Sách bài tập Toán 12 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 5

Giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 5 - Kết nối tri thức

Bài 5.28 trang 35 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; −3) và nhận vectơ $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ = (2; 1; 1) làm vectơ pháp tuyến là

A. 2x + y + z – 1 = 0.

B. 2x + y + z + 1 = 0.

C. x – 3z + 1 = 0.

D. x + 3x + 1 = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x – 1) + 1(y – 0) + 1(z + 3) = 0

⇔ 2x + y + z + 1 = 0.

Bài 5.29 trang 35 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=3-2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-2+\mathrm{t}\end{array}\right.$là

A. $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_1}$ = (1; 3; −2).

B. $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_2}$ = (2; −2; 0).

C. $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_3}$ = (2; 2; 1).

D. $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_4}$ = (2; −2; 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Vectơ chỉ phương của phương trình đường thẳng trên là: $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_4}$ = (2; −2; 1).

Bài 5.30 trang 35 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 3y – z – 1 = 0 và điểm A(1; 2; −1). Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) là

A. $\frac{\mathrm{x}+2}{2}=\frac{\mathrm{y}+2}{3}=\frac{\mathrm{z}-1}{-1}$.

B. $\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}-2}{3}=\frac{\mathrm{z}+1}{-1}$.

C. $\frac{\mathrm{x}-1}{1}=\frac{\mathrm{y}-2}{2}=\frac{\mathrm{z}+1}{-1}$.

D. $\frac{\mathrm{x}+1}{1}=\frac{\mathrm{y}+2}{2}=\frac{\mathrm{z}-1}{-1}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) làm vectơ chỉ phương nên $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ = (2; 3; −1).

Do đó, phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}-2}{3}=\frac{\mathrm{z}+1}{-1}$.

Bài 5.31 trang 36 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, côsin của góc giữa hai đường thẳng: ∆: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-2+\mathrm{t}\end{array}\right.$ và ∆': $\frac{\mathrm{x}+2}{1}=\frac{\mathrm{y}+3}{2}=\frac{\mathrm{z}-1}{-5}$ bằng

A. $\frac{\sqrt{5}}{30}$.

B. $\frac{-\sqrt{5}}{30}$.

C. $\frac{3\sqrt{5}}{10}$.

D. $\frac{-3\sqrt{5}}{10}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}$ = (2; 1; 1), $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{}^{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}}$ = (1; 2; −5).

Do đó, cos(∆, ∆') = $\left|\cos \left(\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}.\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}\right|}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}\right|.\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}\right|}$

$=\frac{\left|2.1+1.2+1.\left(-5\right)\right|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}.\sqrt{1^2+2^2+{\left(-5\right)}^2}}$ = $\frac{\sqrt{5}}{30}$

Bài 5.32 trang 36 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, góc giữa đường thẳng ∆: $\frac{\mathrm{x}+3}{1}=\frac{\mathrm{y}+1}{\sqrt{2}}=\frac{\mathrm{z}+2}{1}$ và mặt phẳng (Oxz) bằng

A. 45°.

B. 30°.

C. 60°.

D. 90°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}$ = (1; $\sqrt{2}$; 1), $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{O}\mathrm{x}\mathrm{z}}}$ = (0; 1; 0).

⇒ sin(∆, (Oxz)) = $\left|\cos \left(\mathrm{\Delta },\left(\mathrm{O}\mathrm{x}\mathrm{z}\right)\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}.\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{O}\mathrm{x}\mathrm{z}}}\right|}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}\right|.\left|\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{O}\mathrm{x}\mathrm{z}}}\right|}$

$=\frac{\left|1.0+\sqrt{2}.1+1.0\right|}{\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+1^2}.\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$= $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

⇒ (∆, (Oxz)) = 45°.

Bài 5.33 trang 36 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; −1) và (S) đi qua A(−1; 1; 0) là

A. (x – 1)² + (y – 2)² + (z + 1)² = $\sqrt{6}$.

B. (x + 1)² + (y + 2)² + (z − 1)² = 6.

C. (x − 1)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 6.

D. (x + 1)² + (y – 1)² + z² = 6.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: R = IA = $\sqrt{{\left(1+1\right)}^2+{\left(2-1\right)}^2+{\left(-1-0\right)}^2}$ = $\sqrt{6}$.

