Giải sbt Toán 12 Bài 11 (Kết nối tri thức): Nguyên hàm

Với giải sách bài tập Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 12 Bài 11.

1 1,105 11/07/2026

Trang trước

Trang sau

Giải SBT Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm - Kết nối tri thức

Bài 4.1 trang 7 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm hàm số y = f(x), biết f'(x) = $3 \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ (x > 0) và f(1) = 1

Lời giải:

Ta có: f(x) = $\int f' (x) d x$

= $\int (3 \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}) d x$

= $\int 3 \sqrt{x} d x + \int \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

= 2x $\sqrt{x}$ + 3 $\sqrt[3]{x^{2}}$ + C.

Mà f(1) = 1 nên 2 + 3 + C = 1 hay C = −4.

Vậy f(x) = 2x $\sqrt{x}$ + 3 $\sqrt[3]{x^{2}}$ − 4.

Bài 4.2 trang 7 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}} d x$ ;

b) $\int \sqrt{x} (7 x^{2} + 6) d x$ .

Lời giải:

a) $\int \frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}} d x$ = $\int \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{4}} d x$

= $\int (\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}) d x$

= $\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{1}{x^{4}} d x$

= $- \frac{1}{x} + 4 . \frac{x^{- 2}}{- 2} + 4 . \frac{x^{- 3}}{- 3} + C$

= $- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{3}} + C$

b) $\int \sqrt{x} (7 x^{2} + 6) d x$ = $\int (7 x^{2} \sqrt{x} + 6 \sqrt{x}) d x$

= $\int 7 x^{2} \sqrt{x} d x + \int 6 \sqrt{x} d x$

= $7 \int x^{\frac{5}{2}} d x + 6 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

= $2 x^{\frac{7}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + C$

= $2 x^{3} \sqrt{x} + 4 x \sqrt{x} + C$

Bài 4.3 trang 7 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int (3 x + 4) \sqrt[3]{x} d x$ ;

b) $\int \frac{{(2 x + 3)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$ .

Lời giải:

a) $\int (3 x + 4) \sqrt[3]{x} d x$ = $\int (3 x \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x}) d x$

= $\int 3 x \sqrt[3]{x} d x + \int 4 \sqrt[3]{x} d x$

= $\int 3 x^{\frac{4}{3}} d x + \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

= $\frac{9}{7} x^{2} \sqrt[3]{x} + 3 x \sqrt[3]{x} + C$

= $(\frac{9}{7} x^{2} + 3 x) \sqrt[3]{x} + C$

b) $\int \frac{{(2 x + 3)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$ = $\int \frac{4 x^{2} + 12 x + 9}{\sqrt{x}} d x$

= $\int (4 x \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + \frac{9}{\sqrt{x}}) d x$

= $\int 4 x \sqrt{x} d x + \int 12 \sqrt{x} d x + \int \frac{9}{\sqrt{x}} d x$

= $4 \int x^{\frac{3}{2}} d x + 12 \int x^{\frac{1}{2}} d x + 9 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

= $\frac{8}{5} x^{2} \sqrt{x} + 8 x \sqrt{x} + 18 \sqrt{x} + C$

= $(\frac{8}{5} x^{2} + 8 x + 18) \sqrt{x} + C$

Bài 4.4 trang 7 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int (2 e^{x} + \frac{1}{3^{x}}) d x$ ;

b) $\int (x^{2} + 2^{x}) d x$ .

Lời giải:

a) $\int (2 e^{x} + \frac{1}{3^{x}}) d x$ = $\int 2 e^{x} d x + \int \frac{1}{3^{x}} d x$

= $\int 2 e^{x} d x + \int 3^{- x} d x$

= 2e^x − $\frac{1}{3^{x} . \ln 3}$ + C.

b) $\int (x^{2} + 2^{x}) d x$ = $\int x^{2} d x + \int 2^{x} d x$

= $\frac{x^{3}}{3} + \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$ .

Bài 4.5 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int {(2^{x} + 3^{x})}^{2} d x$ ;

b) $\int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$ .

Lời giải:

a) $\int {(2^{x} + 3^{x})}^{2} d x$ = $\int (2^{2 x} + {2.6}^{x} + 3^{2 x}) d x$

= $\int (4^{x} + {2.6}^{x} + 9^{x}) d x$

= $\int 4^{x} d x + \int {2.6}^{x} d x + \int 9^{x} d x$

= $\frac{4^{x}}{\ln 4} + \frac{{2.6}^{x}}{\ln 6} + \frac{9^{x}}{\ln 9} + C$

b) $\int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$ = $\int (e^{2 x} - 2 e^{x} . e^{- x} + e^{- 2 x}) d x$

= $\int e^{2 x} d x + \int e^{- 2 x} d x - \int 2 d x$

= $\frac{e^{2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} - 2 x + C$

Bài 4.6 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int (2 \cos x + \frac{3}{\sqrt{x}}) d x$ ;

b) $\int (3 \sqrt{x} - 4 \sin x) d x$ .

