Rút gọn các biểu thức

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (Tiếp theo)

Bài 70 trang 16 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a) $\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}$

b) $\frac{5}{12\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)}-\frac{5}{12\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)}$

c) $\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}+\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}$

d) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}$

Lời giải:

a) $\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}$

$=\frac{2.\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}-\frac{2.\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}$

$$\begin{gathered} =\frac{2\sqrt{3}+2}{3-1}-\frac{2\sqrt{3}-2}{3-1} \\ =\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}-\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{2} \\ =\left(\sqrt{3}+1\right)-\left(\sqrt{3}-1\right) \\ =\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1=2 \end{gathered}$$

b) $\frac{5}{12\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)}-\frac{5}{12\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)}$

$$\begin{gathered} =\frac{5}{12}\left(\frac{1}{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}}\right) \\ =\frac{5}{12}.\left(\frac{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}}{\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)}-\frac{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}}{\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)}\right) \\ =\frac{5}{12}.\left(\frac{\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)-\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)}{\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)}\right) \\ =\frac{5}{12}.\left(\frac{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}-2\sqrt{5}-3\sqrt{2}}{{\left(2\sqrt{5}\right)}^2-{\left(3\sqrt{2}\right)}^2}\right) \\ =\frac{5}{12}.\left(\frac{-6\sqrt{2}}{20-18}\right) \\ =\frac{5}{12}.\frac{-6\sqrt{2}}{2}=\frac{-5\sqrt{2}}{4} \end{gathered}$$

c) $\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}+\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}$

$$\begin{gathered} =\frac{\left(5+\sqrt{5}\right)\left(5+\sqrt{5}\right)}{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(5+\sqrt{5}\right)}+\frac{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(5-\sqrt{5}\right)}{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(5+\sqrt{5}\right)} \\ =\frac{25+5\sqrt{5}+5\sqrt{5}+5}{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(5+\sqrt{5}\right)}+\frac{25-5\sqrt{5}-5\sqrt{5}+5}{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(5+\sqrt{5}\right)} \\ =\frac{30+10\sqrt{5}}{5^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}+\frac{30-10\sqrt{5}}{5^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2} \\ =\frac{\left(30+10\sqrt{5}\right)+\left(30-10\sqrt{5}\right)}{25-5} \\ =\frac{30+10\sqrt{5}+30-10\sqrt{5}}{20}=\frac{60}{20}=3 \end{gathered}$$

d) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{3}.\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}+1\right)}{\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}+1\right)\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}-1\right)}-\frac{\sqrt{3}.\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}-1\right)}{\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}+1\right)\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}-1\right)} \\ =\frac{\sqrt{3\left(\sqrt{3}+1\right)}+\sqrt{3}}{\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}+1\right)\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}-1\right)}-\frac{\sqrt{3\left(\sqrt{3}+1\right)}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}+1\right)\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}-1\right)} \\ =\frac{\left(\sqrt{3\left(\sqrt{3}+1\right)}+\sqrt{3}\right)-\left(\sqrt{3\left(\sqrt{3}+1\right)}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}+1\right)\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}-1\right)} \\ =\frac{\sqrt{3\left(\sqrt{3}+1\right)}+\sqrt{3}-\sqrt{3\left(\sqrt{3}+1\right)}+\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}\right)}^2-1} \\ =\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1-1}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2 \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 68 trang 16 SBT Toán 9 Tập 1: Khử mẫu của mỗi biểu thức lấy căn và rút gọn (nếu được)...

Bài 69 trang 16 SBT Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu được)...

Bài 71 trang 16 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh đẳng thức...

Bài 72 trang 17 SBT Toán 9 Tập 1: Xác định giá trị biểu thức sau theo cách thích hợp...

Bài 73 trang 17 SBT Toán 9 Tập 1: So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi)...

Bài 74 trang 17 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn...

Bài 75 trang 17 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức...

Bài 77 trang 17 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm x, biết...

Bài 78 trang 17 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm tập hợp các giá trị x thỏa mãn điều kiện sau...

Bài 79 trang 17 SBT Toán 9 Tập 1: Cho các số x và y có dạng...

Bài 7.1 trang 18 SBT Toán 9 Tập 1: Với x < 0; y < 0 biểu diễn biểu thức ...

Bài 7.2 trang 18 SBT Toán 9 Tập 1: Giá trị của $\frac{6}{\sqrt{7}-1}$ bằng...