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (x – 1)² + (y – 2)² + (z + 1)² = 6.

Bài 5.34 trang 36 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, phương trình x² + y² + z² – 2x + 4y + 1 = 0 là phương trình của mặt cầu có tâm I và bán kính R lần lượt là

A. I(−1; 2; 0); R = 2.

B. I(1; −2; 0); R = 2.

C. I(−1; 2; 0); R = 4.

D. I(1; −2; 0); R = 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: x² + y² + z² – 2x + 4y + 1 = 0

⇔ (x – 1)² + (y + 2)² + z² = 4.

Vậy mặt cầu có tâm I(1; −2; 0) và R = 2.

Bài 5.35 trang 36 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng ∆: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-2+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=3-\mathrm{t}\end{array}\right.$ và đi qua điểm A(2; −1; 1) là

A. $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_1}$ = (3; −1; 1).

B. $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_2}$ = (3; 1; −1).

C. $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_3}$ = (1; −1; 3).

D. $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_4}$ = (−1; 3; 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là: $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ = (1; 2; −1).

Đường thẳng ∆ đi qua B(1; −2; 3) nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa ∆ và đi qua A là: $\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left[\overrightarrow{\mathrm{u}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right]$ (với $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (−1; −1; 2)).

Suy ra $\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left[\overrightarrow{\mathrm{u}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right]$ = $\left(\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& -1\end{array}\right|\right)$ = (3; −1; 1).

Vậy $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ = (3; −1; 1).

Bài 5.36 trang 37 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(−2; 1; 0) đến mặt phẳng (P): 2x – 2y + z – 3 = 0 bằng

A. 2.

B. 6.

C. 3.

D. 9.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: d(A, (P)) = $\frac{\left|2.\left(-2\right)-2.1+0-3\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2+1^2}}$ = 3.

Bài 5.37 trang 37 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

∆: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-1+2\mathrm{t}\end{array}\right.$ và ∆': $\frac{\mathrm{x}-2}{2}=\frac{\mathrm{y}-1}{1}=\frac{\mathrm{z}+3}{-3}$.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng này là

A. chéo nhau.

B. cắt nhau.

C. song song.

D. trùng nhau.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2; −1) và nhận vectơ $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}$ = (−1; 1; 2) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆' đi qua B(2; 1; −3) và nhận vectơ $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}$ = (2; 1; −3) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\left[\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& -3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|\right)$

= (−5; 1; −3) ≠ $\overrightarrow{0}$.

$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (1; −1; −2).

Và $\left[\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}\right].\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = −5.1 + 1.(−1) + (−3).(−2) = 0 nên hai đường thẳng ∆, ∆' cắt nhau.

Bài 5.38 trang 37 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 3; −1), B(−1; 2; 0) và C(3; 1; 2).

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (−3; −1; 1), $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}$ = (1; −2; 3).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

$\overrightarrow{\mathrm{n}}$ = $\left[\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}\right]$ = $\left(\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ -2& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ 3& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-3& -1\\ 1& -2\end{array}\right|\right)$ = (−1; 10; 7).

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là:

−1(x – 2) + 10(y – 3) + 7(z + 1) = 0

⇔ −x + 10y + 7z – 21 = 0

⇔ x – 10y – 7z + 21 = 0.

b) Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (−3; −1; 1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Phương trình tham số của đường thẳng AB là: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=3-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-1+\mathrm{t}\end{array}\right.$.

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: $\frac{\mathrm{x}-2}{-3}=\frac{\mathrm{y}-3}{-1}=\frac{\mathrm{z}+1}{1}$.

Bài 5.39 trang 37 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

∆: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-1+\mathrm{t}\end{array}\right.$ và ∆': $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1+\mathrm{s}\\ \mathrm{y}=2-\mathrm{s}\\ \mathrm{z}=3+2\mathrm{s}.\end{array}\right.$

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆ và ∆'.

b) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng ∆ và ∆'.

c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(−3; 2; 2) và song song với đường thẳng ∆.

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆ đi qua A(2; 1; −1) và nhận vectơ $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}$ = (3; 2; 1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆' đi qua B(−1; 2; 3) và nhận vectơ $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}$ = (1; −1; 2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\left[\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}\right]$ = (5; −5; −5) và $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (−3; 1; 4) nên $\left[\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}\right].\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = −40 ≠ 0.

Hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau.

b) Ta có: cos(∆, ∆') = $\left|\cos \left(\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}.\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}\right|}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}\right|.\left|\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}\right|}$

$=\frac{\left|3.1+2.\left(-1\right)+1.2\right|}{\sqrt{3^2+2^2+1^2}.\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}}$ = $\frac{\sqrt{21}}{14}$.

c) Đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ nên nhận $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}$ = (3; 2; 1) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng d là: $\frac{\mathrm{x}+3}{3}=\frac{\mathrm{y}-2}{2}=\frac{\mathrm{z}-2}{1}$.

Bài 5.40 trang 37 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm I(3; −2; −1) và mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 3 = 0.

a) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc (P).

c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và d vuông góc với (P).

Lời giải:

a) Ta có: d(I, (P)) = $\frac{\left|3-2.\left(-2\right)-2.\left(-1\right)+3\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}$ = 4.

b) Bán kính mặt cầu (S) chính là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P).

Do đó, R = 4.

Phương trình mặt cầu (S) là: (x – 3)² + (y + 2)² + (z + 1)² = 16.

c) Đường thẳng d vuông với mặt phẳng (P) nên nhận vectơ $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ = (1; −2; −2) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng d là: $\frac{\mathrm{x}-3}{1}=\frac{\mathrm{y}+2}{-2}=\frac{\mathrm{z}+1}{-2}$

Bài 5.41 trang 37 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

∆: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-1-2\mathrm{t}\end{array}\right.$ và mặt phẳng (P): 2x + y + z + 5 = 0.

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình đường thẳng ∆' nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt ∆ và vuông góc với ∆.

c) Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P).

Lời giải:

a) Ta có I thuộc d nên I có dạng I(1 + t; 2t; −1 – 2t).

I cũng thuộc (P) nên thay I vào phương tình mặt phẳng (P), ta được:

2(1 + t) + 2t + (−1 – 2t) + 5 = 0

⇔ 2t + 6 = 0

⇔ t = −3.

⇒ I(−2; −6; 5).

b) Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}$ = (1; 2; −2), $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$ = (2; 1; 1).

⇒ $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}=\left[\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right|\right)$ = (4; −5; −3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆'.

Đường thẳng ∆' qua I nên ta có phương trình đường thẳng như sau: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-2+4\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-6-5\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=5-3\mathrm{t}\end{array}\right.$.

c) Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}$ = (1; 2; −2), $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$ = (2; 1; 1).

Do đó, sin(∆, (P)) = $\left|\cos \left({\overrightarrow{\mathrm{u}}}_{\mathrm{\Delta }},{\overrightarrow{\mathrm{n}}}_{\left(\mathrm{P}\right)}\right)\right|=\frac{\left|{\overrightarrow{\mathrm{u}}}_{\mathrm{\Delta }}.{\overrightarrow{\mathrm{n}}}_{\left(\mathrm{P}\right)}\right|}{\left|{\overrightarrow{\mathrm{u}}}_{\mathrm{\Delta }}\right|.\left|{\overrightarrow{\mathrm{n}}}_{\left(\mathrm{P}\right)}\right|}$

$=\frac{\left|1.2+2.1+\left(-2\right).1\right|}{\sqrt{1^2+2^2+{\left(-2\right)}^2}.\sqrt{2^2+1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{6}}{9}$.

⇒ (∆, (P)) ≈ 15,8°.

Bài 5.42 trang 38 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

∆: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-2+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1+3\mathrm{t}\end{array}\right.$ và ∆': $\frac{\mathrm{x}+2}{3}=\frac{\mathrm{y}-3}{2}=\frac{\mathrm{z}-1}{-2}$.

