Các dạng bài toán Phương pháp đường tròn hỗn hợp trong dao động điều hòa (có đáp án 2024)

Các dạng bài toán Phương pháp đường tròn hỗn hợp trong dao động điều hòa

A. Phương pháp & Ví dụ

1. Phương pháp

Cùng một dao động: x = Acos(ωt + φ)

v = v_maxcos(ωt + φ + π/2 ), v_max = Aω.

a = a_maxcos(ωt + φ + π ), a_max = Aω².

F = F_maxcos(ωt + φ + π), F_max = m.a_max = mω²A.

Biểu diễn các đại lượng dao động điều hòa trên cùng một đường tròn có 2 cách là đa điểm hoặc đa trục. Tùy vào từng bài toán mà ta áp dụng đường tròn nào cho phù hợp.

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos(πt + π/3), với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Thời điểm vận tốc của chất điểm đạt giá trị -2π cm/s lần thứ 7 là

A. 6,5 s. B. 4,5 s. C. 2,5 s. D. 6,75 s.

Lời giải:

Xác định “thời điểm” ⇒ dùng đường tròn đa điểm với 1 trục x,v : A = 4cm, v_max = 4π cm/s.

Thời điểm ban đầu của ly độ là M_ox. Do vận tốc nhanh pha π/2 so với li độ Thời điểm ban đầu của vận tốc là M_ov, đứng trước M_ox góc π/2.

Vận tốc -2π cm/s tương ứng với M₁ và M₂ trên đường tròn.

N = 7 = 3.2 + 1 lần,

α = 3.2π + π/2 ⇒ t = 3T + T/4 = 6,5 s.

Ví dụ 2: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 2 cm và tần số bằng 2 Hz. Lấy gần đúng π² = 10. Thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 4π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng 1,6 m/s² là

A. 1/6 s. B. 1/12 s. C. 1/24 s. D. 1/18 s.

Lời giải:

Xác định “ khoảng thời gian” ⇒ dùng đường tròn đa trục.

f = 2 Hz ω = 4π rad/s, A = 2 cm, v_max = 8π cm/s, a_max = 32 m/s².

v = 4π cm/s tại M, a = 1,6 m/s² tại N.

Từ M đến N có thể đi theo các cung M₁N₁, M₁N₂, M₂N₁, M₂N₂.

Cung M₁N₁ thì Δφ_min = π/6

Δt_min = 1/24 s.

Ví dụ 3: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 2 cm và tần số bằng 0,5 Hz. Lấy gần đúng π² = 10. Trong một chu kì khoảng thời gian vật có vận tốc nhỏ hơn √2.π cm/s và gia tốc lớn hơn 10 cm/s² bằng

A. 7/24 s. B. 5/12 s.

C. 7/12 s. D. 5/24 s.

Lời giải:

f = 0,5 Hz ⇒ ω = π rad/s, A = 2 cm, v_max = 2π cm/s, a_max = 20 cm/s².

v = π√2 cm/s tại M ⇒ v < π√2 cm/s ứng với cung lớn M₁M₂ (không tô đậm).

a = 10 cm/s² tại N, a > 10 cm/s² ứng với cung nhỏ N₁N₂ (không tô đậm).

Cung N₂M₁ không tô đậm thỏa mãn cả 2 điều kiện của v và a :

Δφ = 7π/12 ⇒ Δt = 7/12 s.

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình x = 6cos(2πt) cm, với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Tính từ thời điểm ban đầu, t = 0, véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc của vật sẽ có chiều cùng chiều dương của trục Ox trong khoảng thời gian gần nhất là

A. 0,30 s < t < 0,50 s

B. 0,15 s < t < 0,25 s

C. 0,50 s < t < 0,75 s

D. 0,20 s < t < 0,40 s

Lời giải:

Véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc của vật sẽ có chiều cùng chiều dương của trục Ox khi vật chuyển động từ M₁ đến M₂

Gọi t₁ là thời gian để vật đi từ M₀ đến M₁ ⇒ t₁ = T/2 = 0,5 s

Gọi t₂ là thời gian để vật đi từ M₀ đến M₂ ⇒ t₂ = 3T/4 = 0,75 s

Vậy từ thời điểm ban đầu, t = 0, véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc của vật sẽ có chiều cùng chiều dương của trục Ox trong khoảng thời gian gần nhất là từ 0,5 s đến 0,75 s.

