Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng

Giải Toán 10 Ôn tập chương 4

Video Giải Bài 10 trang 107 Toán lớp 10 Đại số

Bài 10 trang 107 Toán lớp 10 Đại số: Cho $a>0, b>0$. Chứng minh rằng

$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $\frac{\text{a}}{\sqrt{\text{b}}}$ và $\sqrt{b}$ ta có:

$\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\ge 2\cdot \sqrt{\frac{a}{\sqrt{b}}\cdot \sqrt{b}}=2\sqrt{a}$ (1)

Tương tự ta có:

$\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge 2\cdot \sqrt{\frac{b}{\sqrt{a}}\cdot \sqrt{a}}=2\cdot \sqrt{b}$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

$\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge 2\sqrt{a}+2\sqrt{b}$

$\iff \frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}$ (điều phải chứng minh)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b > 0.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 106 Toán 10 Đại số: Sử dụng dấu bất đẳng thức để viết...

Bài 2 trang 106 Toán 10 Đại số: Có thể rút ra kết luận gì về dấu của hai...

Bài 3 trang 106 Toán 10 Đại số: Trong các suy luận sau, suy luận...

Bài 4 trang 106 Toán 10 Đại số: Khi cân một vật với độ chính xác đến...

Bài 5 trang 106 Toán 10 Đại số: Trên cùng một mặt phẳng toạ độ...

Bài 6 trang 106 Toán 10 Đại số: Cho a, b, c là các số dương...

Bài 7 trang 107 Toán 10 Đại số: Điều kiện của một bất phương trình...

Bài 8 trang 107 Toán 10 Đại số: Nêu quy tắc biểu diễn hình học...

Bài 9 trang 107 Toán 10 Đại số: Phát biểu định lí về dấu của tam...

Bài 11 trang 107 Toán 10 Đại số: a) Bằng cách sử dụng hằng đẳng...

Bài 12 trang 107 Toán 10 Đại số: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của...

Bài 13 trang 107 Toán 10 Đại số: Biểu diễn hình học tập nghiệm...

Bài 14 trang 107 Toán 10 Đại số: Số –2 thuộc tập nghiệm của...

Bài 15 trang 108 Toán 10 Đại số: Bất phương trình $(x+1)\sqrt{x}\le 0$ tương...

Bài 16 trang 108 Toán 10 Đại số: Bất phương trình mx² + (2m – 1)x + m + 1...

Bài 17 trang 108 Toán 10 Đại số: Hệ bất phương trình sau vô nghiệm...