Sau bài học này ta sẽ trả lời được:

Để tính tỉ số lượng giác của một góc tù ta sẽ sử dụng công thức lượng giác để chuyển tỉ số lượng giác của góc tù về tỉ số lượng giác của góc nhọn tương ứng. 

a)

Nếu $\alpha ={90}^0$ thì điểm M có tọa độ M(0;1).

Nếu $\alpha <{90}^0$ thì điểm M(x₀;y₀) nằm trên cung tròn $\stackrel{⏜}{AC}$ thỏa mãn 0 ≤ x₀ ≤ 1, 0 ≤ y₀ ≤ 1.

Nếu $\alpha <{90}^0$ thì điểm M(x₀;y₀) nằm trên cung tròn $\stackrel{⏜}{BC}$ thỏa mãn -1 ≤ x₀ ≤ 0, 0 ≤ y₀ ≤ 1.

b)

Khi $0^0<\alpha <{90}^0$ điểm M nằm ở vị trí như hình vẽ.

Kẻ $MH\perp Ox,MK\perp Oy$

Xét tam giác vuông MHO, có:

$\sin \alpha =\frac{MH}{OM}$ mà OM = 1 nên $\sin \alpha =MH$

Mà MH = |y₀| = y₀

$\Rightarrow \sin \alpha =y_0$

Ta lại có: $\cos \alpha =\frac{OH}{OM}$ mà OM = 1 nên $co\mathrm{s}\alpha =OH$

Mà OH = |x₀| = x₀

_{$\Rightarrow co\mathrm{s}\alpha =x_0$}

Vậy hoành độ của điểm M bằng giá trị $cos\alpha$ và tung độ của điểm M bằng giá trị $\sin \alpha$.

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}={120}^0$. Gọi H, K tương ứng là hình chiếu vuông của M lên các trục Ox, Oy.

Hai điểm M và M’ đối xứng với nhau qua trục Oy.

Ta có: $\widehat{xOM}=\alpha \Rightarrow \sin \alpha =y_0,co\mathrm{s}\alpha =x_0$

Ta lại có: $\widehat{xOM\text{'}}={180}^0-\alpha \Rightarrow \sin \left({180}^0-\alpha \right)=y_0,co\mathrm{s}\left({180}^0-\alpha \right)=-x_0$

Ta có:

$\widehat{xON}+\widehat{QON}={90}^0$

Mà $\widehat{xON}={90}^0-\alpha$

$\Rightarrow \widehat{QON}=\alpha$

$\Rightarrow \widehat{QON}=\widehat{POM}=\alpha$

Xét $\Delta MOP$ và $\Delta NOQ$, có:

$\widehat{MPO}=\widehat{NQO}={90}^0$

OM = ON = 1

$\widehat{POM}=\widehat{QON}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta MOP=\Delta NOQ$ (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ OP = OQ (hai cạnh tương ứng)

Ta có: OP = $\text{cos}\alpha$, OQ = $\text{sin}\left({90}^0-\alpha \right)$

$\Rightarrow \text{sin}\left({90}^0-\alpha \right)=cos\alpha$.

Ta quy hệ trục tọa độ như hình vẽ trên.

A là vị trí cabin thấp nhất. M là vị trí cabin sau 20 phút quay.

Ta có một vòng quay là một vòng tròn nên người đó đi được một vòng nghĩa là quay được một cung tròn lượng giác có số đo 360⁰.

Vì thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút nên mỗi phút người đó quay được một góc lượng giác là: 360:30 = 12⁰.

Sau 20 phút người đó quay được cung lượng giác với điểm đầu là điểm A và điểm cuối là điểm M có số đo 20.12 = 240⁰.

Từ M kẻ MH $\perp$Ox, MK $\perp$ Oy

Ta có hoành độ điểm M là: cos240⁰.OM = cos(180⁰ – (-60⁰)).75 = - cos(-60⁰).75 = -37,5

Sau 20 phút, người đó ở độ cao: 37,5 + 90 = 127,5 m.

Vậy sau 20 phút cabin của người đó ở độ cao 127,5m.

