Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(9;6;2) và B(-3;4;6). Biết điểm M(a;b;0) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|$ nhỏ nhất. Tính a + b

Đáp án đúng: C

*Lời giải

Gọi I là trung điểm AB => I(3;5;4)

Khi đó $T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right|=2.MI\ge 2.HI$, với H(3;5;0) là hình chiếu của I lên mặt phẳng (Oxy)

Dấu “ = ” xảy ra khi $M\equiv H\left(3;5;0\right)\Rightarrow a+b=8$

*Phương pháp giải

 

- Áp dụng tính chất cộng hai vectơ:

+ Tổng và hiệu của hai vectơ:

$\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=(a_1\pm b_1;a_2\pm b_2;a_3\pm b_3)$

* Lý thuyết cần nắm và dạng toán về vectơ trong không gian:

 

Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Oxz) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Chú ý: ${\overrightarrow{i}}^2={\overrightarrow{j}}^2={\overrightarrow{k}}^2=1$

và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{j}=0$

Tọa độ của vectơ

a) Định nghĩa:

$\overrightarrow{u}=\left(x;y;z\right)\iff \overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$

b) Tính chất:

Cho $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3),\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3),k\in R$ ta có:

+ Tổng và hiệu của hai vectơ:

$\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=(a_1\pm b_1;a_2\pm b_2;a_3\pm b_3)$

+ Tích của vectơ với một số:

$k\overrightarrow{a}=(k{a}_1;k{a}_2;k{a}_3)$ $\left(k\in R\right)$

+ Hai vectơ bằng nhau:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\iff \{\begin{array}{c}{a}_1=b_1\\ a_2=b_2\\ a_3=b_3\end{array}$

+ Chú ý:

$\overrightarrow{0}=(0;0;0),\overrightarrow{i}=(1;0;0),\overrightarrow{j}=(0;1;0),\overrightarrow{k}=(0;0;1)$

 

 

+ $\overrightarrow{a}$ cùng phương $\overrightarrow{b}(\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0})\text{⇔}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}(k\in R)$

Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa: M(x; y; z) $\iff \overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}$ (x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ).

Chú ý:

$M\in \left(Oxy\right)\iff z=0;M\in \left(Oyz\right)\iff x=0;M\in \left(Oxz\right)\iff y=0$

$M\in Ox\iff y=z=0;M\in Oy\iff x=z=0;M\in Oz\iff x=y=0$

b) Tính chất: Cho $A(x_A;y_A;z_A),B(x_B;y_B;z_B)$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài toán về tọa độ điểm, tọa độ vectơ (có đáp án 2024) – Toán 12 

Toán 12 Bài 6 giải vở bài tập (Kết nối tri thức): Vectơ trong không gian