Đáp án đúng là: B

Ta có: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{169}}.\]

\( \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{5}{{13}}.\)

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \sin \alpha > 0 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{5}{{13}}.\)

Đáp án đúng là: B

Theo công thức cộng ta có: \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a.\)

Đáp án đúng là: A

Ta có:

\(\tan \left( {2a} \right) = \tan \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right)} \right] = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) + \tan \left( {a - b} \right)}}{{1 - \tan \left( {a + b} \right)\tan \left( {a - b} \right)}} = \frac{{3 + 2}}{{1 - 3.2}} = - 1.\)

Đáp án đúng là: D

Hàm số \(y = \tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) xác định khi \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0\)

\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{5\pi }}{6} + k\pi .\)

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \tan x.\)

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

Do đó, nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D.\)

Ta có:

\(f\left( { - x} \right) = - x + \tan \left( { - x} \right) = - x - \tan x = - \left( {x + \tan x} \right) = - f\left( x \right),\forall x \in D.\)

Vậy \(f\left( x \right) = x + \tan x\) là hàm số lẻ.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\cos x \in \left[ { - 1;1} \right]\) và \(\frac{3}{2} > 1.\)

Nên phương trình \(\cos x = \frac{3}{2}\) vô nghiệm.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \({u_1} = \frac{{ - 1 + 1}}{1} = 0;\,\,{u_2} = \frac{{ - 2 + 1}}{2} = - \frac{1}{2};\,\,{u_3} = \frac{{ - 3 + 1}}{3} = - \frac{2}{3};\,\,\)

            \({u_4} = \frac{{ - 4 + 1}}{4} = \frac{{ - 3}}{4};\,\,{u_5} = \frac{{ - 5 + 1}}{5} = - \frac{4}{5}.\)

Đáp án đúng là: B

Công sai của cấp số cộng: \(d = {u_2} - {u_1} = 1 - 5 = - 4.\)

Đáp án đúng là: B

Giả sử \(A,\,\,\,B,\,\,C\) là các góc của tam giác \(ABC\) có số đo lần lượt lập thành cấp số cộng thỏa mãn \(A < B < C\) và ta có \(A = 30^\circ .\)

\( \Rightarrow \frac{{A + C}}{2} = B \Rightarrow A + C = 2B\)

Mặt khác: \(A + B + C = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong một tam giác).

\( \Rightarrow 2B + B = 180^\circ \Rightarrow B = 60^\circ \)

\( \Rightarrow C = 2B - A = 2.60^\circ - 30^\circ = 90^\circ .\)

Vậy góc có số đo lớn nhất trong ba góc của tam giác này là \(90^\circ .\)

Đáp án đúng là: A

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức \[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},\,\forall n \ge 2.\]

Đáp án đúng là: D

Ba số \(1;\,\,2;\,\, - 2a\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có \(1.\left( { - 2a} \right) = {2^2} \Rightarrow a = - 2.\)

Đáp án đúng là: B

Xét nhóm \(\left[ {492;515} \right)\) có độ dài là \(515 - 492 = 23.\)

Tương tự đối với các nhóm còn lại ta được độ dài đều bằng 23.

Vậy độ dài mỗi nhóm của mẫu số liệu này bằng 23.

Đáp án đúng là: C

Tần số lớn nhất là \(19\) nên nhóm chứa mốt là nhóm \[\left[ {0;20} \right).\]

Đáp án đúng là: A

Ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu là \(\overline x = \frac{{2.6 + 7.8 + 7.10 + 3.12 + 1.14}}{{20}} = 9,4.\)

Đáp án đúng là: A

Cỡ mẫu \(n = 4 + 5 + 23 + 6 + 2 = 40.\)

Gọi \({x_1},...,{x_{40}}\) là điểm mà 40 người đó cho mẫu áo sơ mi đang khảo sát theo thang điểm 100 và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó: \({x_1},...,{x_4}\) thuộc nhóm \[\left[ {50,60} \right);\]

            \({x_5},...,{x_9}\) thuộc nhóm \(\left[ {60;70} \right);\)

            \({x_{10}},...,{x_{32}}\) thuộc nhóm \(\left[ {70;80} \right);\)

            \({x_{33}},...,{x_{38}}\) thuộc nhóm \(\left[ {80;90} \right);\)

            \({x_{39}},\,\,{x_{49}}\) thuộc nhóm \(\left[ {90;100} \right).\)

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}.\) Do \({x_{10}},\,\,{x_{11}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {70;80} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}.\)

Do đó, \(p = 3;\) \({a_3} = 70;\) \({m_3} = 23;\) \({m_2} = 5;\) \({m_1} = 4;\)\({a_4} - {a_3} = 80 - 70 = 10\) và ta có:

\({Q_1} = 70 + \frac{{\frac{{40}}{4} - \left( {5 + 4} \right)}}{{23}}.10 = \frac{{1\,\,620}}{{23}} \approx 70,4.\)

Đáp án đúng là: C

Vì bốn điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) không cùng thuộc một mặt phẳng nên hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) chéo nhau, do đó đáp án C mang nội dung sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(N \in AC\) mà \(AC \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow N \in \left( {ACD} \right).\)

\( \Rightarrow N \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {ACD} \right).\)

Lại có: \(D \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {ACD} \right).\)

Do đó \(DN = \left( {DMN} \right) \cap \left( {ACD} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right);\)

            \(AD//BC\) (do \(ABCD\) là hình bình hành);

            \(AD \subset \left( {SAD} \right);\,\,BC \subset \left( {SBC} \right).\)

Suy ra \(d = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\) đi qua \(S\) và song song với \(AD,\,\,BC.\)

Đáp án đúng là: B

Trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung

⦁ và cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng song song với nhau;

⦁ và không cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng chéo nhau.

