Dạng 3: Chứng minh các yếu tố hình học liên quan
-
337 lượt thi
-
10 câu hỏi
-
0 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
16/07/2024Cho tam giác ABC, AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 8 cm. Kéo dài AB lấy điểm D sao cho AB = BD, kéo dài AC lấy điểm E sao cho AC = CE, kéo dài trung tuyến AM của tam giác ABC lấy F sao cho AM = MF. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án
Đáp án đúng là: C
Vì AC = CE nên CE = 6 cm.
Từ giả thiết, ta có tam giác ADE có B là trung điểm của AD, C là trung điểm của AE.
Do đó BC là đường trung bình của tam giác ADE.
Suy ra , BC // DE (tính chất đường trung bình của tam giác).
Hay DE = 2BC = 2 ⋅ 8 = 16 (cm).
Trong tam giác ADF có B là trung điểm của AD, M là trung điểm của AF.
Do đó BM là đường trung bình của tam giác ADF.
Suy ra BM // DF (tính chất đường trung bình của tam giác).
Hay BC // DF (M ∈ BC).
Vì BC // DE và BC // DF nên D, E, F thẳng hàng.
Vậy đáp án C đúng.
Câu 2:
18/07/2024Cho tam giác MNP cân tại M có D là trung điểm của NP. Từ D kẻ DE song song với MP (E ∈ MN), kẻ DF song song với MN (F ∈ MP). Khi đó ME bằng với đoạn thẳng nào?
Xem đáp án
Đáp án đúng là: D
Trong tam giác MNP có:
+ D là trung điểm của NP, DE // MP, E ∈ MN.
Do đó E là trung điểm của MN (tính chất đường trung bình của tam giác).
Suy ra ME = EN = MN (1).
+ D là trung điểm của NP, DF // MN, F ∈ MP.
Do đó F là trung điểm của MP (tính chất đường trung bình của tam giác).
Suy ra MF = FP = MP (2).
Mà tam giác MNP cân tại M nên MN = MP (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra ME = EN = MF = FP.
Câu 3:
20/07/2024Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC. Qua A kẻ Ax song song với BC cắt HI tại K. Khi đó HK song song với:
Xem đáp án
Đáp án đúng là: A
Vì tam giác ABC cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.
Suy ra H là trung điểm của BC.
Trong tam giác ABC có H là trung điểm của BC, I là trung điểm của AC.
Do đó HI là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra HI // AB (tính chất đường trung bình của tam giác).
Vì K ∈ HI nên HK // AB.
Câu 4:
19/07/2024Cho tam giác OMN cân tại O. I là trung điểm của đường cao OH, NI cắt OM tại K. Từ H kẻ Hx song song với NK cắt OM tại D. Khi đó độ dài OM gấp mấy lần độ dài OK?
Xem đáp án
Đáp án đúng là: C
Vì tam giác OMN cân tại O nên OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.
Suy ra H là trung điểm của MN.
Trong tam giác MKN có H là trung điểm của MN, DH // KN, D ∈ MK.
Do đó D là trung điểm của MK.
Suy ra MD = DK (1).
Trong tam giác ODH có I là trung điểm của OH, KI // DH (do I ∈ NK), K ∈ OD.
Do đó K là trung điểm của OD.
Suy ra OK = DK (2).
Lại có OK + DK + MD = OM (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra OM = 3OK.
Câu 5:
21/07/2024Cho tam giác ABC trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm D bất kì. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD, DC. Khi đó EF + FH + HG + GE bằng
Xem đáp án
Đáp án đúng là: C
Trong tam giác ABD có E là trung điểm của AB, G là trung điểm của AD
Do đó EG là đường trung bình của tam giác ABD.
Suy ra (tính chất đường trung bình của tam giác).
Trong tam giác CBD có F là trung điểm của BC, H là trung điểm của CD
Do đó FH là đường trung bình của tam giác CBD.
Suy ra (tính chất đường trung bình của tam giác).
Trong tam giác ADC có H là trung điểm của DC, G là trung điểm của AD
Do đó HG là đường trung bình của tam giác ADC.