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆và song song với đường thẳng ∆'.

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆ đi qua A(3; −2; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}}$ = (2; 1; 3) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆' đi qua B(−2; 3; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}$ = (3; 2; −2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (−5; 5; 0) và

$\left[\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ -2& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right|\right)$ = (−8; 13; 1) ≠ $\overrightarrow{0}$

⇒$\left[\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}\right].\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = −5.(−8) + 5.13 + 0.1 = 105 ≠ 0.

Do đó, hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau.

b) Mặt phẳng (P) nhận vectơ $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ = $\left[\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}}}\right]$ = (−8; 13; 1) làm vectơ pháp tuyến và mặt phẳng (P) đi qua điểm A.

Mặt phẳng (P) có phương trình là: −8(x – 3) + 13(y + 2) +1(z – 1) = 0

⇔ −8x + 13y + z + 49 = 0

⇔ 8x – 13y – z – 49 = 0.

Bài 5.43 trang 38 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 2)² + (y + 1)² + (z – 3)² = 9 và điểm A(2; −1; 1).

a) Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

b) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S).

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.

Lời giải:

a) Ta có: (x – 2)² + (y + 1)² + (z – 3)² = 9

⇔ (x – 2)² + (y + 1)² + (z – 3)² = 3²

Mặt cầu có tâm I(2; −1; 3) và bán kính R = 3.

b) Ta có: IA = $\sqrt{{\left(2-2\right)}^2+{\left(-1+1\right)}^2+{\left(1-3\right)}^2}$ = 2 < 3 nên A nằm trong mặt cầu (S).

c) Kẻ IH vuông góc với mặt phẳng (P), có IH ≤ IA nên để IH lớn nhất thì H trùng với A hay $\overrightarrow{\mathrm{I}\mathrm{A}}$ = (0; 0; −2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Do đó, phương trình mặt phẳng (P) là: −2(z – 1) = 0 hay z – 1 = 0.

Bài 5.44 trang 38 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) x² + y² + z² + 6x – 8z + 5 = 0.

b) x² + y² + z² – 4x + 6z + 17 = 0.

c) 2x² + 2y² + 2z² – 5 = 0.

Lời giải:

a) Phương trình có các hệ số: a = −3, b = 0, c = 4 và d = 5.

⇒ a² + b² + c² – d = (−3)² + 0² +4² – 5 = 20 > 0.

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(−3; 0; 4) và bán kính R = $\sqrt{20}$.

b) Phương trình có các hệ số a = 2, b = 0, c = −3 và d =17.

⇒ a² + b² + c² – d = 2² + 0² + (−3)² – 17 = −4 < 0.

Do đó, phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu.

c) Ta có: 2x² + 2y² + 2z² – 5 = 0.

⇔ x² + y² + z² – $\frac{5}{2}$ = 0.

⇔ x² + y² + z² = $\frac{5}{2}$.

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.

Bài 5.45 trang 38 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 8 = 0 và (Q): 2x + 2y – z + 2 = 0.

a) Chứng minh rằng (P) // (Q).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$ = (2; 2; −1), $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{Q}}}$ = (2; 2; −1).

Có $\frac{2}{2}=\frac{2}{2}=\frac{-1}{-1}\ne \frac{8}{-2}$ nên mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).

b) Lấy điểm A(0; 0; 8) thuộc mặt phẳng (P).

Khi đó, d((P), (Q)) = d(A, (Q)) = $\frac{\left|0.2+0.2-8+2\right|}{\sqrt{2^2+2^2+{\left(-1\right)}^2}}$ = 2.

Bài 5.46 trang 38 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm P(2; 3; 5). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm P trên các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Ta có: A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên trục Ox, Oy, Oz nên tọa độ các điểm lần lượt là: A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 5).

Do đó, phương trình mặt phẳng (ABC) viết dưới dạng phương trình đoạn chắn như sau:

$\frac{\mathrm{x}}{2}+\frac{\mathrm{y}}{3}+\frac{\mathrm{z}}{5}=1$.

Bài 5.47 trang 39 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; −3); B(3; 0; −1) và mặt phẳng (P): x – 3y – z – 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai điểm A, B, đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$ = (1; −3; −1), $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (1; 1; 2).

$\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{Q}}}$ = $\left[\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}},\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right]$ = $\left(\left|\begin{array}{cc}-3& -1\\ 1& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ 1& 1\end{array}\right|\right)$ = (−5; −3; 4) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Mặt phẳng (Q) đi qua A(2; −1; −3) nên ta có phương trình như sau:

−5(x – 2) – 3(y + 1) + 4(z + 3) = 0

⇔ −5x + 10 – 3y – 3 + 4z + 12 = 0

⇔ 5x + 3y – 4z – 19 = 0.

Bài 5.48 trang 39 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, mặt sàn nằm ngang của một ngôi nhà thuộc mặt phẳng (Oxy), một mái và một ngôi nhà thuộc mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0. Hỏi mái nhà có độ dốc bằng bao nhiêu độ?

Lời giải:

Mặt phẳng nằm ngang (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{\mathrm{k}}$ = (0; 0; 1).

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là (1; 1; 1).

Ta có: cos((Oxy), (α)) = $\left|\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{k}},\overrightarrow{\mathrm{n}}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{k}}.\overrightarrow{\mathrm{n}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{k}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{n}}\right|}$

$=\frac{\left|0.1+0.1+1.1\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}.\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

⇒ ((Oxy), (α)) ≈ 54,7°.

Bài 5.49 trang 39 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, trong khoảng thời gian từ 0 đến 1, một vật thể chuyển động sao cho tại mỗi thời điểm t ∈ [0; 1], vật thể đó ở vị trí M$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \mathrm{t};\sqrt{\sqrt{2}\sin \mathrm{t}\cos \mathrm{t}};\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \mathrm{t}-\cos \mathrm{t}\right)$. Hỏi trong quá trình chuyển động nói trên, vật thể luôn thuộc mặt cầu (S): x² + y² + z² – 1 = 0 hay không?

Lời giải:

Ta có: ${\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \mathrm{t}\right)}^2+{\left(\sqrt{\sqrt{2}\sin \mathrm{t}\cos \mathrm{t}}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \mathrm{t}-\cos \mathrm{t}\right)}^2-1$

= $\frac{1}{2}{\sin }^2\mathrm{t}+\sqrt{2}\sin \mathrm{t}\cos \mathrm{t}+\frac{1}{2}{\sin }^2\mathrm{t}-\sqrt{2}\sin \mathrm{t}\cos \mathrm{t}+{\cos }^2\mathrm{t}-1$

= sin²t + cos²t – 1

= 1 – 1 = 0.

Vậy ${\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \mathrm{t}\right)}^2+{\left(\sqrt{\sqrt{2}\sin \mathrm{t}\cos \mathrm{t}}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \mathrm{t}-\cos \mathrm{t}\right)}^2-1$ = 0.

Vậy trong quá trình chuyển động, vật thể luôn thuộc mặt cầu (S).

Bài 5.50 trang 39 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tại một phạm vi hẹp, (Oxy) là mặt phẳng nằm ngang. Một đường ống nước thẳng đi qua hai điểm A(1; 1; 2) và B(1; 2; 1). Hỏi đường ống nói trên nghiêng bao nhiêu độ (so với mặt phẳng ngang)?

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = (0; 1; −1), mặt phẳng nằm ngang (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{\mathrm{k}}$ = (0; 0; 1).

Ta có: sin(AB, (Oxy)) = $\left|\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{k}}\right)\right|$

=$\frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}.\overrightarrow{\mathrm{k}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{k}}\right|}=\frac{\left|0.0+1.0+(-1).1\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}.\sqrt{0^2+1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

⇒ (AB, (Oxy)) = 45°.

Vậy ống nước nghiêng 45° so với mặt phẳng nằm ngang.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 12 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

Bài 17: Phương trình mặt cầu

Bài 18: Xác suất có điều kiện

Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài tập cuối chương 6