Lời giải:

a) $\int (2 \cos x + \frac{3}{\sqrt{x}}) d x$ = $\int 2 \cos x d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

= 2sinx + 6 $\sqrt{x}$ + C.

b) $\int (3 \sqrt{x} - 4 \sin x) d x$ = $\int 3 \sqrt{x} d x - \int 4 \sin x d x$

= $2 x \sqrt{x} + 4 \cos x + C .$

Bài 4.7 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int (x + \sin^{2} \frac{x}{2}) d x$

b) $\int {(2 \tan x + \cot x)}^{2} d x$

Lời giải:

a) $\int (x + \sin^{2} \frac{x}{2}) d x$ = $\int x d x + \int \sin^{2} \frac{x}{2} d x$

= $\int x d x + \int \frac{1 - \cos x}{2} d x$

= $\int x d x + \int \frac{1}{2} d x - \int \frac{\cos x}{2} d x$

= $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin x + C$ .

b) $\int {(2 \tan x + \cot x)}^{2} d x$ = $\int (4 \tan^{2} x + 4 \tan x \cot x + \cot^{2} x) d x$

= $\int (\frac{4}{\cos^{2} x} - 4 + 4 + \frac{1}{\sin^{2} x} - 1) d x$

= $\int \frac{4}{\cos^{2} x d x} + \int \frac{1}{\sin^{2} x} d x - \int 1 d x$

= 4tanx – cotx – x + C.

Bài 4.8 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi v(t) = 150 – 9,8t (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 3 giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).

Lời giải:

Độ cao h(t) của viên đạn tại điểm t là:

h(t) = $\int (150 - 9, 8 t) d t$ = 150t – 9,8 $\frac{t^{2}}{2}$ + C = 150t – 4,9t² + C.

Thay t = 0 ta được h(0) = C = 0.

Vậy h(t) = 150t – 4,9t² (m).

a) Sau t = 3 giây, độ cao của viên đạn là:

h = h(3) = 150.3 – 4,9.3² = 405,9 (m).

b) Ta có: h(t) = 150t – 4,9t² (m).

h'(t) = v(t) = 150 – 9,8t

h'(t) = 0 ⇔ t = $\frac{150}{9, 8}$ .

Ta có bảng xét dấu như sau:

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t

Khi đó, viên đạn đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm t_max = $\frac{150}{9, 8}$ .

Như vậy h_max = 150t_max – 4,9 $t_{\max}^{2}$ ≈ 1148,0 (m).

Bài 4.9 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Cho F(u) là một nguyên hàm của hàm số f(u) trên khoảng K và u(x), x ∈ J, là hàm số có đạo hàm liên tục, u(x) ∈ K với mọi x ∈ J. Tìm $\int f (u (x)) . u^{'} (x) d x$ .

Áp dụng: Tìm $\int {(2 x + 1)}^{5} d x$ và $\int \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} d x$ .

Lời giải:

Ta có: F'(u) = f(u), với mọi u ∈ K.

${[F (u (x))]}^{'}$ = $F^{'} (u (x))$ .u'(x) = $f (u (x)) . u^{'} (x)$ , với mọi x ∈ J.

Do đó, $\int f (u (x)) . u^{'} (x) d x$ = $F (u (x))$ + C.

Áp dụng:

$\int {(2 x + 1)}^{5} d x$ = $\int {(2 x + 1)}^{5} \frac{{(2 x + 1)}^{'}}{2} d x$

= $\frac{1}{2} \int {(2 x + 1)}^{5} {(2 x + 1)}^{'} d x$

= $\frac{1}{2} . \frac{{(2 x + 1)}^{6}}{6} + C$

= $\frac{{(2 x + 1)}^{6}}{12} + C$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} d x$ = $\int \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} . \frac{{(2 x + 1)}^{'}}{2} d x$

= $\int \frac{1}{2 \sqrt{2 x + 1}} . {(2 x + 1)}^{'} d x$

= $\sqrt{2 x + 1} + C .$

Bài 4.10 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \frac{2 x - 1}{x + 1} d x$ ;

b) $\int (3 + 2 \sin^{2} x) d x$ .

Lời giải:

a) $\int \frac{2 x - 1}{x + 1} d x$ = $\int [\frac{2 (x + 1) - 3}{x + 1}] d x$

= $\int 2 d x - \int \frac{3}{x + 1} d x$

= 2x – 3ln $|x + 1|$ + C.

b) $\int (3 + 2 \sin^{2} x) d x$ = $\int (3 + 2. \frac{1 - \cos 2 x}{2} d x)$

= $\int (3 + 1 - \cos 2 x) d x$

= $\int (4 - \cos 2 x) d x$

= 4x − $\int \cos 2 x . \frac{{(2 x)}^{'}}{2} d x$

= 4x − $\frac{\sin 2 x}{2}$ + C.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 12 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 12: Tích phân

Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Bài 14: Phương trình mặt phẳng

Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

Xem thêm lời tài liệu Toán lớp 12 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Nguyên hàm lớp 12

Giáo án điện tử Nguyên hàm lớp 12

Giáo án Nguyên hàm lớp 12

Giải sgk Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm

1 1,105 11/07/2026

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3