Đáp án đúng là: B

\[\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b.\]

Đáp án đúng là: D

Ta có \(P = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \).

Mà \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha < 0\). Vậy \(P < 0.\)

Đáp án đúng là: C

Có \(P = \cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \)\( = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Điều kiện \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

Đáp án đúng là: C

+) Xét đáp án A.

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Do đó nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D\).

Ta có \(f\left( { - x} \right) = - \sin \left( { - x} \right) = \sin x = - f\left( x \right)\). Do đó \(y = - \sin x\) là hàm số lẻ.

+) Xét đáp án B

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Do đó nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D\).

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right) - \sin \left( { - x} \right)\)\( = \cos x + \sin x \ne f\left( x \right)\) nên hàm số \[y = \cos x - \sin x\] không chẵn cũng không lẻ.

+) Xét đáp án C

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Do đó nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D\).

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right) + {\sin ^2}\left( { - x} \right)\)\( = \cos x + {\sin ^2}x = f\left( x \right)\) nên hàm số \(y = \cos x + {\sin ^2}x\) là hàm số chẵn.

+) Xét đáp án D

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Do đó nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D\).

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right)\sin \left( { - x} \right)\)\( = - \cos x\sin x = - f\left( x \right)\) nên hàm số \(y = \cos x\sin x\) là hàm số lẻ.

Đáp án đúng là: A

\(\sin x = \sin \alpha \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án đúng là: A

Có \(\cos x = - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Mà \(0 \le x \le \pi \) nên \(0 \le \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le \pi \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{3} \le k \le \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{6}\end{array} \right.\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\).

Với \(k = 0\) thì phương trình có nghiệm là \(x = \frac{{2\pi }}{3}\).

Vậy số nghiệm của phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là 1.

Đáp án đúng là: B

Đây là dãy số tự nhiên lẻ liên tiếp nên số hạng thứ 5 là 9.

Đáp án đúng là: A

Có \({u_2} = {u_1} + 3 = - 1 + 3 = 2\);

\({u_3} = {u_2} + 3 = 2 + 3 = 5\).

Vậy 3 số hạng đầu tiên của dãy là \( - 1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 5.\)

Đáp án đúng là: A

Để hàm số liên tục tại \[x = 1\] thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} m = 3\)\( \Leftrightarrow m = 3\).

Đáp án đúng là: B

\(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với công sai \(d\) thì \({u_n} = {u_{n - 1}} + d\).

Đáp án đúng là: C

Có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)\( = - 3 + \left( {n - 1} \right) \cdot \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Có \({u_{13}} = {u_1} + 12d = - 5 + 12 \cdot 3 = 31\).

Đáp án đúng là: C

Đáp án A: Dãy số là cấp số nhân với \({u_1} = 2;q = 2\).

Đáp án B: Dãy số là cấp số nhân với \({u_1} = 1;q = - 1\).

Đáp án C: Dãy số không là cấp số nhân.

Đáp án D: Dãy số là cấp số nhân với \({u_1} = a;q = {a^2}\).

Đáp án đúng là: A

Có \({u_{10}} = {u_1}{q^9} = \left( { - 2} \right) \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^9} = - \frac{1}{{256}}\).

Đáp án đúng là: B

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} \cdot \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 2 \cdot 3 = 6\).

Đáp án đúng là: A

Có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{2}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = 0\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{2}{{{n^2}}} = 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0\).

Đáp án đúng là: B

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - {n^3} + n - 3} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^3}\left( { - 1 + \frac{1}{{{n^2}}} - \frac{3}{{{n^3}}}} \right) = - \infty \).

Đáp án đúng là: A

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = 4 + 1 = 5\).

Đáp án đúng là: A

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {2{x^2} + 1} \right) = 2{\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 9\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - 1} \right) = 0\) mà \(x \to {1^ - }\) nên \(x - 1 < 0\). Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \).

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là hàm đa thức do đó hàm số đó liên tục trên \(\mathbb{R}.\)

Đáp án đúng là: B

Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho 6 nhóm.

Đáp án đúng là: A

Số học sinh của lớp là: \(23 + 15 + 2 = 40\) (học sinh).

Đáp án đúng là: C

Nhóm chứa mốt là nhóm [165;170).

Đáp án đúng là: A

Ta có \({x_1} = \frac{{40,5 + 45,5}}{2} = 43\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {40,5;45,5} \right)\).

\({x_2} = \frac{{45,5 + 50,5}}{2} = 48\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {45,5;50,5} \right)\).

\({x_3} = \frac{{50,5 + 55,5}}{2} = 53\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {50,5;55,5} \right)\).

\({x_4} = \frac{{55,5 + 60,5}}{2} = 58\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {55,5;60,5} \right)\).

\({x_5} = \frac{{60,5 + 65,5}}{2} = 63\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {60,5;65,5} \right)\).

