Giải sbt Toán 12 Bài 14 (Kết nối tri thức): Phương trình mặt phẳng

Giải SBT Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng - Kết nối tri thức

Bài 5.1 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; −3), B(2; 1; 0), C(3; 2; 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (1; 1; 3), $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}$ = (2; 2; 4).

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left[\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}\right]$ = $\left(\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 4& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right|\right)$

= (−2; 2; 0) = −2(1; −1; 0).

$\overrightarrow{\mathrm{n}}$ = (1; −1; 0) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

1(x – 1) – 1(y – 0) + 0(z + 3) = 0 hay x – y – 1 = 0.

Bài 5.2 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; −3; 0), C(0; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Ta có: A(2; 0; 0), B(0; −3; 0), C(0; 0; 1) nên phương trình mặt phẳng (ABC) viết theo phương trình mặt phẳng đoạn chắn là: $\frac{x}{2}+\frac{y}{-3}+\frac{z}{1}=1$.

Bài 5.3 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): x – 2y – 2z + 9 = 0 và điểm A(2; −1; 3).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α).

b) Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua A và song song với (α).

Lời giải:

a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) là:

$\mathrm{d}\left(\mathrm{A},\left(\mathrm{\alpha }\right)\right)=\frac{\left|2-2.(-1)-2.3+9\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}$ = $\frac{7}{3}$.

b) Phương trình mặt phẳng (β) đi qua A và song song với (α) có vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\beta }}}=\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$= (1; −2; −2).

Do đó, ta có phương trình mặt phẳng (β) là: 1(x – 2) – 2(y + 1) – 2(z – 3) = 0 hay x – 2y – 2z + 2 = 0.

Bài 5.4 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; 0), B(3; 1; 2) và mặt phẳng (α): x + 2y + 3z – 1 = 0.

a) Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa A, B và song song với (α).

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A, B và song song với trục Ox.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ = (1; 2; 3), $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (1; 2; 2).

Do đó, $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\beta }}}=\left[\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right|\right)$ = (−2; 1; 0).

Vậy phương trình mặt phẳng (β) là:

−2(x – 2) + 1(y + 1) + 0(z – 0) = 0

⇔ −2x + y + 5 = 0 hay 2x – y – 5 = 0.

b) Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (1; 2; 2), $\overrightarrow{\mathrm{i}}$ = (1; 0; 0) ($\overrightarrow{\mathrm{i}}$ là vectơ chỉ phương của Ox).

Do mặt phẳng (P) chứa A, B và (P) ∥ Ox nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là

$\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}=\left[\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{i}}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right|\right)$ = (0; 2; −2) = 2(0; 1; −1).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

0(x – 2) + 1(y + 1) – 1(z – 0) = 0 ⇔ y – z + 1 = 0.

Bài 5.5 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm H(3; 2; 4).

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm H và trục Oy.

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (với A, B, C đều không trùng khớp với gốc tọa độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}}$ = (3; 2; 4), $\overrightarrow{\mathrm{j}}$ = (0; 1; 0) ($\overrightarrow{\mathrm{j}}$ là vectơ chỉ phương của Oy).

Vì mặt phẳng (P) chứa điểm H và trục Oy nên

$\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}=\left[\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}},\overrightarrow{\mathrm{j}}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}4& 3\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 0& 1\end{array}\right|\right)$ = (−4; 0; 3).

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:

−4(x – 0) + 0(y – 0) +3(z – 0) = 0

⇔ −4x + 3z = 0.

b) Do H là trực tâm tam giác ABC nên OH ⊥ (ABC)

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}}$ = (3; 2; 4) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

3(x – 3) + 2(y – 2) + 4(z – 4) = 0

⇔ 3x + 2y + 4z – 29 = 0.

Bài 5.6 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, một máy phát sóng đặt tại vị trí A(1; 2; 1) và có bán kính phủ sóng là 2. Hỏi vùng phủ sóng trên mặt phẳng (Oxy) có bán kính bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy) là h = d(A, (Oxy) = 1.

Bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu tâm A, bán kính bằng R = 2 với mặt phẳng (Oxy) là r = $\sqrt{{\mathrm{R}}^2-1^2}=\sqrt{3}$.

Vậy bán kính vùng phủ sóng trên mặt phẳng (Oxy) bằng $\sqrt{3}$.

Bài 5.7 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng thuộc mặt phẳng (α): x + 2y + 2z – 1 = 0 và trần của căn phòng đó thuộc mặt phẳng (β): x + 2y + 2z – 3 = 0. Hỏi chiều cao của căn phòng đó có đủ để kê một chiếc tủ có chiều cao bằng 1 hay không?

Lời giải:

Ta có: phương trình mặt phẳng chứa mặt sàn căn phòng: x + 2y + 2z – 1 = 0.

Phương trình mặt phẳng chứa trần căn phòng là: x + 2y + 2z – 3 = 0.

Lấy điểm M(3; 0; 0) thuộc mặt phẳng trần căn phòng.

Khoảng cách giữa mặt sàn và trần căn phòng là: d = $\frac{\left|3-1\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$ = $\frac{2}{3}$ < 1 nên không thể kê được chiếc tủ có chiều cao bằng 1.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 12 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

Bài 17: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5

Bài 18: Xác suất có điều kiện

Xem thêm lời tài liệu Toán lớp 12 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng lớp 12

Giáo án điện tử Phương trình mặt phẳng lớp 12

Giáo án Phương trình mặt phẳng lớp 12

Giải sgk Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng