Đáp án đúng là: D

Góc lượng giác có số đo \( - 3\,\,060^\circ \) thì có số đo theo rađian là

\[\frac{{ - 3\,\,060.\pi }}{{180}} = - 17\pi \,\,\,\left( {{\rm{rad}}} \right).\]

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{169}}.\]

\( \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{5}{{13}}.\)

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \sin \alpha > 0 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{5}{{13}}.\)

Đáp án đúng là: B

Theo công thức cộng ta có: \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a.\)

Đáp án đúng là: C

Ta có:

\(\tan \frac{{17\pi }}{4} = \tan \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi } \right) = \tan \frac{\pi }{4} = 1;\)

\(\tan \left( {\frac{{7\pi }}{2} - x} \right) = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x + 3\pi } \right) = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x;\)

\(\cot \frac{{13\pi }}{4} = \cot \left( {\frac{\pi }{4} + 3\pi } \right) = \cot \frac{\pi }{4};\)

\({\mkern 1mu} \cot \left( {7\pi - x} \right) = \cot \left( { - x} \right) = - {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \cot x.\)

Suy ra \(P = {\left[ {\tan \frac{{17\pi }}{4} + \tan \left( {\frac{{7\pi }}{2} - x} \right)} \right]^2} + {\left[ {\cot \frac{{13\pi }}{4} + \cot \left( {7\pi - x} \right)} \right]^2}\)

\( = {\left( {1 + \cot x} \right)^2} + {\left( {1 - \cot x} \right)^2} = 2 + 2{\cot ^2}x = 2\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) = \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}.\)

Đáp án đúng là: D

Ta có: \( - 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\cos 2x \le 2 \Rightarrow - 1 \le 2\cos 2x + 1 \le 3.\)

\( \Rightarrow - 1 \le y \le 3.\)

Vậy tập giá trị của hàm số \(y = 2\cos 2x + 1\) là \(\left[ { - 1;3} \right].\)

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \tan x.\)

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

Do đó, nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D.\)

Ta có:

\(f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - x} \right) = - \tan x = - f\left( x \right),\forall x \in D.\)

Vậy \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.

Đáp án đúng là: A

Công thức nghiệm của phương trình \(\sin x = \sin \alpha \) là \[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \tan \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\cos x \in \left[ { - 1;1} \right]\) và \(\frac{3}{2} > 1.\)

Nên phương trình \(\cos x = \frac{3}{2}\) vô nghiệm.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \({u_1} = \frac{{ - 1 + 1}}{1} = 0;\,\,{u_2} = \frac{{ - 2 + 1}}{2} = - \frac{1}{2};\,\,{u_3} = \frac{{ - 3 + 1}}{3} = - \frac{2}{3};\,\,\)

\({u_4} = \frac{{ - 4 + 1}}{4} = \frac{{ - 3}}{4};\,\,{u_5} = \frac{{ - 5 + 1}}{5} = - \frac{4}{5}.\)

Đáp án đúng là: D

Vì \({2^n};\,\,n\) là các dãy dương và tăng nên \(\frac{1}{{{2^n}}};\,\,\frac{1}{n}\) là các dãy giảm, do đó loại phương án A và B.

Xét phương án C: loại C.

Xét phương án D: \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {\frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}}} \right) > 0,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)

Do đó, \({u_{n + 1}} > {u_n}\) nên đây là dãy số tăng.

Đáp án đúng là: A

Xét dãy số \(1;\,\, - 4;\,\, - 9;\,\, - 14;\,\, - 19\) ta có:

\({u_2} - {u_1} = - 4 - 1 = - 5;\) \({u_3} - {u_2} = - 9 - \left( { - 4} \right) = - 5;\)

\({u_4} - {u_3} = - 14 - \left( { - 9} \right) = - 5;\) \({u_5} - {u_4} = - 19 - \left( { - 14} \right) = - 5.\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - 5,\,\,\forall n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}.\)

Vậy dãy số \(1;\,\, - 4;\,\, - 9;\,\, - 14;\,\, - 19\) là cấp số cộng với công sai \(d = - 5.\)

Đáp án đúng là: D

Vì các số hạng được viết trong các ô vuông từ trái sang phải tạo thành cấp số cộng nên ta coi \({u_1} = 2\) là số hạng đầu của cấp số cộng với công sai \(d.\)

Khi đó \({u_4} = x\) và \({u_5} = - 10.\)

Ta có: \({u_5} = {u_1} + \left( {5 - 1} \right)d \Rightarrow - 10 = 2 + \left( {5 - 1} \right)d \Rightarrow d = - 3.\)

\( \Rightarrow {u_4} = {u_1} + \left( {4 - 1} \right)d = 2 + \left( {4 - 1} \right)\left( { - 3} \right) = - 7.\)

