Câu hỏi:
11/07/2026 62
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A,{\rm{ }}AH\] là đường cao. Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,{\rm{ }}AC\]. Gọi \[D,{\rm{ }}E\] lần lượt là điểm sao cho \[M\] là trung điểm của \[HD,{\rm{ }}N\] là trung điểm của \[HE.\]
a) Chứng minh \[AHBD,{\rm{ }}AHCE,{\rm{ }}BCED\] là những hình chữ nhật.
b) Chứng minh \[BE = CD,\,\,DH = HE.\]
c) Chứng minh giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\].
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A,{\rm{ }}AH\] là đường cao. Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,{\rm{ }}AC\]. Gọi \[D,{\rm{ }}E\] lần lượt là điểm sao cho \[M\] là trung điểm của \[HD,{\rm{ }}N\] là trung điểm của \[HE.\]
a) Chứng minh \[AHBD,{\rm{ }}AHCE,{\rm{ }}BCED\] là những hình chữ nhật.
b) Chứng minh \[BE = CD,\,\,DH = HE.\]
c) Chứng minh giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\].
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Tứ giác \[AHBD\] có \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[HD\] nên là hình bình hành.
Do \[AH\] là đường cao của \[\Delta ABC\] nên \[AH \bot BC\], suy ra \[\widehat {AHB} = 90^\circ \].
Hình bình hành \[AHBD\] có \[\widehat {AHB} = 90^\circ \] nên \[AHBD\] là hình chữ nhật.
![Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A,{\rm{ }}AH\] là đường cao. Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,{\rm{ }}AC\]. Gọi \[D,{\rm{ }}E\] lần lượt là điểm sao cho \[M\] là trung điểm của \[HD,{\rm{ }}N\] là trung điểm của \[HE.\] a) Chứng minh \[AHBD,{\rm{ }}AHCE,{\rm{ }}BCED\] là những hình chữ nhật. b) Chứng minh \[BE = CD,\,\,DH = HE.\] c) Chứng minh giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid4-1750258811.png)
Tương tự, tứ giác \[AHCE\] có \[N\] là trung điểm của \[AC\] và \[HE\] nên là hình bình hành.
Lại có \[\widehat {AHC} = 90^\circ \] nên \[AHCE\] là hình chữ nhật.
Do \[AHBD,{\rm{ }}AHCE\] là các hình chữ nhật (chứng minh trên).
Suy ra \[\widehat {ADB} = \widehat {DBH} = \widehat {HCE} = \widehat {AEC} = 90^\circ \].
Tứ giác \[BCED\] có \[\widehat {ADB} = \widehat {DBH} = \widehat {HCE} = \widehat {AEC} = 90^\circ \] nên \[BCED\] là hình chữ nhật.
b) Do \[BCED\] là hình chữ nhật (câu a) nên \[CD = BE\].
Do \[AHBD,{\rm{ }}AHCE\] là các hình chữ nhật (câu a) nên \[AB = DH,{\rm{ }}AC = HE\].
Mà \[AB = AC\] (do \[\Delta ABC\] cân tại \[A\]) nên \[DH = HE\].
c) Vì \[ADBH,{\rm{ }}AECH\] là các hình chữ nhật nên \[AD = BH,{\rm{ }}AE = HC,{\rm{ }}AD{\rm{ // }}BC,{\rm{ }}AE{\rm{ // }}BC\].
Mà \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] có \[AH\] là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó \[H\] là trung điểm của \[BC\], suy ra \[BH = HC\].
Từ đó, \[AD = BH = HC = AE\].
Tứ giác \[ADHC\] có: \[AD{\rm{ // }}HC,{\rm{ }}AD = HC\] nên \[ADHC\] là hình bình hành.
Tứ giác \[ABHE\] có: \[AE{\rm{ // }}BH,{\rm{ }}AE = BH\] nên \[ABHE\] là hình bình hành.
Vì \[ADHC\] là hình bình hành nên \[CD\] cắt \[AH\] tại trung điểm của \[AH\].
Vì \[AEHB\] là hình bình hành nên \[BE\] cắt \[AH\] tại trung điểm của \[AH\].
Vậy giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\].
|
a) Tứ giác \[AHBD\] có \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[HD\] nên là hình bình hành. Do \[AH\] là đường cao của \[\Delta ABC\] nên \[AH \bot BC\], suy ra \[\widehat {AHB} = 90^\circ \]. Hình bình hành \[AHBD\] có \[\widehat {AHB} = 90^\circ \] nên \[AHBD\] là hình chữ nhật. |
|
Tương tự, tứ giác \[AHCE\] có \[N\] là trung điểm của \[AC\] và \[HE\] nên là hình bình hành.
Lại có \[\widehat {AHC} = 90^\circ \] nên \[AHCE\] là hình chữ nhật.
Do \[AHBD,{\rm{ }}AHCE\] là các hình chữ nhật (chứng minh trên).
Suy ra \[\widehat {ADB} = \widehat {DBH} = \widehat {HCE} = \widehat {AEC} = 90^\circ \].
