Đáp án đúng là: A

Ta có: \(105^\circ = \frac{{105^\circ \cdot \pi }}{{180^\circ }} = \frac{{7\pi }}{{12}}\,\,\left( {{\rm{rad}}} \right).\)

Đáp án đúng là: C

Do \[\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2}\] nên \[{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = \frac{1}{4}\]

\[ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 1 + \sin 2\alpha = \frac{1}{4}\]

\( \Rightarrow \sin 2\alpha = - \frac{3}{4}.\)

Đáp án đúng là: D

Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\sin x \le 2 \Rightarrow - 1 \le 2\sin x + 1 \le 3.\)

Vậy trị lớn nhất của hàm số \[y = 2\sin x + 1\] bằng 3.

Đáp án đúng là: A

Đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm \(\left( {0;\pi } \right).\) Trong các hàm số đã cho chỉ có hàm số \(y = 1 + \cos x\) thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\sin x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

Đáp án đúng là: A

Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}}\) ta có:

\({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*};\)

\({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} = \frac{{4\left( {n + 1} \right) + 1}}{{n + 1}}\)\( = 4 + \frac{1}{{n + 1}} \le 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\)\( \Rightarrow {u_n} \le \frac{9}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)

Suy ra \(0 < {u_n} \le \frac{9}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)\( = - 3 + \left( {n - 1} \right) \cdot \frac{1}{2}.\)

Đáp án đúng là: B

(I). Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 4\left( {n + 1} \right) - 4n = 4,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)

Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = 4\).

(II). Ta có: \({v_1} = 2 \cdot {1^2} + 1 = 3\); \({v_2} = 2 \cdot {2^2} + 1 = 9\); \({v_3} = 2 \cdot {3^2} + 1 = 19.\)

\( \Rightarrow {v_2} - {v_1} = 6 \ne 10 = {v_3} - {v_2}.\)

Vậy dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) không là cấp số cộng.

(III). Ta có \({w_{n + 1}} - {w_n} = \left( {\frac{{n + 1}}{3} - 7} \right) - \left( {\frac{n}{3} - 7} \right) = \frac{1}{3},\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)

Vậy dãy số \(\left( {{w_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = \frac{1}{3}\).

(IV). Ta có \({t_{n + 1}} - {t_n} = \left[ {\sqrt 5 - 5\left( {n + 1} \right)} \right] - \left( {\sqrt 5 - 5n} \right) = - 5,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)

Vậy dãy số \(\left( {{t_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = - 5\).

Từ các kết quả trên ta có 3 dãy số là cấp số cộng.

Đáp án đúng là: B

Giả sử độ dài 3 cạnh \(a,\,\,b,\,\,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân, trong đó \(c\) là cạnh huyền và \(0 < a \le b < c.\)

Ta có:

\({b^2} = ac\) (tính chất của cấp số nhân đối với ba số hạng liên tiếp);

\({c^2} = {a^2} + {b^2}\) (định lí Pythagore trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow {a^2} + ac = {c^2}.\)

Chia cả hai vế phương trình cho \({c^2}\) ta được:

\({\left( {\frac{a}{c}} \right)^2} + \frac{a}{c} - 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}.\)

Vì \(a,\,\,c\) đều lớn hơn 0 nên \(\frac{a}{c} > 0 \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\)

Vậy tỉ số cạnh góc vuông nhỏ chia cho cạnh huyền bằng \(\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\lim \frac{2}{{{n^2} + 1}} = \lim \frac{{\frac{2}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{{\lim \frac{2}{{{n^2}}}}}{{\lim \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{0}{1} = 0.\)

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\lim \frac{{{v_n}}}{{{u_n}}} = \frac{{\lim {v_n}}}{{\lim {u_n}}} = \frac{1}{3}.\)

Đáp án đúng là: A

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {4x - 3} \right) = 4.1 - 3 = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\) mà \(x \to {1^ + }\) nên \(x - 1 > 0\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}} = + \infty \).