\({x_6} = \frac{{65,5 + 70,5}}{2} = 68\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {65,5;70,5} \right)\).

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11A là

\(\frac{{43 \cdot 10 + 48 \cdot 7 + 53 \cdot 16 + 58 \cdot 4 + 63 \cdot 2 + 68 \cdot 3}}{{10 + 7 + 16 + 4 + 2 + 3}} \approx 51,81\).

Đáp án đúng là: C

+) A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.

+) B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.

+) D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không thẳng hàng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

Đáp án đúng là: C

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\).

Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\). Do đó \(MN{\rm{//}}BD\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\) nên \(\frac{{SG}}{{SM}} = \frac{2}{3}\).

Vì \(G'\)là trọng tâm tam giác \(SAD\) nên \(\frac{{SG'}}{{SN}} = \frac{2}{3}\).

Do \(\frac{{SG}}{{SM}} = \frac{{SG'}}{{SN}} = \frac{2}{3}\) nên \(GG'{\rm{//}}MN\) mà \(MN{\rm{//}}BD\) nên \(GG'{\rm{//}}BD\).

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng \(a\) song song mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi đường thẳng \(a\) không nằm trong \(\left( P \right)\) và song song với một đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\).

Đáp án đúng là: C

Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{2}{3}\).

Vì \(M\) là trọng tâm tam giác \[ACD\] nên \(\frac{{AM}}{{AJ}} = \frac{2}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Do 4 điểm không đồng phẳng nên ta chọn bất kì 3 trong 4 điểm đó tạo thành 1 mặt phẳng.

Do đó có \(C_4^3 = 4\) mặt phẳng.

Đáp án đúng là: C

Theo lí thuyết, Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Đáp án đúng là: B

Vì \(M,\,N,\,P\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \[AA',\,BB',\,CC'\] nên \(MP{\rm{//}}AC,PN{\rm{//}}CB\).

Vì \(MP{\rm{//}}AC,AC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow MP{\rm{//}}\left( {ABC} \right)\).

Vì \(PN{\rm{//}}CB,CB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow PN{\rm{//}}\left( {ABC} \right)\).

Do đó \(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {ABC} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Hình chữ nhật có cặp cạnh đối song song nên hình chiếu của nó không thể là hình thang.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{3n - 1}}{{2n + 3}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}}{{\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}} = \frac{3}{2}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{3}{n} = 0\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2x + 1} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {2x + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x + 1 - 1}}{{x\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}} = \frac{2}{{\left( {\sqrt {2.0 + 1} + 1} \right)}} = 1.\)

a) Ta có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( {SAC} \right)\\O \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).\)

b) Trong \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(AN\)và \(SO\)

Trong \(\left( {SBD} \right)\), \(ME\)cắt \(SD\) tại \(K\) mà \(ME \in (A{\rm{MN}})\)

\( \Rightarrow K\) là giao điểm của \(\left( {AMN} \right)\) với \(SD\).

Xét tam giác \(SAC\) có \(SO\) và \(AN\) là các trung tuyến và \(SO \cap AN = E\)

Nên \(E\) là trọng tâm tam giác \(SAC\). Do đó \(SE = 2EO \Rightarrow \frac{{SE}}{{EO}} = 2\).

Mặt khác \(MS = 2MB \Rightarrow \frac{{MS}}{{MB}} = 2\).

Do \(\frac{{SE}}{{EO}} = \frac{{MS}}{{MB}} = 2\) \( \Rightarrow ME{\rm{//}}BO\) hay \(MK{\rm{//}}BD\) mà \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\).

Suy ra \(MK{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).

Kí hiệu \({A_n},{B_n}\) lần lượt là số tiền công (đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở A và cơ sở B.

Theo giả thiết ta có:

+ \({A_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 50\;000\) và công sai \(d = 10\;000\).

+ \({B_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = 50\;000\)và công bội \(q = 1,08\).

Do đó:

\[{A_{20}} = \frac{{20\left( {2{u_1} + 19d} \right)}}{2} = 10\left( {2.50\;000 + 19.10\;000} \right) = 2\;900\;000.\]

\[{B_{20}} = {v_1}\frac{{1 - {q^{20}}}}{{1 - q}} = 50\;000 \times \frac{{1 - {{\left( {1,08} \right)}^{20}}}}{{1 - 1,08}} \approx 2\;288\;000.\]

\[{A_{40}} = \frac{{40\left( {2{u_1} + 39d} \right)}}{2} = 20\left( {2.50\;000 + 39.10\;000} \right) = 9\;800\;000.\]

\[{B_{40}} = {v_1}\frac{{1 - {q^{40}}}}{{1 - q}} = 50\;000 \times \frac{{1 - {{\left( {1,08} \right)}^{40}}}}{{1 - 1,08}} \approx 12\;953\;000.\]

Suy ra, chọn cơ sở B khoan giếng 20 mét và cơ sở A để khoan giếng 40 mét.