Vậy trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song.

Đáp án đúng là: D

Xét \(\Delta ABC\) có: \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC.\)

Suy ra \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)

\( \Rightarrow MN{\rm{//}}BC.\)

Mà \(BC \subset \left( {BCD} \right);\,\,MN \not\subset \left( {BCD} \right).\)

\( \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {BCD} \right).\)

Đáp án đúng là: D

Vì \(O\) và \(O'\) lần lượt là tâm hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) nên \(O\) và \(O'\) lần lượt là trung điểm của \(BD\) và \(FB.\)

Xét \(\Delta BDF\) có: \(OO'\) là đường trung bình \( \Rightarrow OO'{\rm{//}}DF.\)

Mà \(DF \subset \left( {DCEF} \right);\,\,DF \subset \left( {ADF} \right);\)

\( \Rightarrow OO'{\rm{//}}\left( {DCEF} \right);\,\,OO'{\rm{//}}\left( {ADF} \right).\)

Vì \(ABCD\) và\(ABEF\) là hình bình hành nên \(CD = AB = EF;\,\,CD{\rm{//}}AB{\rm{//EF}}{\rm{.}}\)

\( \Rightarrow CDFE\) là hình bình hành nên \(DF{\rm{//}}CE.\)

Mà \(DF{\rm{//OO'}}\) nên \(OO'{\rm{//}}CE.\)

Hơn nữa \(CE \subset \left( {BCE} \right) \Rightarrow OO'{\rm{//}}\left( {BCE} \right).\)

Đáp án đúng là: C

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên \(BB'{\rm{//}}DD'\) và \(BB' = DD'.\)

\( \Rightarrow BB'D'D\) là hình bình hành nên \(B'D'{\rm{//}}BD.\)

Mà \(BD \subset \left( {BDC'} \right)\) và \(B'D' \not\subset \left( {BDC'} \right).\)

\( \Rightarrow B'D'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right).\)

Tương tự ta cũng có \(AD'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right).\)

Ta có: \(B'D'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right);\,\,AD'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right)\) và \(B'D' \cap AD' = D'\) trong \(\left( {AB'D'} \right).\)

\( \Rightarrow \left( {AB'D'} \right){\rm{//}}\left( {BDC'} \right).\)

Đáp án đúng là: D

Theo tính chất phép chiếu song song: Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Vậy qua phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành ba đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Đáp án đúng là: C

Do \(AB \cap \left( {SBC} \right) = B\) suy ra hình chiếu song song của điểm \(A\) theo phương \(AB\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là điểm \(B.\)

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{v_n} - 2{u_n}} \right) = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} - 2\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 2 + 2\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2 + 2.1 = 4.\)

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{1}{2}.\)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{g\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)}} = \frac{7}{{14}} = \frac{1}{2}.\]

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} x = - 1;\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \sqrt {x + 1} = 0\) và với \(\forall \,x > - 1\) thì \(x + 1 > 0\) \( \Rightarrow \sqrt {x + 1} > 0,\,\forall \,x > - 1.\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = - \infty .\)

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - {a^2}} \right) = 1 \Rightarrow 1 - {a^2} = 1 \Rightarrow {a^2} = 0 \Rightarrow a = 0.\]

Vậy nếu \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} - 2ax + 3 + {a^2}} \right) = 3\] thì \(a = 0.\)

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} .\)

Điều kiện: \({x^2} + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne - 1\) (luôn đúng do \({x^2} \ge 0\)).

Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) là \(D = \mathbb{R}.\)

Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) là hàm căn thức nên nó liên tục trên tập xác định \(D = \mathbb{R}.\)

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}\], điều kiện: \(x > 0.\)

Tập xác định của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}\] là \(D = \left( {0; + \infty } \right).\)

Từ đó suy ra hàm số đã cho liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {\sqrt {3 - x} + 1} \right) = \sqrt {3 - 3} + 1 = 1;\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} ax = 3a;\) \(f\left( 3 \right) = \sqrt {3 - 3} + 1 = 1.\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 3\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\)

\( \Leftrightarrow 3a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}.\)

a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + n} - \sqrt {{n^2} + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n - {n^2} - 1}}{{\sqrt {{n^2} + n} + \sqrt {{n^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n - 1}}{{\sqrt {{n^2} + n} + \sqrt {{n^2} + 1} }}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 - \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}.\]

b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}} = \frac{{{2^2} + 2.2 + 4}}{{2 + 2}} = 3.\]

Gọi \({u_n}\)_­ là quãng đường đi lên của người đó sau \(n\) lần kéo lên \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

Sau lần kéo lên đầu tiên quãng đường đi lên của người đó là:

\({u_1} = 100.80\% = 100.0,8 = 80\) (m).

Sau lần kéo lên thứ hai quãng đường đi lên của người đó là:

\({u_2} = 80.80\% = 80.0,8\) (m).

Sau lần kéo lên thứ ba quãng đường đi lên của người đó là:

\({u_3} = 80.0,8.80\% = 80.0,8.0,8 = 80.0,{8^2}\) (m).

Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 80\) và công bội \(q = 0,8.\)

Ta có công thức tổng quát \({u_n} = 80.{\left( {0,8} \right)^{n - 1}}\) (m).

Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên là:

\({S_{10}} = \frac{{80\left( {1 - 0,{8^{10}}} \right)}}{{1 - 0,8}} \approx 357,05\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)