Đáp án đúng là: C

Phương án A: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3 + \frac{4}{x}}}{{1 - \frac{2}{x}}} = \frac{{\lim \left( { - 3 + \frac{4}{x}} \right)}}{{\lim \left( {1 - \frac{2}{x}} \right)}} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3.\)

Phương án D: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3 + \frac{4}{x}}}{{1 - \frac{2}{x}}} = \frac{{\lim \left( { - 3 + \frac{4}{x}} \right)}}{{\lim \left( {1 - \frac{2}{x}} \right)}} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3.\)

Phương án B: Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( { - 3x + 4} \right) = - 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 2} \right) = 0\) và \(x \to {2^ - }\) thì \(x - 2 < 0\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}} = + \infty \).

Phương án C: Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + 4} \right) = - 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\) và \(x \to {2^ + }\) thì \(x - 2 > 0\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}} = - \infty \).

Đáp án đúng là: D

Theo định nghĩa: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên một khoảng \(K\) chứa \({x_0}\) liên tục tại \({x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định \({x^2} + 5x + 6 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ne - 3\end{array} \right.\).

Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}\) là \(D = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( { - 2; + \infty } \right).\)

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}\) là hàm phân thức nên hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}\) liên tục trên tập xác định \(D = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( { - 2; + \infty } \right)\) của nó.

Ta thấy \(\left( { - 2; + \infty } \right) \subset D.\)

Vậy phương án B thỏa mãn.

Đáp án đúng là: A

Do 4 điểm không đồng phẳng nên ta chọn bất kì 3 trong 4 điểm đó tạo thành 1 mặt phẳng, đó là tổ hợp chập 3 của 4.

Do đó có thể xác định được \(C_4^3 = 4\) mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho.

Đáp án đúng là: C

Vì \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\) nên \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD.\)

\( \Rightarrow MN{\rm{//}}AB.\)

Hơn nữa \(S \in \left( {SMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\) và \(MN \subset \left( {SMN} \right);\,\,AB \subset \left( {SAB} \right).\)

Vậy \(d = \left( {SMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\) với \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AB,\,\,MN.\)

Đáp án đúng là: A

Ta có 3 vị trí tương đối của hai đường thẳng \(a,\,\,b\) phân biệt trong không gian: Song song, cắt nhau, chéo nhau.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào định nghĩa ta có: đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\), khi đó đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Đáp án đúng là: B

Theo tính chất của hai mặt phẳng song song: “Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau”. Từ đó ta có \(a\) và \(b\) song song vậy nên hai đường thẳng \(a\) và \(b\) không có điểm chung.

Đáp án đúng là: B

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.

Như vậy, \(\left( {AA'B'} \right){\rm{//}}\left( {DD'C'} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Hình lăng trụ ngũ giác có 2 đáy, mỗi đáy có 5 cạnh. Suy ra có 10 cạnh đáy.

Mặt khác, hình lăng trụ ngũ giác còn có 5 cạnh bên.

Vậy hình lăng trụ ngũ giác có tất cả 15 cạnh.

Đáp án đúng là: A

Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình chiếu của nó.

Đáp án đúng là: B

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC.\)

Tam giác \(ABC\) có: \(M\) và \(E\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC.\)

\( \Rightarrow ME\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(ME{\rm{//}}AC.\)

Khi đó, hình chiếu của điểm \(M\) trên \(\left( {BCD} \right)\) theo phương \(AC\) là \(E\), với \(E\) là trung điểm \(BC.\)

a) Ta có : \[VT = \frac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}} = \frac{{2\cos 2x.\sin x}}{{\cos 2x}} = 2\sin x = VP.\]

b) Ta có: \[\cos x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\2x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z}).\]

a) Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) ta có \(d = {u_2} - {u_1} = - 2.\)

Do đó, \({u_{11}} = {u_1} + 10d = 3 - 20 = - 17.\)

b) Số tiền du khách đặt trong mỗi lần là một cấp số nhân có \({u_1} = 20\,\,000\) và công bội \(q = 2.\)

Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:

\({S_9} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {p^9}} \right)}}{{1 - p}} = \frac{{20\,\,000\left( {1 - {2^9}} \right)}}{{1 - 2}} = 10\,\,220\,\,000\) (đồng).

Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ \(10\) là \({u_{10}} = {u_1}.{p^9} = 10\,\,240\,\,000\) (đồng).

Vì \({u_{10}} - {S_9} = 20\,\,000 > 0\) nên du khách thắng 20 000 đồng.