Suy ra \(x = - 7.\)

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 3{u_n}\end{array} \right.,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 3,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)

Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) đã cho là cấp số nhân với công sai \(q = 3\) và số hạng đầu \({u_1} = 3.\)

Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là:

\({u_n} = {3.3^{n - 1}} = {3.3^n}{.3^{ - 1}} = {3^n}.\)

Đáp án đúng là: D

Ba số \(1;\,\,2;\,\, - 2a\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có \(1.\left( { - 2a} \right) = {2^2} \Rightarrow a = - 2.\)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {4 + {u_n}} \right) = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 4 + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1 - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 4 = 1 - 4 = - 3.\)

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n + 1}}{{3n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{3} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 3}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 1 + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n}}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 3}} = \frac{{1 + 0}}{3} = \frac{1}{3}.\)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = 4 - \left( { - 1} \right) = 5.\]

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 15} \right) = 2 - 15 = - 13 < 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x - 2}} = + \infty \end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 15}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {\left( {x - 15} \right).\frac{1}{{x - 2}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 15} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x - 2}} = - \infty \].

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2} + 1}}.\)

Điều kiện \({x^2} + 1 \ne 0\) (luôn đúng do \({x^2} \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \({x^2} + 1 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\))

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}.\)

Hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\) là hàm phân thức nên nó liên tục trên tập xác định \(D = \mathbb{R}.\)

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: \(\left| {x - 2} \right| \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2.\)

Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\left| {x - 2} \right|}}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\left| {x - 2} \right|}} = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 2}}{{x - 2}}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 2\\\frac{{x - 2}}{{ - \left( {x - 2} \right)}}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 2\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l}1\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 2\\ - 1\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 2\end{array} \right..\)

Từ các kết quả trên ta có hàm số đã cho liên tục trên \(\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {3x - 1} \right) = 3.1 - 1 = 2;\] \(f\left( 1 \right) = a.\)

Hàm số đã cho liên tục tại \(x = 1\) khi và chỉ khi \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow a = 2.\]

Đáp án đúng là: B

Theo tính chất thừa nhận, ta có: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau. Do đó, yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.

Các đáp án còn lại là sai vì:

Phương án A: Giả sử 3 điểm phân biệt thẳng hàng, thì có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm này.

Phương án B: Tồn tại bốn điểm không đồng phẳng.

Phương án D: Giả sử điểm nằm trên đường thẳng. Vì có vô số mặt phẳng đi qua một đường thẳng bất kì nên có vô số mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng (điểm thuộc đường thẳng).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(AC \cap BD = O \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC\\O \in BD\end{array} \right.\)

Mà \(AC \subset \left( {SAC} \right)\) và \(BD \subset \left( {SBD} \right).\)

Suy ra \(O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).\)

Mặt khác \[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).\]

Do đó \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Theo tính chất hai đường thẳng song song ta có: Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Xét phương án A sai: Nếu điểm nằm trên đường thẳng thì không tồn tại đường thẳng qua điểm đó và song song với đường thẳng đã cho.

Xét phương án C và D sai: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.

Đáp án đúng là: B

Xét \(\Delta ABC\) có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow MN{\rm{//}}BC\) (định lý Thalès đảo).

Xét \(\Delta BCD\) có: \(I,\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(BD,\,\,CD\) nên \(IJ\) là đường trung bình của \(\Delta BCD.\)

\( \Rightarrow IJ{\rm{//}}BC.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN{\rm{//}}BC\\IJ{\rm{//}}BC\end{array} \right. \Rightarrow IJ{\rm{//}}MN.\)

Đáp án đúng là: A

Vì đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right).\)

Đáp án đúng là: A

Xét \(\Delta BCD\) có: \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,CD.\)

Suy ra \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta BCD.\)

\( \Rightarrow BD{\rm{//}}MN.\)

Mặt khác: \(MN \subset \left( {AMN} \right),\,\,BD \not\subset \left( {AMN} \right).\)

\( \Rightarrow BD{\rm{//}}\left( {AMN} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: B

Theo tính chất của hai mặt phẳng song song: “Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau”. Từ đó ta có \(a\) và \(b\) song song.

Đáp án đúng là: A

Xét \(\Delta SAD\) có: \(M,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,SD.\)

Suy ra \(MP\) là đường trung bình của \(\Delta SAD.\)

\( \Rightarrow MP{\rm{//}}AD.\)

Tương tự: \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SAB.\)

\( \Rightarrow MN{\rm{//}}AB.\)

Ta có: \(MP{\rm{//}}AD\) và \(AD \subset \left( {ABCD} \right);\,\,MP \not\subset \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow MP{\rm{//}}\left( {ABCD} \right);\)

\(MN{\rm{//}}AB\) và \(AB \subset \left( {ABCD} \right);\,\,MN \not\subset \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\)

Hơn nữa \(MN \cap MP = M\) trong \(\left( {MNP} \right).\)

Suy ra \(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Hình hộp có 4 đường chéo.

