Chứng minh

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

Bài 64 trang 15 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Chứng minh:

$x+2\sqrt{2x-4}={\left(\sqrt{2}+\sqrt{x-2}\right)}^2$

với $x\ge 2$

b) Rút gọn biểu thức:

$\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}$

với $x\ge 2$

Lời giải:

a) Xét VP = ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{x-2}\right)}^2$

$={\left(\sqrt{2}\right)}^2+2.\sqrt{2}.\sqrt{x-2}+{\left(\sqrt{x-2}\right)}^2$

$\iff$VP = 2 $+2\sqrt{2}.\sqrt{x-2}+x-2$

$$\begin{gathered} \iff VP=\left(2-2\right)+x+2\sqrt{2\left(x-2\right)} \\ \iff VP=x+2\sqrt{2x-4}=VT \end{gathered}$$

  (điều phải chứng minh).

b) Theo câu a ta có:

$x+2\sqrt{2x-4}={\left(\sqrt{2}+\sqrt{x-2}\right)}^2$

Lại có: $x-2\sqrt{2x-4}$

$=x-2-2\sqrt{2}.\sqrt{x-2}+2$

$={\left(\sqrt{x-2}\right)}^2-2.\sqrt{x-2}.\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2$

$={\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{2}\right)}^2$

Ta có: $\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}$

$$\begin{gathered} =\sqrt{{\left(\sqrt{2}+\sqrt{x-2}\right)}^2}+\sqrt{{\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{2}\right)}^2} \\ =\left|\sqrt{2}+\sqrt{x-2}\right|+\left|\sqrt{x-2}-\sqrt{2}\right| \\ =\sqrt{2}+\sqrt{x-2}+\left|\sqrt{2}-\sqrt{x-2}\right| \end{gathered}$$

*) Nếu $\sqrt{2}-\sqrt{x-2}\ge 0$ thì

$$\begin{gathered} 0\le \sqrt{x-2}\le \sqrt{2} \\ \iff 0\le x-2\le 2\iff 2\le x\le 4 \end{gathered}$$

Với $2\le x\le 4$ thì

$\left|\sqrt{2}-\sqrt{x-2}\right|=\sqrt{2}-\sqrt{x-2}$

Ta có:

$\sqrt{2}+\sqrt{x-2}+\sqrt{2}-\sqrt{x-2}=2\sqrt{2}$

* Nếu $\sqrt{2}-\sqrt{x-2}<0$ thì

$$\begin{gathered} \sqrt{x-2}>\sqrt{2} \\ \iff x-2>2\iff x>4 \end{gathered}$$

Với x > 4 thì $\left|\sqrt{2}-\sqrt{x-2}\right|=\sqrt{x-2}-\sqrt{2}$

Ta có:

$$\begin{gathered} \sqrt{2}+\sqrt{x-2}-\sqrt{2}+\sqrt{x+2} \\ =2\sqrt{x-2} \end{gathered}$$

Vậy

$\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}$ = 2  

nếu $2\le x\le 4$

Và

$\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}$ = 2  

nếu x > 4

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 56 trang 14 SBT Toán 9 Tập 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn...

Bài 57 trang 14 SBT Toán 9 Tập 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn...

Bài 58 trang 14 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức...

Bài 59 trang 14 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức...

Bài 60 trang 15 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức...

Bài 61 trang 15 SBT Toán 9 Tập 1: Khai triển và rút gọn các biểu thức (với x và y không âm)...

Bài 62 trang 15 SBT Toán 9 Tập 1: Khai triển và rút gọn các biểu thức (với x và y không âm)...

Bài 63 trang 15 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh...

Bài 65 trang 15 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm x, biết...

Bài 66 trang 15 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm x, biết...

Bài 67 trang 15 SBT Toán 9 Tập 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm...

Bài 6.1 trang 16 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức $3\sqrt{x^{2}y}+x\sqrt{y}$...