* Lý thuyết cần nắm và các công thức về giá trị lượng giác của góc:

Giá trị lượng giác của một góc

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Cho trước một góc α, 0° ≤ α ≤ 180°. Khi đó, có duy nhất điểm M(x₀; y₀) trên nửa đường tròn đơn vị để $\widehat{\mathrm{xOM}}=\mathrm{\alpha }$.

- Định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc từ 0^o đến 180^o

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho  $\widehat{\mathrm{xOM}}=\mathrm{\alpha }$. Khi đó:

+ sin của góc α là tung độ y₀ của điểm M, được kí hiệu là sin α;

+ côsin của góc α là hoành độ x₀ của điểm M, được kí hiệu là cos α;

+ Khi α ≠ 90° (hay x₀ ≠ 0), tang của α là $\frac{{\mathrm{y}}_0}{{\mathrm{x}}_0}$, được kí hiệu là tan α;

+ Khi α ≠ 0° và α ≠ 180° (hay y₀ ≠ 0), côtang của α là $\frac{{\mathrm{x}}_0}{{\mathrm{y}}_0}$, được kí hiệu là cot α.

- Từ định nghĩa trên ta có:

$\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}(\mathrm{\alpha }\ne 90°);$$\mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}(\mathrm{\alpha }\ne 0°\mathrm{và}\mathrm{\alpha }\ne 180°);$$\mathrm{tan\alpha }=\frac{1}{\mathrm{cot\alpha }}\text{ (}\mathrm{\alpha }\notin \text{{}0°;90°;180°\text{}})$

Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Với mọi góc α thoả mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:

sin(180° ‒ α) = sinα;

cos(180° ‒ α) = ‒cosα;

tan(180° ‒ α) = ‒tanα (α ≠ 90°);

cot(180° ‒ α) = ‒cotα (0° < α < 180°).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ – Toán 10 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 Bài 5 (Kết nối tri thức): Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ 

Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ có đáp án – Toán lớp 10

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Từ M kẻ MH $\perp$ Ox và MK $\perp$ Oy. Khi đó:

$\cos \alpha =OH,\sin \alpha =OK$

Xét tam giác OHK vuông tại O, ta có:

OH² + OK² = HK² (Py – ta – go)

Mà HK = OM = 1

⇒ OH² + OK² = 1

Hay ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ (đpcm).

b) Ta có: 

$1+{\tan }^2\alpha =1+{\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2=1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\text{cos}}^2\alpha }=\frac{{\text{cos}}^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\text{cos}}^2\alpha }=\frac{1}{{\text{cos}}^2\alpha }\left(\alpha \ne {90}^0\right);$

c) Ta có: 

*Phương pháp giải

Vẽ thêm điểm để sử dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông.

*Lý thuyết cần nắm và dạng toán về công thức lượng giác:

1. Công thức cộng lượng giác

2. Công thức nhân, hạ bậc lượng giác

* Công thức nhân đôi:

* Công thức hạ bậc:

* Công thức nhân ba:

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

4. Công thức biển đổi tổng thành tích

5. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác

a) Phương trình lượng giác cơ bản

b) Phương trình lượng giác đặc biệt

6. Bảng xét dấu của các giá trị lượng giác

7. Bảng giá trị lương giác của các góc đặc biệt

Các dạng bài tập lượng giác

Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của góc đặc biệt

a. Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giá của một góc.

- Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.

- Sử dụng các công thức lượng giác.

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi.

Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

* Cách 1: Dùng hệ thức lượng giác biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

* Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

* Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

Dạng 3: Thu gọn biểu thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

Chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho $cos\alpha \ne 0$ với $0^0<\alpha <{180}^0$ ta được:

$P=\frac{2.\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }-3}{3.\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }+2}=\frac{2\tan \alpha -3}{3\tan \alpha +2}=\frac{2.3-3}{3.3+2}=\frac{3}{11}.$

Vậy với $\alpha \left(0^0<\alpha <{180}^0\right)$ thỏa mãn $\tan \alpha =3$ thì $P=\frac{3}{11}$.