Một dây dẫn đồng chất, tiết diện đều có điện trở R0 được uốn và hàn thành vòng tròn kín

Giải SBT Vật lí 11 Bài 17: Điện trở. Định luật Ohm

Bài 17.9 (VD) trang 65 Sách bài tập Vật Lí 11: Một dây dẫn đồng chất, tiết diện đều có điện trở R₀ được uốn và hàn thành vòng tròn kín với A và B là hai đầu của một đường kính vòng tròn đó.

a) Gọi M và N là hai đầu của một đường kính khác của vòng dây sao cho MN vuông góc với AB. Nối M và N bởi một đoạn dây dẫn có điện trở không đáng kể. Tính điện trở của đoạn mạch AB theo R₀.

b) Bây giờ không nối tắt giữa M và N như câu a mà người ta dùng một khung dây dẫn kín có dạng một tam giác đều CDE có điện trở không đáng kể mà ba đỉnh luôn tiếp xúc và có thể xoay trượt trên đường tròn (Hình 17.3). Tính điện trở lớn nhất và nhó nhất của đoạn mạch AB theo R₀.

Lời giải:

a) Cấu trúc đoạn mạch AB: $\left(R_{\text{AM}}//R_{\text{AN}}\right)\text{nt}\left(R_{\text{MB}}//{\text{R}}_{\text{NB}}\right)$.

Theo đề, ta có: $R_{\text{AM}}=R_{\text{AN}}=R_{\text{MB}}=R_{\text{NB}}=\frac{R_0}{4}$ .

Suy ra, điện trở tương đương của đoạn mạch AB: $R_{\text{AB}}=\frac{R_0}{4}$.

b) Điện trở của các cung tròn CD, DE và EC bằng $\frac{R_0}{3}$ .

Gọi $R_{\text{AC}}=x,R_{\text{DB}}=y\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{R}_{\text{AE}}=\frac{R_0}{3}-x\\ R_{\text{EB}}=\frac{R_0}{3}-y\end{array}\right.$

Điện trở của đoạn mạch AB:

$$\begin{gathered} R_{\text{AB}}=\frac{R_{\text{AE}}\cdot R_{\text{AC}}}{R_{\text{AE}}+R_{\text{AC}}}+\frac{R_{\text{EB}}\cdot R_{\text{DB}}}{R_{\text{EB}}+R_{\text{DB}}} \\ =\frac{x\left(\frac{R_0}{3}-x\right)}{\frac{R_0}{3}}+\frac{y\left(\frac{R_0}{3}-y\right)}{\frac{R_0}{3}} \\ =\left(x+y\right)-\frac{3}{R_0}\left[{(x+y)}^2-2xy\right]\left(\text{*}\right) \end{gathered}$$

Ta có: $x+y=\frac{R_0}{2}-\frac{R_0}{3}=\frac{R_0}{6}$

Thay vào phương trình (*), ta được: $R_{\text{AB}}=\frac{R_0}{12}+\frac{6xy}{R_0}$ .

Vì $x+y=\frac{R_0}{6}$ không đổi nên xy lớn nhất khi $x=y=\frac{R_0}{12}\Rightarrow R_{{\text{AB}}_{\text{max}}}=\frac{R_0}{8}$ .

$R_{{\text{AB}}_{\text{min }}}=\frac{R_0}{12}$ khi x hoặc y bằng 0.