Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r)

Giải Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

Hoạt động 2 trang 45 SGK Toán lớp 12 Hình học: 

a) Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (α) biết rằng khoảng cách từ tâm O đến (α) bằng $\frac{r}{2}$.

b) Cho mặt cầu S(O; r), hai mặt phẳng (α) và (β) có khoảng cách đến tâm O của mặt cầu đã cho lần lượt là a và b (0 < a < b < r). Hãy so sánh hai bán kính của các đường tròn giao tuyến.

Lời giải:

a)

Đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (α) là đường tròn tâm H:

Xét tam giác OAH vuông tại H có OA = r; $OH=\frac{r}{2}$

$\Rightarrow HA=\sqrt{O{A}^2-\text{}O{H}^2}=\sqrt{r^2-\frac{r^2}{4}}=\frac{r\sqrt{3}}{2}$

Vậy đường tròn giao tuyến có bán kính $\frac{r\sqrt{3}}{2}$.

b)

Xét tam giác OHA vuông tại H ta có:

$HA\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\sqrt{O{A}^2-O{H}^2}=\sqrt{r^2-a^2}$

Xét tam giác OKB vuông tại K ta có:

$KB=\sqrt{O{B}^2-O{K}^2}=\sqrt{r^2-b^2}$

Mà 0 < a < b < r nên 0 < r² - b² < r² - a²

⇒ $\sqrt{r^2-b^2}<\sqrt{r^2-a^2}$  hay KB < HA.

Vậy đường tròn cắt bởi (β) có bán kính nhỏ hơn bán kính đường tròn cắt bởi (α).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 43 Toán lớp 12 Hình học: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước...

Hoạt động 3 trang 48 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a...

Hoạt động 4 trang 48 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước....

Bài 1 trang 49 Toán lớp 12 Hình học: Tìm tập hợp tất cả các điểm M...

Bài 2 trang 49 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đều bằng a...

Bài 3 trang 49 Toán lớp 12 Hình học: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn chứa một đường tròn cố định cho trước...

Bài 4 trang 49 Toán lớp 12 Hình học: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước...

Bài 5 trang 49 Toán lớp 12 Hình học: Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu (O; r)...

Bài 6 trang 49 Toán lớp 12 Hình học: Cho mặt cầu (O; r) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại I...

Bài 7 trang 49 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, AD = c....

Bài 8 trang 49 Toán lớp 12 Hình học: Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện...

Bài 9 trang 49 Toán lớp 12 Hình học: Cho một điểm A cố định và một đường thẳng a cố định không đi qua A...

Bài 10 trang 49 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu...