\] Tính số đo của góc của tam giác \[OAB\] (đơn vị: độ)
Câu 7:
Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A = 100^\circ ,\) góc ngoài tại đỉnh \(B\) bằng \(110^\circ ;\,\,\widehat C = 75^\circ .\) Số đo góc \(D\) là
Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A = 100^\circ ,\) góc ngoài tại đỉnh \(B\) bằng \(110^\circ ;\,\,\widehat C = 75^\circ .\) Số đo góc \(D\) là
Câu 9:
Cho hai đa thức \(A = {x^2} - 4xy - 4\) và \(B = 2{x^2} - 3xy + {y^2} - 4.\) Tìm đa thức \(M\) thỏa mãn \(B = A + M.\)
Cho hai đa thức \(A = {x^2} - 4xy - 4\) và \(B = 2{x^2} - 3xy + {y^2} - 4.\) Tìm đa thức \(M\) thỏa mãn \(B = A + M.\)
Câu 10:
Chọn câu trả lời đúng nhất để điền vào chỗ chấm: \({\left( {M - N} \right)^2} = ...\)
Chọn câu trả lời đúng nhất để điền vào chỗ chấm: \({\left( {M - N} \right)^2} = ...\)
Câu 11:
Cho đa thức \(A = - \frac{1}{3}x{y^2} + \frac{1}{2}{x^2}y + x{y^2} - \frac{3}{4}{x^2}y.\) Tính giá trị của \(A\) tại \(x = - 2;y = 3\).
Cho đa thức \(A = - \frac{1}{3}x{y^2} + \frac{1}{2}{x^2}y + x{y^2} - \frac{3}{4}{x^2}y.\) Tính giá trị của \(A\) tại \(x = - 2;y = 3\).
Câu 12:
Giá trị của biểu thức \(S = - 6xy\frac{1}{2}{x^2}yz + 2zx{y^2}{x^2}\) khi \(x = - 2,y = 1,z = - 1\) là
Câu 13:
Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến \(y:\)
\[P = \left( {x - 3} \right)M - y - \left( {x + y} \right)\left( {xy - 3y} \right).\]
Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến \(y:\)
\[P = \left( {x - 3} \right)M - y - \left( {x + y} \right)\left( {xy - 3y} \right).\]
Câu 14:
Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {A\,\,} = 65^\circ ,\) \(\widehat {B\,} = \widehat C + 23^\circ ,\) \(\widehat {D\,} = 58^\circ .\)Tính số đo góc \(C\) (đơn vị: độ).
Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {A\,\,} = 65^\circ ,\) \(\widehat {B\,} = \widehat C + 23^\circ ,\) \(\widehat {D\,} = 58^\circ .\)Tính số đo góc \(C\) (đơn vị: độ).
Câu 15:
Cho biểu thức \(H = \left( {2x - 3} \right)\left( {x + 7} \right) - 2x\left( {x + 5} \right) - x\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho biểu thức \(H = \left( {2x - 3} \right)\left( {x + 7} \right) - 2x\left( {x + 5} \right) - x\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