Câu 2. Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 4 cm và tần số bằng 2 Hz. Khoảng thời ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 8π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng 32π2√2 cm/s² là:

A. 1/12 s B. 1/48 s C. 11/24 s D. 11/48 s

Lời giải:

Ta có: ω = 4π rad/s

v_max = 4π.4 = 16π cm/s

a_max = (4π)².4 = 64 π² cm/s²

T biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 8π cm/s tại các điểm M₁ và M₂ các điểm có gia tốc 32π²√2 cm/s² tại các điểm N₁, N₂ trên đường tròn đa trục như hình vẽ

Khoảng thời ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 8π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng 32π²√2 cm/s² sẽ ứng với vật đi từ M₁ đến N₁ trên đường tròn

⇒ Δφ = π/4 - π/6 = π/12 ⇒ Δt = T/24 = 1/48 (s)

Câu 3. Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 2 cm và tần số bằng 2 Hz. Lấy gần đúng π² = 10. Thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 4π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng -3,2 m/s² là:

A. 1/6 s B. 1/12 s C. 1/24 s D. 1/3 s

Lời giải:

Ta có: ω = 4π rad/s

v_max = 4π.2 = 8π cm/s

a_max = (4π)².2 = 3,2 cm/s²

T biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 4π cm/s tại các điểm M₁ và M₂ trên đường tròn đa trục như hình vẽ.

Vật có gia tốc bằng -3,2 m/s² tại vị trí biên dương của li độ.

Để thời gian ngắn nhất thì vật đi từ vị trí điểm M₂ tới biên dương của li độ

⇒ Δφ = π/6 ⇒ Δt = T/12 = 1/24 (s)

Câu 4. Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 2 cm và tần số bằng 0,5 Hz. Lấy gần đúng π² = 10. Trong một chu kì khoảng thời gian vật có vận tốc nhỏ hơn π cm/s và gia tốc lớn hơn 10√3 cm/s² bằng:

A. 1/2 s B. 1/6 s C. 1/3 s D. 2/3 s

Lời giải:

Ta có f = 0,5 Hz ⇒ ω = π rad/s

⇒ v_max = 2π cm/s ⇒ a_max = π².2 = 20 cm/s²

Ta biểu diễn vị trí có vận tốc π cm/s tại các điểm M₁, M₂ và vị trí có gia tốc 10√3 cm/s² tại các điểm N₁, N₂ trên đường tròn lượng giác như hình

Từ đường tròn ⇒ Trong một chu kì khoảng thời gian vật có vận tốc nhỏ hơn π cm/s và gia tốc lớn hơn 10√3 cm/s² khi vật đi từ N₁ đến N₂ trên đường tròn.

⇒ Δφ = π/3 ⇒ Δt = T/6 = 1/3 (s)

Câu 5.: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 4 cm và tần số bằng 1 Hz. Lấy gần đúng π² = 10. Thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 4π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng 80 cm/s² là:

A. 1/6 s B. 1/12 s C. 1/3 s D. 1/9 s

Lời giải:

Ta có: ω = 2π rad/s

v_max = 2π.4 = 8π cm/s

a_max = (2π)².4 = 160 cm/s²

Ta biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 4π cm/s tại cái điểm M₁, M₂ và các điểm có giá tốc 80 cm/s² tại các điểm N₁, N₂ trên đường tròn đa trục như hình vẽ

Khoảng thời ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 4π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng 80 cm/s² sẽ ứng với vật đi từ M₁ đến N₁ trên đường tròn.

⇒ Δφ = π/3 - π/6 = π/6 ⇒ Δt = T/12 = 1/12 (s)

Câu 6. Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 3cos(2πt + π/6), với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Tính từ thời điểm ban đầu, t = 0, trong khoảng thời gian 3,5 s đầu tiên, chất điểm đạt được vận tốc bằng 3π√2 cm/s bao nhiêu lần ?

A. 5 B. 7 C. 4 D. 6

Lời giải:

Ta biểu diễn vị trí ban đầu của li độ tại điểm M_Ox trên đường tròn như hình vẽ

Do vận tốc sớm pha π/2 so với li độ nên pha ban đầu của vận tốc là tại điểm M_Ov

Ta biểu diễn vị trí chất điểm có vận tốc bằng 3π√2 cm/s tại các điểm M₁, M₂ trên đường tròn

Ta có T = 1 s ⇒ t = 3,5 s = 3T + T/2

Mỗi chu kì có 2 lần chất điểm có vận tốc bằng 3π√2 cm/s

sau 3 chu kì, chất diểm có 6 lần đạt vận tốc bằng 3π√2 cm/s

Sau 3T, chất điểm quay được 3 vòng trên đường tròn là trở về đúng vị trí M_Ov ban đầu.

Trong 0,5t tiếp theo, chất điểm quay đến vị trí M' trên đường tròn lượng giác ⇒ không đi qua vị trí có vận tốc bằng 3π√2 cm/s lần nào nữa.

