Đáp án đúng là: A

Nếu hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) phụ nhau thì \(\sin \alpha = {\rm{cos}}\beta \).

Đáp án đúng là: A

Do hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi \) nên hàm số \(y = \cos 2x\) tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \).

Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi \).

Do hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \) nên hàm số \(y = \tan 2x\) tuần hoàn với chu kỳ \(\frac{\pi }{2}\) .

Do hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \) nên hàm số \(y = \cot 4x\) tuần hoàn với chu kỳ \(\frac{\pi }{4}\) .

Đáp án đúng là: D

Ta có hàm số lượng giác \(y = \sin x\) đồng biến ở góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ tư.

Ta thấy \(\left( {\frac{{7\pi }}{4};\frac{{9\pi }}{4}} \right)\) thuộc góc phần tư thứ tư và thứ nhất nên hàm số đồng biến.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện \(\cos x \ne 0\)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Ta có \(\sqrt 3 + 3\tan x = 0\)\( \Leftrightarrow \tan x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là \(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\cos x = \cos \frac{\pi }{3}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án đúng là: A

Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) + 6 - \left( {3n + 6} \right)\)\( = 3 > 0,\forall n \in \mathbb{N}*\)

Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Đáp án đúng là: A

Ta có \({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}*\).

Có \({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} = \frac{{4\left( {n + 1} \right) + 1}}{{n + 1}}\)\( = 4 + \frac{1}{{n + 1}} \le 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\)\( \Rightarrow {u_n} \le \frac{9}{2},\forall n \in \mathbb{N}*\).

Suy ra \(0 < {u_n} \le \frac{9}{2},\forall n \in \mathbb{N}*\).

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Đáp án đúng là: D

Ta có \({u_n} = \frac{8}{{15}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{n + 1}}{{2n + 1}} = \frac{8}{{15}}\)

\( \Leftrightarrow 15\left( {n + 1} \right) = 8\left( {2n + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow 15n + 15 = 16n + 8\)\( \Leftrightarrow n = 7\).

Vậy \(\frac{8}{{15}}\) là số hạng thứ 7 của dãy số.

Đáp án đúng là: B

a) Ta có \({u_{n + 1}} = 4\left( {n + 1} \right) = 4n + 4 = {u_n} + 4,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = 4\).

b) Có \({v_1} = 2 \cdot {1^2} + 1 = 3\); \({v_2} = 2 \cdot {2^2} + 1 = 9\); \({v_3} = 2 \cdot {3^2} + 1 = 19\) nên dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) không là cấp số cộng.

c) Có \({w_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{3} - 7\)\( = \frac{n}{3} + \frac{1}{3} - 7\)\( = {w_n} + \frac{1}{3},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Do đó dãy số \(\left( {{w_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = \frac{1}{3}\).

d) Có \({t_{n + 1}} = \sqrt 5 - 5\left( {n + 1} \right)\)\( = \sqrt 5 - 5n - 5 = {t_n} - 5,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Do đó dãy số \(\left( {{t_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = - 5\).

Vậy có 3 dãy số là cấp số cộng.

Đáp án đúng là: B

Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \({u_2} = {u_1} + d = 7 + 2 = 9\).

Đáp án đúng là: A

Có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = {u_1} + 4d = - 15\\{u_{20}} = {u_1} + 19d = 60\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 35\\d = 5\end{array} \right.\).

Khi đó \({S_{10}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 9d} \right)10}}{2}\)\( = \frac{{\left[ {2 \cdot \left( { - 35} \right) + 9 \cdot 5} \right]10}}{2}\)\( = - 125\).

Đáp án đúng là: D

+) Dãy \(1;2;4;8;...\) là cấp số nhân với công sai \(q = 2\).

+) Dãy \(3;{3^2};{3^3};{3^4};...\) là cấp số nhân với công sai \(q = 3\).

+) Dãy \(4;2;1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};...\)là cấp số nhân với công sai \(q = \frac{1}{2}\).

+) Có \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{1}{\pi } \ne \frac{1}{{{\pi ^2}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên dãy \(\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}};...\) không là cấp số nhân.

Đáp án đúng là: B

Có \({u_5} = {u_1} \cdot {q^4}\)\( = \left( { - 3} \right) \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^4}\)\( = - \frac{{16}}{{27}}\).

Đáp án đúng là: A

Có \({u_7} = {u_1}{q^6}\)\( = {u_1}{q^3}{q^3}\)\( = {u_4}{q^3}\) (vì \({u_4} = {u_1}{q^3}\)).

Đáp án đúng là: C

Nếu \(\lim {u_n} = a > 0\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \[\lim \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = + \infty \] là sai vì chưa rõ dấu của \({v_n}\).

Đáp án đúng là: C

+) Có \(\lim \frac{1}{n} = 0\).

+) \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0\).

+) \(\lim \frac{{n + 1}}{n}\)\( = \lim \left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = 1\).

+) \(\left| {\frac{{\sin n}}{{\sqrt n }}} \right| \le \frac{1}{{\sqrt n }}\) mà \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0\) nên \(\lim \frac{{\sin n}}{{\sqrt n }} = 0\).

Đáp án đúng là: D

Có \(\lim \frac{{3 \cdot {2^{n + 1}} - 2 \cdot {3^{n + 1}}}}{{4 + {3^n}}}\)\( = \lim \frac{{6 \cdot {2^n} - 6 \cdot {3^n}}}{{4 + {3^n}}}\)\( = \lim \frac{{6 \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 6}}{{4 \cdot {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n} + 1}} = - 6\).

Vì \(\lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0\); \(\lim {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} = 0\).

Đáp án đúng là: B

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty \) do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x = 0\) và \(x > 0\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^5}}} = + \infty \) do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^5} = 0\) và \({x^5} > 0\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty \) do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0\) và \(\sqrt x > 0\).

Đáp án đúng là: C

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {3f\left( x \right) - 4g\left( x \right)} \right]\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 3f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 4g\left( x \right)\)

\( = 3\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) - 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right)\)

\( = 3 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = - 6\).

Đáp án đúng là: C

Đáp án C sai vì \(b\) có thể bằng 0.

Đáp án đúng là: D

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}}\) xác định khi \({x^3} - x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0;x \ne 1;x \ne - 1\).

Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

Xét tại \(x = \frac{1}{2}\).

Ta có \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{2 \cdot \frac{1}{2} - 1}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} - \frac{1}{2}}} = 0\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}}\)\( = \frac{{2 \cdot \frac{1}{2} - 1}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} - \frac{1}{2}}} = 0 = f\left( {\frac{1}{2}} \right)\).

Do đó hàm số liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có hàm \(y = {x^3} - x\) là hàm đa thức nên nó liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án đúng là: D

Qua 3 điểm không thẳng hàng ta xác định được một và chỉ một mặt phẳng.

Do đó có \(C_4^3 = 4\) mặt phẳng đi qua 3 trong số 4 điểm trên.

Đáp án đúng là: D

Hình chóp tam giác có ít cạnh nhất và hình chóp tam giác có 6 cạnh.

Đáp án đúng là: C

+) A sai vì trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.

+) B sai vì trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho khi đó có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

+) D sai vì trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số đường thẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không đồng phẳng thì sẽ không tạo ra được mặt phẳng nào đi qua 4 điểm đó.

Đáp án đúng là: B

Kẻ \(BG \cap CD = N\).

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\) nên \(N\) là trung điểm của \(CD\).

Khi đó \(A,N\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right)\).

Do đó \(\left( {ACD} \right) \cap \left( {GAB} \right) = AN\).

Đáp án đúng là: A

Dựa vào định nghĩa, ta có hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung cùng nằm trong một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

Đáp án đúng là: A

Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD{\rm{//}}BC\).

Ta có \(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\AD \subset \left( {SAD} \right),BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD{\rm{//}}BC\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sx\left( {d = Sx{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Theo lí thuyết, cho hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Đáp án đúng là: C

Vì \(\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SC}} = \frac{2}{3}\) nên \[EF{\rm{//}}AC\] mà \(EF \subset \left( {BEF} \right)\). Do đó \(AC{\rm{//}}\left( {BEF} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\).

Vì \(M,N\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABD,ACD\) nên \(\frac{{IM}}{{IB}} = \frac{{IN}}{{IC}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra \(MN{\rm{//}}BC\) mà \(BC \subset \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {BCD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {ABC} \right),MN{\rm{//}}\left( {BCD} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Đáp án A sai vì \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right)\) ; đường thẳng \(a \subset \left( \alpha \right);\,b \subset \left( \beta \right)\) thì \(a\) và \(b\) có thể chéo nhau.

Đáp án đúng là: C

Hình chiếu của hình vuông không thể là hình thang.

Số lượng vi khuẩn tăng sau mỗi phút là một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q = 2\).

Ta có \({u_6} = 64\;000\)\( \Leftrightarrow {u_1}{q^5} = 64\;000\)\( \Leftrightarrow {u_1} \cdot {2^5} = 64\;000\)\( \Leftrightarrow {u_1} = 2\;000\).

Sau \(n\) phút thì số lượng vi khuẩn là \({u_{n + 1}}\).

Mà \({u_{n + 1}} = {u_1}{q^n} = 2\;048\;000\)\( \Leftrightarrow 2\;000 \cdot {2^n} = 2\;048\;000\)\( \Leftrightarrow {2^n} = 1\;024 \Leftrightarrow n = 10\).

Vậy sau 10 phút thì có được 2 048 000 con vi khuẩn.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2018} }}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{{2018}}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{{2018}}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{{2018}}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1\).

(Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2018}}{{{x^2}}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 0\)).

a) Gọi \(F\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\).

Có \(\left. \begin{array}{l}F \in AD \subset \left( {SAD} \right)\\F \in BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow F \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).

Mà \(S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\). Do đó \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SF\).

b) Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(IM \cap AB = E\).

Có \(E \in IM \subset \left( {IJM} \right)\). Suy ra \(E = AB \cap \left( {IJM} \right)\).

Tổng các cạnh nằm trên tia \[Ax\] của các hình vuông đó là:

\(S = 10 + 5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{{{2^2}}} + ....\)

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 10;q = \frac{1}{2}\).

Do đó \(S = \frac{{10}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 20\) (cm).

Vậy trên tia \[Ax\] cần có một đoạn thẳng dài 20 cm.