Giải bài tập trang 49, 50 Chuyên đề Toán 10 Bài 6 - Kết nối tri thức

Giải bài tập trang 49, 50 Chuyên đề Toán 10 Bài 6 - Kết nối tri thức

HĐ2 trang 49 Chuyên đề Toán 10:

Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol có hai tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0), độ dài trục thực bằng 2a.

a) Tính MF₁² – MF₂².

b) Giả sử M(x₀; y₀) thuộc nhánh chứa đỉnh A₂(a; 0), tức là, MF₁ – MF₂ = 2a. Tính MF₁ + MF₂, MF₁, MF₂.

c) Giả sử M(x₀; y₀) thuộc nhánh chứa đỉnh A₁(–a; 0), tức là, MF₂ – MF₁ = 2a. Tính MF₁ + MF₂, MF₁, MF₂.

Lời giải:

a) MF₁² – MF₂² = (x² + 2cx + c² + y²) – (x² – 2cx + c² + y²) = 4cx.

b) Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx $\Rightarrow$ (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $\Rightarrow$ (MF₁ + MF₂)2a = 4cx

$\Rightarrow$ MF₁ + MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$ = $\frac{2cx}{a}$x. Khi đó:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = $\frac{2c}{a}x$ + 2a $\Rightarrow$ 2MF₁ = $\frac{2c}{a}x$ + 2a

$\Rightarrow$ MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x $=\left|a+\frac{c}{a}x\right|.$

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = $\frac{2c}{a}x$ – 2a $\Rightarrow$ 2MF₂ = $\frac{2c}{a}x$ – 2a

$\Rightarrow$ MF₂ = $\frac{c}{a}$x – a $=\left|a-\frac{c}{a}x\right|.$

c) Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx $\Rightarrow$ (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $\Rightarrow$ (MF₁ + MF₂)(–2a) = 4cx

$\Rightarrow$ MF₁ + MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$ = –$\frac{2cx}{a}$x. Khi đó:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = –$\frac{2c}{a}x$ + (–2a) $\Rightarrow$ 2MF₁ = –$\frac{2c}{a}x$ – 2a

$\Rightarrow$ MF₁ =$-\left(\frac{c}{a}x+a\right)$ $=\left|a+\frac{c}{a}x\right|.$

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = –$\frac{2c}{a}x$ – (–2a) $\Rightarrow$ 2MF₂ = –$\frac{2c}{a}x$ + 2a

$\Rightarrow$ MF₂ =  a –$\frac{c}{a}$x $=\left|a-\frac{c}{a}x\right|.$

Luyện tập 2 trang 50 Chuyên đề Toán 10:

Cho hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 6$\sqrt{3}$ Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 9.

Lời giải:

Hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 6$\sqrt{3}\Rightarrow$ 2a = 6, 2b = 6

$\Rightarrow$ a = 3, b = 3$\sqrt{3}\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}$$=\sqrt{3^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}=6.$

Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF₁ $=\left|a+\frac{c}{a}x\right|$$=\left|3+\frac{6}{3}.9\right|=21.$

MF₂ $=\left|a-\frac{c}{a}x\right|$$=\left|3-\frac{6}{3}.9\right|=15.$

Luyện tập 3 trang 50 Chuyên đề Toán 10:

Cho hypebol $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$ với hai tiêu điểm F₁(–2; 0), F₂(2; 0). Điểm M nào thuộc hypebol mà có độ dài bán kính tiêu MF₂ nhỏ nhất? Tính khoảng cách từ điểm đó tới các tiêu điểm.

Lời giải:

Có a² = 1, b² = 3 $\Rightarrow a=1,b=\sqrt{3}$$\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=2.$

Gọi (x; y) là toạ độ của M.

Theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF₂ $=\left|a-\frac{c}{a}x\right|$$=\left|1-\frac{2}{1}.x\right|=\left|1-2x\right|.$

Nếu M thuộc nhánh bên trái thì x ≤ –a = –1. Khi đó 1 – 2x ≥ 1 – 2(–1) = 3.

Suy ra MF₂ = |1 – 2x| ≥ 3.

Nếu M thuộc nhánh bên phải thì x ≥ a = 1. Khi đó 1 – 2x ≤ 1 – 2.1 = –1.

Suy ra MF₂ = |1 – 2x| ≥ 1.

Vậy MF₂ nhỏ nhất bằng 1 khi x = 1.

Khi đó MF₁ $=\left|a+\frac{c}{a}x\right|=\left|1+\frac{2}{1}.1\right|=3.$

HĐ3 trang 50 Chuyên đề Toán 10:

Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với các tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0). Xét các đường thẳng ${\Delta }_1:x=-\frac{a^2}{c}$ và ${\Delta }_2:x=\frac{a^2}{c}$ (H.3.14). Với điểm M(x; y) thuộc hypebol, tính các tỉ số $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}$ và $\frac{M{F}_2}{d\left(M,{\Delta }_2\right)}$ theo a và c.

Lời giải:

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₁ ở dạng: $x+0y+\frac{a^2}{c}=0.$ Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d\left(M,{\Delta }_1\right)=\frac{\left|x+0y+\frac{a^2}{c}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}$$=\left|x+\frac{a^2}{c}\right|.$

suy ra $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}=\frac{\left|a+\frac{c}{a}x\right|}{\left|x+\frac{a^2}{c}\right|}$$=\frac{\left|\frac{a^2+cx}{a}\right|}{\left|\frac{xc+a^2}{c}\right|}=\left|\frac{c}{a}\right|=\frac{c}{a}.$

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₂ ở dạng: $x+0y-\frac{a^2}{c}=0.$ Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d\left(M,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|x+0y-\frac{a^2}{c}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}$$=\left|x-\frac{a^2}{c}\right|.$

suy ra $\frac{M{F}_2}{d\left(M,{\Delta }_2\right)}=\frac{\left|a-\frac{c}{a}x\right|}{\left|x-\frac{a^2}{c}\right|}$$=\frac{\left|\frac{a^2-cx}{a}\right|}{\left|\frac{xc-a^2}{c}\right|}=\left|\frac{c}{a}\right|=\frac{c}{a}.$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải bài tập trang 47, 48 Chuyên đề Toán 10 Bài 6

Giải bài tập trang 52 Chuyên đề Toán 10 Bài 6