Câu hỏi:
22/07/2024 362
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(–1; –2), B(3; 2), C(4; –1). Biết rằng điểm E(a; b) di động trên đường thẳng AB sao cho \(\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a.b bằng:
A. \( - \frac{3}{{16}}\);
B. 0;
C. \(\frac{5}{{16}}\);
D. \(\frac{{17}}{{256}}\).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;4} \right),\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {a + 1;b + 2} \right)\).
Vì E di động trên đường thẳng AB nên ba điểm A, E, B thẳng hàng.
Tức là, \(\overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AB} \)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 4k\\b + 2 = 4k\end{array} \right.\)
Do đó a + 1 = b + 2
Vì vậy a = b + 1.
Khi đó tọa độ E(b + 1; b).
Ta có:
⦁ \(\overrightarrow {EA} = \left( { - 2 - b; - 2 - b} \right)\).
Suy ra \(2\overrightarrow {EA} = \left( {2\left( { - 2 - b} \right);2\left( { - 2 - b} \right)} \right) = \left( { - 4 - 2b; - 4 - 2b} \right)\);
⦁ \(\overrightarrow {EB} = \left( {2 - b;2 - b} \right)\).
Suy ra \(3\overrightarrow {EB} = \left( {3\left( {2 - b} \right);3\left( {2 - b} \right)} \right) = \left( {6 - 3b;6 - 3b} \right)\);
⦁ \(\overrightarrow {EC} = \left( {3 - b; - 1 - b} \right)\).
Suy ra,
\(2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} = \left( { - 4 - 2b + 6 - 3b - 3 + b; - 4 - 2b + 6 - 3b + 1 + b} \right) = \left( { - 4b - 1; - 4b + 3} \right)\).
Khi đó \(\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4b - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4b + 3} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {16{b^2} + 8b + 1 + 16{b^2} - 24b + 9} = \sqrt {2\left( {16{b^2} - 8b + 1} \right) + 8} \)
\( = \sqrt {2{{\left( {4b - 1} \right)}^2} + 8} \).
Ta có (4b – 1)2 ≥ 0, ∀b ∈ ℝ.
Suy ra 2(4b – 1)2 ≥ 0, ∀b ∈ ℝ.
Khi đó 2(4b – 1)2 + 8 ≥ 8, ∀b ∈ ℝ.
Vì vậy \(\sqrt {2{{\left( {4b - 1} \right)}^2} + 8} \ge \sqrt 8 = 2\sqrt 2 ,\,\,\forall b \in \mathbb{R}\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(4b - 1 = 0 \Leftrightarrow b = \frac{1}{4}\).
Vậy \(\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(b = \frac{1}{4}\).
Với \(b = \frac{1}{4}\), ta có \(a = b + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}\).
Vậy \(ab = \frac{5}{4}.\frac{1}{4} = \frac{5}{{16}}\).
Do đó ta chọn phương án C.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;4} \right),\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {a + 1;b + 2} \right)\).
Vì E di động trên đường thẳng AB nên ba điểm A, E, B thẳng hàng.
Tức là, \(\overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AB} \)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 4k\\b + 2 = 4k\end{array} \right.\)
Do đó a + 1 = b + 2
Vì vậy a = b + 1.
Khi đó tọa độ E(b + 1; b).
Ta có:
⦁ \(\overrightarrow {EA} = \left( { - 2 - b; - 2 - b} \right)\).
Suy ra \(2\overrightarrow {EA} = \left( {2\left( { - 2 - b} \right);2\left( { - 2 - b} \right)} \right) = \left( { - 4 - 2b; - 4 - 2b} \right)\);
⦁ \(\overrightarrow {EB} = \left( {2 - b;2 - b} \right)\).
Suy ra \(3\overrightarrow {EB} = \left( {3\left( {2 - b} \right);3\left( {2 - b} \right)} \right) = \left( {6 - 3b;6 - 3b} \right)\);
⦁ \(\overrightarrow {EC} = \left( {3 - b; - 1 - b} \right)\).
Suy ra,
\(2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} = \left( { - 4 - 2b + 6 - 3b - 3 + b; - 4 - 2b + 6 - 3b + 1 + b} \right) = \left( { - 4b - 1; - 4b + 3} \right)\).
Khi đó \(\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4b - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4b + 3} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {16{b^2} + 8b + 1 + 16{b^2} - 24b + 9} = \sqrt {2\left( {16{b^2} - 8b + 1} \right) + 8} \)
\( = \sqrt {2{{\left( {4b - 1} \right)}^2} + 8} \).
Ta có (4b – 1)2 ≥ 0, ∀b ∈ ℝ.
Suy ra 2(4b – 1)2 ≥ 0, ∀b ∈ ℝ.
Khi đó 2(4b – 1)2 + 8 ≥ 8, ∀b ∈ ℝ.
Vì vậy \(\sqrt {2{{\left( {4b - 1} \right)}^2} + 8} \ge \sqrt 8 = 2\sqrt 2 ,\,\,\forall b \in \mathbb{R}\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(4b - 1 = 0 \Leftrightarrow b = \frac{1}{4}\).
Vậy \(\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(b = \frac{1}{4}\).
Với \(b = \frac{1}{4}\), ta có \(a = b + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}\).
Vậy \(ab = \frac{5}{4}.\frac{1}{4} = \frac{5}{{16}}\).
Do đó ta chọn phương án C.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(3; 3), B(–1; –9), C(5; –1). Gọi I là trung điểm của AB. Tọa độ M thỏa mãn \(\overrightarrow {AM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {CI} \) là:
Câu 2:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm \(G\left( {\frac{2}{3};0} \right)\), biết M(1; –1) là trung điểm của cạnh BC. Tọa độ đỉnh A là:
Câu 3:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 4), B(2; 1), C(–1; –2). Cho M(x; y) trên đoạn thẳng BC sao cho SABC = 4SABM. Khi đó x2 – y2 bằng:
Câu 4:
Cho hai lực F1, F2. Biết \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) có cùng cường độ lực là 100 N, góc hợp bởi \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) là 120°. Khi đó cường độ lực tổng hợp của \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) bằng:
