Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC. Tính $\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}\right|$.

Đáp án đúng là: D.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}$

Dựng hình bình hành CAEH.

Do tam giác ABC đều nên AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao.

Do đó, AH vuông góc với BC $\Rightarrow \widehat{AHB}=90°$.

Mà AE // CH (do CAEH là hình bình hành)

Do đó, AH vuông góc với AE $\Rightarrow \widehat{HAE}=90°$.

Vậy AEBH là hình chữ nhật.

Ta có: CH = BH = $\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$ .

Xét tam giác CHA vuông tại H

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

AC² = AH² + CH²  ⇔ AH² = AC² – CH²   = $a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}$ ⇒ $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

⇒ $EB=AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (do AEBH là hình chữ nhật)

Xét tam giác CBE vuông tại B

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

CE² = BC² + BE² = $a^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{7}{4}{a}^2$ ⇒ $CE=\frac{a\sqrt{7}}{2}$.

Theo quy tắc hình bình hành:  $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CE}$.

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}\right|=\left|\overrightarrow{CE}\right|=CE=\frac{a\sqrt{7}}{2}$.

*Phương pháp giải:

Tìm hiệu 2 vecto đã cho từ đó tính độ dài và kết luận

*Lý thuyết

 Hiệu của hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là vectơ \$\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)$ và kí hiệu là $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Xem thêm

Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ – Toán 10 Chân trời sáng tạo

Trắc nghiệm Tổng và hiệu của hai vectơ có đáp án (Thông hiểu) 

•