Đáp án đúng là: B

Ta có \(\left( {Ou;Ov} \right) = 30^\circ \).

Đáp án đúng là: C

Ta có hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ.

Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.

Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.

Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ.

Đáp án đúng là: C

Hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x}}\) xác định khi và chỉ khi \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án đúng là: B

Có \(\sin x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị hàm số \(y = \cos x\)

Ta nhận thấy trên khoảng \(\left( { - \frac{{3\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\), đồ thị hàm số \(y = \cos x\) cắt trục hoành tại 2 điểm.

Đáp án đúng là: C

Xét đáp án A: 1; 1; 1; 1; 1; 1; …đây là dãy không đổi nên không tăng không giảm. Loại A.

Xét đáp án B: \(1; - \frac{1}{2};\frac{1}{4}; - \frac{1}{8};\frac{1}{{16}};...\) có \({u_1} > {u_2} < {u_3}\) nên loại B.

Xét đáp án C: 1; 3; 5; 7; 9; … có \({u_n} < {u_{n + 1}},n \in {\mathbb{N}^*}\) nên đây là dãy tăng. Chọn C.

Xét đáp án D: \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}};...\) có \({u_1} > {u_2} > {u_3} > ... > {u_n} > ...\). Loại D.

Đáp án đúng là: A

Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \sqrt {5\left( {n + 1} \right) + 2} - \sqrt {5n + 2} \)\( = \sqrt {5n + 7} - \sqrt {5n + 2} > 0,\forall n \in \mathbb{N}*\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Đáp án đúng là: A

Có \({u_3} = {\left( { - 1} \right)^3} \cdot \frac{{{2^3}}}{3} = - \frac{8}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Đáp án A: Là cấp số cộng với \({u_1} = \frac{1}{2};d = 1\).

Đáp án B: Là cấp số cộng với \({u_1} = 1;d = 0\).

Đáp án C: Là cấp số cộng với \({u_1} = - 8;d = 2\).

Đáp án D: Không là cấp số cộng vì \({u_2} = {u_1} + \left( { - 2} \right);{u_4} = {u_3} + \left( { - 1} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \({u_6} = {u_1} + 5d\)\( \Leftrightarrow 27 = - 3 + 5d\)\( \Leftrightarrow d = 6\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \({S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2 \cdot 3 + \left( {n - 1} \right) \cdot 4} \right]n}}{2} = 253\)

\( \Leftrightarrow \left( {4n + 2} \right)n = 506\)

\( \Leftrightarrow 4{n^2} + 2n - 506 = 0\)

\( \Leftrightarrow n = 11\)(thỏa mãn) hoặc \(n = - \frac{{23}}{2}\) (loại).

Vậy \(n = 11\).

Đáp án đúng là: B

Có \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 6}}{3} = - 2\).

Đáp án đúng là: B

Đáp án A là cấp số nhân với \(q = - 1\).

Đáp án B không phải là cấp số nhân.

Đáp án C là cấp số nhân với \(q = 0\).

Đáp án D là cấp số nhân với \(q = \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Có \(q = \frac{{{u_5}}}{{{u_4}}} = \frac{{ - 324}}{{ - 108}} = 3\).

Mà \({u_4} = {u_1}{q^3}\)\( \Leftrightarrow - 108 = {u_1} \cdot {3^3}\)\( \Leftrightarrow {u_1} = - 4\).

Đáp án đúng là: A

Theo định nghĩa giới hạn ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\);

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = + \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^3} = \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( { - n} \right)^2} = - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2} = - \infty \).

Đáp án đúng là: D

Có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2020{n^2} - n}}{{2021 + {n^2}}}\)\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2020 - \frac{1}{n}}}{{\frac{{2021}}{{{n^2}}} + 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2020 - \frac{1}{n}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{2021}}{{{n^2}}} + 1} \right)}} = 2020\].

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\]; \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2021}}{{{n^2}}} = 0\].

Đáp án đúng là: C

Đối với hàm phân thức thì điều kiện mẫu thức khác 0 tức là \(M \ne 0\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 3}}{{ - 4x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{ - 4 + \frac{2}{x}}} = \frac{2}{{ - 4}} = - \frac{1}{2}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x} = 0\).

