Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có: 1 + 2 + 3 +...+ n = [n(n + 1)]/2

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Luyện tập 1 trang 27 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có

$1+2+3+\mathrm{...}+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}.$ 

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 1 = 1².                                                              

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:                   

$1+2+3+\mathrm{...}+k=\frac{k\left(k+1\right)}{2}.$                                                       

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

$1+2+3+\mathrm{...}+k+\left(k+1\right)=$$\frac{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)+1\right]}{2}.$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

$1+2+3+\mathrm{...}+k+\left(k+1\right)$

$=\frac{k\left(k+1\right)}{2}+\frac{2\left(k+1\right)}{2}$$=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}$$=\frac{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)+1\right]}{2}.$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Hãy quan sát các đẳng thức sau: 1 = 1²...

HĐ2 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Xét đa thức p(n) = n² – n + 41...

Luyện tập 2 trang 28 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có đằng thức: aⁿ – bⁿ = (a – b)(a^{n – 1} + a^{n – 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1})...

Vận dụng trang 30 Chuyên đề Toán 10: Lãi suất gửi tiết kiệm trong ngân hàng thường được tính theo thể thức lãi kép theo định kì...

Bài 2.1 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1...

Bài 2.2 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Mỗi khẳng định sau là đủng hay sai? Nếu em nghĩ là nó đủng, hãy chứng minh nó...

Bài 2.3 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng n³ – n + 3 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 1...

Bài 2.4 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng n² – n + 41 là số lẻ với mọi số nguyên dương n...

Bài 2.5 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)ⁿ ≥ 1+ nx với mọi số tự nhiên n...

Bài 2.6 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Cho tổng S_n = $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}...$

Bài 2.7 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (n ≥ 4)...

Bài 2.8 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Ta sẽ “lập luận” bằng quy nạp toán học đề chỉ ra rằng: “Mọi con mèo đều có cùng màu”...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 4: Nhị thức newton

Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 5: Elip

Bài 6: Hypebol

Bài 7: Parabol