Đáp án đúng là: C

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên \(BB'{\rm{//}}DD'\) và \(BB' = DD'.\)

\( \Rightarrow BB'D'D\) là hình bình hành nên \(B'D'{\rm{//}}BD.\)

Mà \(BD \subset \left( {BDC'} \right)\) và \(B'D' \not\subset \left( {BDC'} \right).\)

\( \Rightarrow B'D'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right).\)

Tương tự ta cũng có \(AD'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right).\)

Ta có: \(B'D'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right);\,\,AD'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right)\) và \(B'D' \cap AD' = D'\) trong \(\left( {AB'D'} \right).\)

\( \Rightarrow \left( {AB'D'} \right){\rm{//}}\left( {BDC'} \right).\)

Đáp án đúng là: D

Theo tính chất của phép chiếu song song ta có: phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Đáp án đúng là: A

Do \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{2}\)

Ta có \(M'\) là hình chiếu của \(M\) theo phép chiếu song song biến \(\Delta ABC\) thành \(\Delta A'B'C'.\)

Mà phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng nên ta có \(\frac{{B'M'}}{{B'C'}} = \frac{1}{2}\) hay \(M'\) là trung điểm của cạnh \(B'C'.\)

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n - 1}}{{2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{3}{n}}} = \frac{3}{2}\).

b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} - 2}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 4} - 2} \right).\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}}{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 4 - 4}}{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}}\]

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} + 2}} = \frac{0}{{\sqrt {0 + 4} + 2}} = 0.\)

a) Ta có: \(I \in SC\) mà \(SC \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {SCD} \right).\)

Mà \(I \in \left( {ABI} \right).\)

Hơn nữa: \(AB{\rm{//}}CD;\) \(AB \subset \left( {ABI} \right)\) và \(CD \subset \left( {SCD} \right).\)

\( \Rightarrow d = \left( {ABI} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) sao cho \(d\) đi qua \(I\) và song song với \(AB,\,CD.\)

Trong \(\left( {SCD} \right)\) gọi \(K = d \cap SD.\)

Khi đó \(K \in d\) mà \[d \subset \left( {ABI} \right).\]

\( \Rightarrow K = SD \cap \left( {ABI} \right).\)

b) Ta có: \(CI = \frac{2}{3}SC \Rightarrow SI = \frac{1}{3}SC \Rightarrow \frac{{SI}}{{SC}} = \frac{1}{3};\)

\(BJ = \frac{2}{3}AB \Rightarrow AJ = \frac{1}{3}AB \Rightarrow \frac{{AJ}}{{AB}} = \frac{1}{3}.\)

\( \Rightarrow \frac{{SI}}{{SC}} = \frac{{AJ}}{{AB}} = \frac{1}{3}.\)

Lại có: \(KI{\rm{//}}CD\) (do \(d{\rm{//}}CD\)) nên theo hệ quả định lí Thalés có:

\(\frac{{KI}}{{CD}} = \frac{{SI}}{{SC}} \Rightarrow \frac{{KI}}{{CD}} = \frac{{AJ}}{{AB}}.\)

Mặt khác \(CD = AB\) (do \(ABCD\) là hình bình hành).

\( \Rightarrow KI = AJ.\)

Mà \(KI{\rm{//}}AJ\) (do \(d{\rm{//AB}}\))

Suy ra \(AKIJ\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow IJ{\rm{//}}AK.\)

Hơn nữa: \(AK \subset \left( {SAD} \right)\) và \(IJ \not\subset \left( {SAD} \right).\)

Từ đó ta có \(IJ{\rm{//}}\left( {SAD} \right).\)

Gọi \({u_n}\) là quãng đường đi lên của người đó sau \(n\) lần kéo lên \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

Sau lần kéo lên đầu tiên quãng đường đi lên của người đó là:

\({u_1} = 100.80\% = 100.0,8 = 80\) (m).

Sau lần kéo lên thứ hai quãng đường đi lên của người đó là:

\({u_2} = 80.80\% = 80.0,8\) (m).

Sau lần kéo lên thứ ba quãng đường đi lên của người đó là:

\({u_3} = 80.0,8.80\% = 80.0,8.0,8 = 80.0,{8^2}\) (m).

Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 80\) và công bội \(q = 0,8.\)

Ta có công thức tổng quát \({u_n} = 80.{\left( {0,8} \right)^{n - 1}}\) (m).

Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên là:

\({S_{10}} = \frac{{80\left( {1 - 0,{8^{10}}} \right)}}{{1 - 0,8}} \approx 357,05\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)