Đáp án đúng là: A

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 - x} \right) = 0\) mà \(x \to {1^ - }\) nên \(1 - x > 0\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}} = + \infty \).

Đáp án đúng là: D

Theo định nghĩa hàm số liên tục tại 1 điểm khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Hàm số có nghĩa khi \({x^2} + 5x + 6 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ne - 3\end{array} \right.\).

Do đó hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right);\left( { - 3; - 2} \right);\left( { - 2; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: C

Đáp án C đúng vì hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên chúng không có điểm chung.

Đáp án đúng là: A

Hình (III) không phải là hình biểu diễn tứ diện.

Đáp án đúng là: A

Ta thấy \(M,K\) cùng thuộc mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) nên 4 điểm \(M,K,A,C\) đồng phẳng.

Đáp án đúng là: B

Gọi \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\). Khi đó \(O = MN \cap AC\).

Vậy \(\left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO\).

Đáp án đúng là: A

Hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung cùng nằm trong một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

Đáp án đúng là: B

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BD\) và \(N\) là trung điểm của \(BC\). Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\).

Xét tam giác \(BCD\), có \(MN\) là đường trung bình nên \(MN{\rm{//}}CD\).

Vì \(I\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\) nên \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{2}{3}\).

Vì là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\).

Vì \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\) nên \(IJ{\rm{//}}MN\) mà \(MN{\rm{//}}CD\) nên \(IJ{\rm{//}}CD\).

Đáp án đúng là: B

Nếu \(d{\rm{//}}\left( \alpha \right)\) thì tồn tại đường thẳng \(b \subset \left( \alpha \right)\) sao cho \(b{\rm{//}}d\).

Đáp án đúng là: B

Gọi \(J\) là trung điểm của \(AD\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD\) nên \(\frac{{BG}}{{BJ}} = \frac{2}{3}\).

Vì \(MB = 2MC\) nên \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}\). Do đó \(\frac{{BG}}{{BJ}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}\), suy ra \(MG{\rm{//}}CJ\).

Mà \(CJ \subset \left( {ACD} \right)\) nên \(MG{\rm{//}}\left( {ACD} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Vì \(AB{\rm{//}}D'C'\) và \(AB = D'C'\) (do chúng cùng song song và bằng \(CD\)).

Do đó \(ABC'D'\) là hình bình hành, suy ra \(BC'{\rm{//}}AD'\)

Mà \(AD' \subset \left( {AB'D'} \right)\) nên \(BC'{\rm{//}}\left( {AB'D'} \right).\)

Vì \(AD{\rm{//}}B'C'\) và \(AD = B'C'\) (do chúng cùng song song và bằng \(BC\))

Do đó \(ADC'B'\) là hình bình hành, suy ra \(AB'{\rm{//}}DC'\)

Mà \(AB' \subset \left( {AB'D'} \right)\) nên \(DC'{\rm{//}}\left( {AB'D'} \right).\)

Vì \(BC'{\rm{//}}\left( {AB'D'} \right)\) và \(DC'{\rm{//}}\left( {AB'D'} \right)\) nên \(\left( {AB'D'} \right){\rm{//}}\left( {BC'D} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Gọi \(N\) là trung điểm của \(CD\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(AD\) và \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ADC\) nên \(MN{\rm{//}}AC\).

Do đó hình chiếu song song của điểm \(M\) theo phương \(AC\) lên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là điểm \(N\).

Ta có \({u_{n + 1}} = \frac{1}{3}{u_n}\)\( \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{3}\) là một số không đổi nên \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội là \(q = \frac{1}{3}\).

Do đó \({u_3} = {u_1}{q^2} = 2 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{2}{9}\).

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}} = \frac{{12}}{4} = 3\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^3} - {x^2}} }}{{\sqrt {x - 1} + 1 - x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {x - 1} \right)} }}{{\sqrt {x - 1} + 1 - x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x\sqrt {\left( {x - 1} \right)} }}{{\sqrt {x - 1} \left( {1 - \sqrt {x - 1} } \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{x}{{1 - \sqrt {x - 1} }} = 1\).

Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = 10\) và \(q = \frac{3}{4}\).

Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)\( = \frac{{10}}{{1 - \frac{3}{4}}}\) \( = 40\).

Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn \(2S - 10 = 70\) (m).