Cho hàm số \(f(x) = \frac{4}{{x + 1}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số y = x có tập xác định D = ℝ\{–1}.

+) Cho x₁, x₂ tùy ý thuộc (–∞; –1) sao cho x₁ > x₂ ta có:

\(f({x_1}) - f({x_2}) = \frac{4}{{{x_1} + 1}} - \frac{4}{{{x_2} + 1}}\)

\( = \frac{{4({x_2} + 1) - 4({x_1} + 1)}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}\)

\( = \frac{{4{x_2} - 4{x_1}}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}\)

\( = \frac{{4({x_2} - {x_1})}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}\)

Ta có: Khi x₁, x₂ tùy ý thuộc (–∞; –1) thì x₁ + 1 < 0, x₂ + 1 < 0

Mà x₁ > x₂ nên x₂ – x₁  < 0

Do đó, f(x_1­) – f(x₂) < 0 hay f(x_1­) < f(x₂).

Vậy hàm số \(f(x) = \frac{4}{{x + 1}}\) nghịch biến trên khoảng (–∞; –1).

+) Cho x₁, x₂ tùy ý thuộc (–1; +∞) sao cho x₁ > x₂ ta có:

\(f({x_1}) - f({x_2}) = \frac{4}{{{x_1} + 1}} - \frac{4}{{{x_2} + 1}}\)

\( = \frac{{4({x_2} + 1) - 4({x_1} + 1)}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}\)

\( = \frac{{4{x_2} - 4{x_1}}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}\)

\( = \frac{{4({x_2} - {x_1})}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}\)

Ta có: Khi x₁, x₂ tùy ý thuộc (–1; +∞) thì x₁ + 1 > 0, x₂ + 1 > 0

Mà x₁ > x₂ nên x₂ – x₁  < 0

Do đó, f(x_1­) – f(x₂) < 0 hay f(x_1­) < f(x₂).

Vậy hàm số \(f(x) = \frac{4}{{x + 1}}\) nghịch biến trên khoảng (–1; +∞).