Một cồng có dạng một đường parabol (P). Biết chiều cao của cổng là 7,6 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là 9 m. Người ta muốn treo một ngôi sao tại tiêu điểm F của (P) bằng một đoạn dây nối từ đỉnh S của cổng. Tính khoảng cách từ tâm ngôi sao đến đỉnh cổng.

Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a) (P₁): $y^2$= 7x;

b) $\left(P_2\right):y^2=\frac{1}{3}x$;

c) $\left(P_3\right):y^2=\sqrt{2}x$.

Cho parabol (P). Trên (P) lấy hai điểm M, N sao cho đoạn thẳng MN đi qua tiêu điềm F của (P). Chứng minh rằng khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng MN đến đường chuẩn Δ của (P) bằng 1/2 MN và đường tròn đường kính MN tiếp xúc với Δ.

Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol (P).

b) Tính khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P).

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1/4; 0) và đường thẳng d: x+1/4. Viết phương trình của đường (P) là tập hợp tâm M(x; y) của các đường tròn (C) di động nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d.

Tìm toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, phương trình đường chuẩn và trục đối xứng của các parabol sau:

a) (P₁): $y^2$= 2x;

b) (P₂): $y^2$= x;

c) $\left(P_3\right):y^2=\frac{1}{5}x$.

Mặt cắt của một chảo ăng-ten có dạng một parabol (P) có phương trình chính tắc $y^2$= 0,25x. Biết đầu thu tín hiệu của chảo ăng-ten đặt tại tiêu điểm F của (P). Tính khoảng cách từ điểm M(0,25; 0,25) trên ăng-ten đến F.

Chứng tỏ rằng nếu điểm M(x₀; y₀) nằm trên parabol (P) thì điểm M'(x₀; –y₀) cũng nằm trên parabol (P).

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d: x + 2 = 0. Viết phương trình của đường (L) là tập hợp các tâm J(x; y) của các đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d.

Cho điểm M(x; y) trên parabol (P): y2 = 2px (Hình 2). Tính khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm F của (P).

Hãy so sánh bán kính qua tiêu của điểm M trên parabol (P) với bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P).

Tính bán kính qua tiêu của điểm đã cho trên các parabol sau:

a) Điểm M₁(3; –6) trên (P₁): $y^2$= 12x;

b) Điểm M₂(6; 1) trên $\left(P_2\right):y^2=\frac{1}{6}x$;

c) Điểm $M_3(\sqrt{3};\sqrt{3})$ trên $\left(P_3\right):y^2=\sqrt{3}x$.

Mặt cắt của gương phản chiếu của một đèn pha có dạng một parabol (P) có phương trình chính tắc $y^2$= 6x. Tính khoảng cách từ điểm $M(1;\sqrt{6})$ trên gương đến tiêu điểm của (P) (với đơn vị trên hệ trục toạ độ là xentimét).

Tính bán kính qua tiêu của điểm dưới đây trên parabol tương ứng:

a) Điểm M₁(1; –4) trên (P₁): $y^2$ = 16x;

b) Điểm M₂(3; –3) trên (P₂): $y^2$= 3x;

c) Điểm M₃(4; 1) trên $\left(P_3\right)$: $y^2=\frac{1}{4}x$.