Sách bài tập Toán 12 Bài 5 (Kết nối tri thức): Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Giải SBT Toán 12 Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn - Kết nối tri thức

Bài 1.41 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Bác Hưng có một hàng rào thép dài 240 m và muốn rào cánh đồng thành một thửa ruộng hình chữ nhật giáp một con sông thẳng. Bác không cần rào phía cạnh con sông. Hỏi thửa ruộng có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài hai cạnh của thửa ruộng hình chữ nhật. Giả sự cạnh giáp sông của thửa ruộng có độ dài là y (m).

Khi đó, theo đề bài ta có: 2x + y = 240 hay y = 240 – 2x.

Do đó: 0 < x < 120; y > 0.

Diện tích cửa thửa ruộng là

S = xy = x(240 – 2x) = 240x – 2x², 0 < x < 120.

Ta có: S' = 240 – 4x

S' = 0 ⇔ x = 60 (vì 0 < x < 120).

Khi đó y = 240 – 2.60 = 120.

Lập bảng biến thiên:

Vậy thửa ruộng có diện tích lớn nhất là:

S = 60. 120 = 7 200 (m²) (khi cạnh giáp sông và cạnh đối diện có độ dài 120 m, hai cạnh kia có độ dài 60 m).

Chú ý: Nếu phải rào cả bốn cạnh cửa thửa ruộng thì dễ thấy thửa ruộng có diện tích lớn nhất khi nó là hình vuông, tức là bốn cạnh đều dài 60 m, và khi đó diện tích lớn nhất là 3 600 m².

Bài 1.42 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Doanh số bán hệ thống âm thanh nổi mới trong một khoảng thời gian dự kiến sẽ tuân theo đường cong logistic R = R(x) = $\frac{5000}{1+5e^{-x}}$ , x ≥ 0, trong đó thời gian x được tính bằng năm. Hỏi tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm nào?

Lời giải:

Ta có: R'(x) = $\frac{5000}{1+5e^{-x}}$ , x ≥ 0.

R''(x) = $\frac{-25000e^{-x}{\left(1+5e^{-x}\right)}^2+25000e^{-x}.2\left(1+5e^{-x}\right).5e^{-x}}{{\left(1+5e^{-x}\right)}^4}$

R''(x) = 0 ⇔ x = ln5 ≈ 1,61.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy tốc độ bán hàng đạt tối đa vào thời điểm năm thứ hai.

Bài 1.43 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là 2 000 cm³. Các kích thước của chiếc hộp là bao nhiêu nếu muốn lượng vật liệu dùng để sản xuất chiếc hộp là nhỏ nhất?

Lời giải:

Gọi x (m) là cạnh đáy của chiếc hộp.

Khi đó, ta có chiều cao của chiếc hộp là $\frac{2000}{x^2}$ (cm).

Suy ra, tổng diện tích bề mặt của chiếc hộp là:

S = 2x² + 4x.$\frac{2000}{x^2}$ = 2x² + $\frac{8000}{x}$ , x > 0.

Ta có: S' = 4x –$\frac{8000}{x^2}$ = $\frac{4x^3-8000}{x^2}$

S' = 0 ⇔ x = 10$\sqrt[3]{2}$ .

Ta có bảng biến thiên:

Dễ thấy lượng vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất khi cạnh đáy của hộp là 10$\sqrt[3]{2}$ (cm) và chiều cao của hộp là $\frac{20}{\sqrt[3]{4}}$ cm.

Bài 1.44 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng 3 km, một thị trấn ở điểm A cách điểm P 12 km (xem hình vẽ). Nếu một người trên đảo chèo thuyền với vận tốc 2,5 km/h và đi bộ với vận tốc 4 km/h thì thuyền nên neo đậu ở vị trí nào để đoạn PA để người đó đến thị trấn trong thời gian ngắn nhất?

Lời giải:

Gọi khoảng cách từ thị trấn đến chỗ neo thuyền leo x (km), khi đó 0 ≤ x ≤ 12.

Từ đề bài, ta có khoảng cách từ hòn đảo đến nơi neo thuyền là: (12 – x)² + 9 (km).