Tứ giác \[BCED\] có \[\widehat {ADB} = \widehat {DBH} = \widehat {HCE} = \widehat {AEC} = 90^\circ \] nên \[BCED\] là hình chữ nhật.
b) Do \[BCED\] là hình chữ nhật (câu a) nên \[CD = BE\].
Do \[AHBD,{\rm{ }}AHCE\] là các hình chữ nhật (câu a) nên \[AB = DH,{\rm{ }}AC = HE\].
Mà \[AB = AC\] (do \[\Delta ABC\] cân tại \[A\]) nên \[DH = HE\].
c) Vì \[ADBH,{\rm{ }}AECH\] là các hình chữ nhật nên \[AD = BH,{\rm{ }}AE = HC,{\rm{ }}AD{\rm{ // }}BC,{\rm{ }}AE{\rm{ // }}BC\].
Mà \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] có \[AH\] là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó \[H\] là trung điểm của \[BC\], suy ra \[BH = HC\].
Từ đó, \[AD = BH = HC = AE\].
Tứ giác \[ADHC\] có: \[AD{\rm{ // }}HC,{\rm{ }}AD = HC\] nên \[ADHC\] là hình bình hành.
Tứ giác \[ABHE\] có: \[AE{\rm{ // }}BH,{\rm{ }}AE = BH\] nên \[ABHE\] là hình bình hành.
Vì \[ADHC\] là hình bình hành nên \[CD\] cắt \[AH\] tại trung điểm của \[AH\].
Vì \[AEHB\] là hình bình hành nên \[BE\] cắt \[AH\] tại trung điểm của \[AH\].
Vậy giao điểm của \[BE\] và \[CD\] là trung điểm của \[AH\].
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {C\,} = 60^\circ ,\widehat {D\,} = 80^\circ ,\widehat {A\,\,} - \widehat {B\,} = 10^\circ .\) Số đo của \(\widehat {A\,}\) là
Câu 3:
Cho hình vuông \[ABCD\], hai đường chéo \[AC\] cắt \[BD\] tại điểm \[O.\] Tính số đo của góc của tam giác \[OAB\] (đơn vị: độ)
Câu 5:
Cho biểu thức \(H = \left( {2x - 3} \right)\left( {x + 7} \right) - 2x\left( {x + 5} \right) - x\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho biểu thức \(H = \left( {2x - 3} \right)\left( {x + 7} \right) - 2x\left( {x + 5} \right) - x\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 6:
Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A = 100^\circ ,\) góc ngoài tại đỉnh \(B\) bằng \(110^\circ ;\,\,\widehat C = 75^\circ .\) Số đo góc \(D\) là
Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A = 100^\circ ,\) góc ngoài tại đỉnh \(B\) bằng \(110^\circ ;\,\,\widehat C = 75^\circ .\) Số đo góc \(D\) là
Câu 7:
Cho đa thức \(A = - \frac{1}{3}x{y^2} + \frac{1}{2}{x^2}y + x{y^2} - \frac{3}{4}{x^2}y.\) Tính giá trị của \(A\) tại \(x = - 2;y = 3\).
Cho đa thức \(A = - \frac{1}{3}x{y^2} + \frac{1}{2}{x^2}y + x{y^2} - \frac{3}{4}{x^2}y.\) Tính giá trị của \(A\) tại \(x = - 2;y = 3\).
Câu 10:
Chọn câu trả lời đúng nhất để điền vào chỗ chấm: \({\left( {M - N} \right)^2} = ...\)
Chọn câu trả lời đúng nhất để điền vào chỗ chấm: \({\left( {M - N} \right)^2} = ...\)
Câu 11:
Các dấu hiệu nhận biết sau, dấu hiệu nào không đủ để kết luận một hình vuông?
Các dấu hiệu nhận biết sau, dấu hiệu nào không đủ để kết luận một hình vuông?
Câu 12:
Cho hai đa thức \(A = {x^2} - 4xy - 4\) và \(B = 2{x^2} - 3xy + {y^2} - 4.\) Tìm đa thức \(M\) thỏa mãn \(B = A + M.\)
Cho hai đa thức \(A = {x^2} - 4xy - 4\) và \(B = 2{x^2} - 3xy + {y^2} - 4.\) Tìm đa thức \(M\) thỏa mãn \(B = A + M.\)
Câu 14:
Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {A\,\,} = 65^\circ ,\) \(\widehat {B\,} = \widehat C + 23^\circ ,\) \(\widehat {D\,} = 58^\circ .\)Tính số đo góc \(C\) (đơn vị: độ).
Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {A\,\,} = 65^\circ ,\) \(\widehat {B\,} = \widehat C + 23^\circ ,\) \(\widehat {D\,} = 58^\circ .\)Tính số đo góc \(C\) (đơn vị: độ).
Câu 15:
Giá trị của biểu thức \(S = - 6xy\frac{1}{2}{x^2}yz + 2zx{y^2}{x^2}\) khi \(x = - 2,y = 1,z = - 1\) là