Vậy từ thời điểm ban đầu, t = 0, trong khoảng thời gian 3,5 s đầu tiên, chất điểm đạt được vận tốc bằng 3π√2 cm/s 6 lần

Câu 7. Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 6 cm và tần số bằng 2 Hz. Trong khoảng thời gian vật có vận tốc nhỏ hơn 12π√3 cm/s và gia tốc lớn hơn 48π² cm/s², tốc độ trung bình của vật nhỏ bằng:

A. 36 cm/s B. 18 cm/s

C. 24 cm/s D. 32 cm/s

Lời giải:

Ta có: ω = 4π rad/s

v_max = 4π.6 = 24π cm/s

a_max = (4π)².6 = 96π² cm/s²

Ta biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 12π√3 cm/s tại các điểm M₁, M₂ và các điểm có gia tốc 48π² cm/s² tại các điểm N₁, N₂ trên đường tròn đa trục như hình vẽ

Vật có vận tốc nhỏ hơn 12π√3 cm/s và gia tốc lớn hơn 48π² cm/s² khi vật đi từ N₂ đến N₁ trên đường tròn

⇒ Δφ = π/3 + π/3 = 2π/3 ⇒ Δt = T/3 = 1/6 (s)

Mặt khác, s = 3 + 3 = 6 cm

⇒ |v_tb| = 6/(1/6) = 36 cm/s

Câu 8. Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos(πt + π/3), với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Thời điểm vận tốc của chất điểm đạt giá trị 2π cm/s lần thứ 5 là:

A. 29/6 s B. 29/12 s C. 9/6 s D. 9/2 s

Lời giải:

Ta có v_max = 4π cm/s

Ta biểu diễn vị trí pha ban đầu của li độ của chất điểm tại điểm M_Ox như hình vẽ

Do vận tốc sớm pha hơn li độ góc π/2 nên pha ban đầu của vận tốc ở vị trí m_Ov trên đường tròn lượng giác như hình vẽ.

Ta biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 2π cm/s tại các điểm M₁, M₂ trên đường tròn

Từ đường tròn dễ thấy, 1 chu kì có 2 lần chất điểm có vận tốc 2π cm/s

Ta tách 5 = 2.2 + 1

⇒ t = 2T + Δt

Sau 2 chu kì, điểm M_Ov quay được 2 vòng và trở về đúng vị trí ban đầu tại M_Ov.

Để chất điểm đạt vận tốc 2π cm/s lần thứ 5 thì vật cần quay đến vị trí M₁

⇒ Δφ = 5π/6 ⇒ Δt = 5T/12

⇒ t = 2T + 5T/12 = 29T/12 = 29/6 (s)

Câu 9. Cho hai chất điểm dao động cùng tần số trên trục Ox với phương trình x₁ = 4cos(πt + π/6) cm và x₂ = 2cos(πt + π/2) cm. Thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm chất điểm thứ nhất có ly độ bằng 2 cm đến thời điểm chất điểm thứ 2 có ly độ bằng √3 cm là:

A. 4/9 s B. 1/3 s C. 1/6 s D. 1/4 s

Lời giải:

Chất điểm 2 sớm pha hơn so với chất điểm 1 một góc π/3 nên ta vẽ đường tròn đa trục như hình vẽ.

Chất điểm thứ nhất có li độ bằng 2 cm khi nó ở vị trí M₁, M₂

Chất điểm thứ hai có li độ bằng √3 cm khi nó ở vị trí N₁, N₂

Khoảng thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm chất điểm thứ nhất có ly độ bằng 2 cm đến thời điểm chất điểm thứ 2 có ly độ bằng √3 cm sẽ ứng với chất điểm đi từ M₁ đến N₂ trên đường tròn

⇒ ∠M₁ON₂ = π/6 ⇒ t = T/12 = 1/6 (s)

Câu 10. Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 6cos(πt + π/4), với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Thời điểm vận tốc của chất điểm đạt giá trị 3√3π cm/s lần thứ 3 là:

A. 24/7 s B. 37/12 s C. 29/7 s D. 37/6 s

Lời giải:

Ta có: v_max = 6π cm/s

Ta biểu diễn vị trí pha ban đầu của li độ của chất điểm tại điểm M_Ox như hình vẽ

Do vận tốc sớm pha hơn li độ góc π/2 nên pha ban đầu của vận tốc ở vị trí M_Ov trên đường tròn lượng giác như hình vẽ.

Ta biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 3√3 cm/s tại các điểm M₁, M₂ trên đường tròn

Từ đường tròn dễ thấy, 1 chu kì có 2 lần chất điểm có vận tốc 3√3 cm/s

Ta tách 3 = 1.2 + 1

⇒ t = T + Δt

Sau 1 chu kì, điểm M_Ov quay được 1 vòng và trở về đúng vị trí ban đầu tại M_Ov .

Để chất điểm đạt vận tốc 3√3 cm/s lần thứ 3 thì vật cần quay đến vị trí M₁

⇒ t = T + 13T/24 = 37T/24 = 37/12 (s)

Xem thêm các dạng bài tập và công thức Vật lí lớp 12 hay, chi tiết khác:

Các dạng bài toán tìm thời gian ngắn nhất, lớn nhất vật đi qua li độ, vật có vận tốc, gia tốc

50 bài tập Hai vật dao động điều hòa cùng tần số khác biên độ

50 bài tập Hai vật dao động điều hòa khác tần số cùng biên độ

50 bài tập Hai vật dao động điều hòa cùng tần số hoặc khác tần số

50 bài tập tìm số lần vật đi qua vị trí có li độ x, có vận tốc v từ thời điểm t1 đến t2