Thời gian để người đó từ hòn đảo đến thị trấn là: T = $\frac{{\left(12-x\right)}^2+9}{2,5}+\frac{x}{4}$ (giờ).

Ta có: T' = $-\frac{2\left(12-x\right)}{2,5}+\frac{1}{4}$

T' = 0 ⇔ x = $\frac{187}{16}$ = 11,6875.

Mặt khác, ta có T(0) = 61,2; T(11,6875) ≈ 6,56; T(12) = 6,6.

Vậy người đó cần neo thuyền tại vị trí cách thị trấn 11,6875 km để thời gian đi lại là gần nhất.

Bài 1.45 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích V cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích về mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.

Lời giải:

Gọi bán kính đáy của thùng hình trụ là r. Suy ra, chiều cao của thùng hình trụ là $\frac{V}{\pi r^2}$ .

Diện tích bề mặt của thùng hình trụ là S = 2πr² + $\frac{2\pi rV}{\pi r^2}$ = 2πr² + $\frac{2V}{r}$ , r > 0.

Ta có: S' = 2πr² –$\frac{2V}{r^2}$ = $\frac{4\pi r^3-2V}{r^2}$

S' = 0 ⇔ r = $\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$ .

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên: S đạt giá trị nhỏ nhất khi r = $\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$ , khi đó chiều cao của hình trụ là 2.$\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$ = 2r.

Đây là điều cần chứng minh.

Bài 1.46 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Ở 0℃, sự mất nhiệt H (tính bằng Lcal/m²h, ở đây Kcal là kilocalories và 1 Kcal = 1 000 calo) từ cơ thể của một người có thể được mô hình hóa bằng công thức

H = $33\left(10\sqrt{v}-v+10,45\right)$

trong đó v là tốc độ gió (tính bằng m/s) (Theo sách Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009).

a) Xét tính đơn điệu của hàm số H và giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả nhận được.

b) Tìm tốc độ thay đổi khi H khi v = 2 m/s. giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả này.

Lời giải:

a) Khảo sát đơn điệu của hàm số H

Ta có: H = $33\left(10\sqrt{v}-v+10,45\right)$

H'(v) = 33$\left(\frac{5}{\sqrt{v}}-1\right)$ , v > 0

H'(v) = 0 ⇔ v = 25.

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Ta có thể thấy mức nhiệt mất từ cơ thể tăng khi tốc độ gió tăng. Tuy nhiên, nó đạt tối đa tại mức gió là 25 m/s, sau đó giảm dần khi tốc độ gió tiếp tục tăng.

b) Ta có: H'(2) = 33$\left(\frac{5}{\sqrt{2}}-1\right)$ ≈ 83,673.

Điều này có nghĩa là mức nhiệt của cơ thể mất tiếp khi vận tốc gió tăng từ 2 m/s lên 3 m/s là khoảng 83,673 (Kcal/m²h).

Bài 1.47 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Doanh thu R (USD) từ việc cho thuê x căn hộ có thể được mô hình hóa bằng hàm số

R = 2x(900 + 32x – x²).

a) Tìm hàm doanh thu biên.

b) Tìm doanh thu biên khi x = 14 và giải thích ý nghĩa thực tiễn của nó.

c) Tìm lượng doanh thu tăng thêm khi số căn hộ cho thuê tăng từ 14 lên 15.

Lời giải:

a) Hàm doanh thu biên là R' = 1800 + 128x – 6x².

b) Ta có doanh thu biên khi x = 14 là R'(14) = 2 416.

Điều này nghĩa là, doanh thu tăng lên cho thuê thêm một căn hộ nữa (tức là cho thuê căn hộ thứ 15) là khoảng 2 416 USD.

c) Ta có: R(14) = 32 256; R(15) = 34 650 suy ra R(15) – R(14) = 2 394.

Vậy số khi căn hộ thuê tăng từ 14 lên 15 thì doanh thu tăng thêm 2 394 USD, giá trị này xấp xỉ với mức đã ước tính ở câu b.

