Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng

Với giải Bài 6 trang 106 sgk Toán lớp 10 Đại số được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

1 406 lượt xem

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 10 Ôn tập chương 4

Video Giải Bài 6 trang 106 Toán lớp 10 Đại số

Bài 6 trang 106 Toán lớp 10 Đại số: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a + b}{c} + \frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} \geq 6$

Lời giải:

+) Vế trái bất đẳng thức có thể viết là:

$\frac{a + b}{c} + \frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b}$

$= (\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) + (\frac{b}{a} + \frac{c}{a}) + (\frac{c}{b} + \frac{a}{b})$

$= (\frac{a}{c} + \frac{c}{a}) + (\frac{b}{a} + \frac{a}{b}) + (\frac{c}{b} + \frac{b}{c})$

+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương

$\frac{a}{c}$ và $\frac{c}{a}$ ta có:

$\frac{a}{c} + \frac{c}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{c} \cdot \frac{c}{a}} = 2 \cdot \sqrt{1} = 2$

$\frac{b}{a}$ và $\frac{a}{b}$ ta có:

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}} = 2 \cdot \sqrt{1} = 2$

$\frac{c}{b} và \frac{b}{c} ta có: \frac{c}{b} + \frac{b}{c} \geq 2 \sqrt{\frac{c}{b} \cdot \frac{b}{c}} = 2 \cdot \sqrt{1} = 2$

+) Cộng vế với vế của bất đẳng thức, ta được:

$(\frac{a}{c} + \frac{c}{a}) + (\frac{b}{a} + \frac{a}{b}) + (\frac{c}{b} + \frac{b}{c}) \geq 2 + 2 + 2 = 6$ (điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra khi

$\{\begin{cases} \frac{a}{c} = \frac{c}{a} \\ \frac{b}{a} = \frac{a}{b} \\ \frac{c}{b} = \frac{b}{c} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} = c^{2} \\ b^{2} = a^{2} \\ c^{2} = b^{2} \end{cases}$