Suy ra (tính chất đường trung bình của tam giác).
Trong tam giác ABC có E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC
Do đó EF là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra (tính chất đường trung bình của tam giác).
Ta có EF + FH + HG + GE = = AC + BD.
Câu 6:
16/07/2024Cho tam giác ABC đều, I là trung điểm BC. Từ I kẻ IK // AB (K ∈ AC), IH // AC (H ∈ AB). Tam giác IHK là tam giác gì?
Xem đáp án
Đáp án đúng là: A
Trong tam giác ABC có I là trung điểm BC, HI // AC, H ∈ AB.
Do đó H là trung điểm của AB (tính chất đường trung bình của tam giác).
Suy ra HI là đường trung bình của tam giác ABC.
Nên (tính chất đường trung bình của tam giác).
Chứng minh tương tự ta có HK, IK là đường trung bình của tam giác ABC.
Nên (tính chất đường trung bình của tam giác).
Vì tam giác ABC đều nên AB = AC = BC.
Suy ra HI = HK = KI.
Vậy tam giác HIK là tam giác đều.
Câu 7:
16/07/2024Cho tam giác MNP, trên MN lấy hai điểm D, E sao cho MD = DE = EN. Gọi I là trung điểm NP, PD cắt MI tại H. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án
Đáp án đúng là: B
Trong tam giác NDP có I là trung điểm NP, E là trung điểm DN (DE = EN).
Do đó EI là đường trung bình của tam giác NDP.
Suy ra EI // PD và (tính chất đường trung bình của tam giác) (1).
Trong tam giác MEI có D là trung điểm ME (MD = DE), DH // EI (H ∈ DP).
Suy ra H là trung điểm của MI.
Nên HD là đường trung bình của tam giác MEI.
Suy ra (tính chất đường trung bình của tam giác) (2).
Từ (1) và (2) suy ra .
Câu 8:
20/07/2024Cho tam giác ABC vuông tại B, phân giác AD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AD, AC, CD. Tứ giác BMNI là hình gì?
Xem đáp án
Đáp án đúng là: C
Trong tam giác ADC có M là trung điểm AD, N là trung điểm AC.
Do đó MN là đường trung bình của tam giác ADC.
Suy ra MN // DC (tính chất đường trung bình của tam giác).
Do đó, MN // BI. Suy ra tứ giác BMNI là hình thang.
Trong tam giác ADC có M là trung điểm AD, I là trung điểm DC.
Do đó MI là đường trung bình của tam giác ADC.
Suy ra (tính chất đường trung bình của tam giác) (1).
Trong tam giác ABC vuông tại B, có BN là trung tuyến nên (2).
Từ (1) và (2) suy ra MI = BN.
Vậy BMNI là hình thang cân (hình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân).
Câu 9:
22/07/2024Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BE và CD cắt nhau tại G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Đoạn thẳng DE song song và bằng với đoạn thẳng nào?
Xem đáp án
Đáp án đúng là: B
Trong tam giác ABC có D là trung điểm AB, E là trung điểm AC.
Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra DE // BC và (tính chất đường trung bình của tam giác) (1).
Trong tam giác GBC có I là trung điểm GB, K là trung điểm GC.
Do đó IK là đường trung bình của tam giác GBC.
Suy ra IK // BC và (tính chất đường trung bình của tam giác) (2).
Từ (1) và (2) suy ra IK // DE và IK = DE.
Câu 10:
16/07/2024Cho tứ giác ABCD có AB = 2a, CD = 2b. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án
Đáp án đúng là: D
Gọi I là trung điểm của AC.
Trong tam giác ADC có E là trung điểm AD, I là trung điểm của AC.
Do đó EI là đường trung bình của tam giác ADC.
Suy ra hay (tính chất đường trung bình của tam giác).
Trong tam giác ABC có F là trung điểm BC, I là trung điểm của AC.
Do đó FI là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra hay (tính chất đường trung bình của tam giác).
Trong tam giác EFI có: EF ≤ EI + FI (bất đẳng thức tam giác) hay EF ≤ b + a.