Bài 1.48 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Một công ty ước tính rằng chi phí C (USD) để sản xuất x đơn vị sản phẩm có thể được mô hình hóa bằng công thức

C = 800 + 0,04x + 0,0002x².

Tìm mức sản xuất sao cho chi phí trung bình $\overline{C}\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất.

Lời giải:

Ta có: $\overline{C}\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{800}{x}+0,04+0,0002x$

Suy ra, $\overline{C^{\text{'}}}\left(x\right)=-\frac{800}{x^2}+0,0002=\frac{0,0002x^2-800}{x^2}$

$\overline{C^{\text{'}}}\left(x\right)$ = 0 ⇔ x = 2 000 (do x > 0).

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên suy ta với mức sản xuất là 2 000 thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất.

Bài 1.49 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1:

a) Nếu C(x) (USD) là chi phí sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị là $\overline{C}\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ . Chứng minh rằng nếu chi phí trung bình là nhỏ nhất thì chi phí biên bằng chi phí trung bình.

b) Nếu C(x) = 16 000 + 200x + 4x^3/2, hãy tìm:

(i) Chi phí, chi phí trung bình và chi phí khi sản xuất 100 đơn vị hàng hóa;

(ii) Mức sản xuất mà khi đó sẽ giảm thiểu chi phí trung bình;

(iii) Chi phí trung bình nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Chi phí biên là: $\overline{C^{\text{'}}}\left(x\right)={\left(\frac{C\left(x\right)}{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{C^{\text{'}}\left(x\right).x-C\left(x\right)}{x^2}=0$

Suy ra $C^{\text{'}}\left(x\right).x-C\left(x\right)=0$ hay $C^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ , nói cách khác là chi phí biên bằng chi phí trung bình.

b) (i) Ta có hàm chi phí trung bình là $\overline{C}\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ = $\frac{16000}{x}+200+4x^{\frac{1}{2}}$ ; hàm chi phí biên là C'(x) = 200 + 6$x^{\frac{1}{2}}$ .

Suy ra C(100) = 40 000; ; C'(100) = 260.

Vậy chi phí, chi phí trung bình và chi phí biên ở mức sản xuất 100 đơn vị hàng hóa lần lượt là 40 000 USD, 400 USD, 260 USD.

(ii) Ta có: $\overline{C^{\text{'}}}\left(x\right)=-\frac{16000}{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}$

$\overline{C^{\text{'}}}\left(x\right)$= 0 ⇔ x = 400 (do x > 0).

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy mức sản xuất là 400 đơn vị hàng hóa sẽ giảm thiểu chi phí trung bình.

(iii) Từ bảng biến thiên ở phần b, chi phí trung bình nhỏ nhất là 320 USD.

Bài 1.50 trang 33 SBT Toán 12 Tập 1:

a) Chứng tỏ rằng nếu lợi nhuận P(x) là cực đại thì doanh thu biên bằng chi phí biên.

b) Cho C(x) = 16 000 + 500x – 1,6x² + 0,004x³ là hàm chi phí và p(x) = 1 700 – 7x là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất sẽ tối đa hóa lợi nhuận.

Lời giải:

a) Ta có lợi nhuận P(x) = R(x) – C(x) trong đó R(x) là doanh thu và C(x) là chi phí.

Khi lợi nhuận đạt cực đại tại x₀ thì P'(x₀) = R'(x₀) – C'(x₀) = 0 hay R'(x₀) = C'(x₀), nói cách khác là doanh thu biên bằng chi phí biên.

b) Ta có hàm lợi nhuận:

P(x) = x.p(x) – C(x) = 1 700x – 7x² – 16 000 – 500x + 1,6x² – 0,004x³

= −16 000 + 1200x – 5,4x² – 0,004x².

Suy ra, P'(x) = 1200 – 10,8x – 0,012x²

P'(x) = 0 ⇔x = 100 (do x ≥ 0).

Bảng biến thiên như sau:

Vậy mức sản xuất tối đa hóa lợi nhuận là 100 đơn vị hàng hóa.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 12 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 1

Bài 6: Vectơ trong không gian

Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài tập cuối chương 2