Đáp án cần chọn là: C

Gọi A là biến cố: “hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.”

Số cách chọn 2 trong 8 chiếc giày là $C_8^2=28.$

Số cách chọn 1 đôi giày trong 4 đôi giày là $C_4^1=4$.

=> $n\left(A\right)=C_4^1=4$.

=>P(A)=$\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}$.

Đáp án cần chọn là: A

Gọi A là biến cố: “có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh“

Mỗi hộp có 12 bút chì.

- Không gian mẫu:|Ω|=$C_{12}^1.C_{12}^1=144$.

- Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 1, 1 bút xanh ở hộp 2 là: $C_5^1.C_4^1$

- Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 2, 1 bút xanh ở hộp 1 là: $C_8^1.C_7^1$

=>n(A)=$C_5^1.C_4^1+C_8^1.C_7^1=76$.

=>P(A)= $\frac{n\left(A\right)}{\left|\Omega \right|}=\frac{76}{144}=\frac{19}{36}$.

Đáp án đúng là: A

*Lời giải:    

Ta có: n(Ω)=$2^5=32$.

Biến cố A:”Được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.

Khi đó:  $\overline{A}$:”Tất cả đều là  mặt ngửa”.

Suy ra $P\left(\overline{A}\right)=\frac{1}{32}\Rightarrow P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}.$

*Phương pháp giải:

- Xác định đúng không gian mẫu.

- Áp dụng Hoán vị: Pn = n(n-1)...2.1 = n!

*Lý thuyến cần nắm về tổ hợp - xác suất

1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

3. Hoán vị:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

- Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1)...2.1 = n!

4. Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

5. Tổ hợp:

Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

6. Công thức nhị thức Niu-tơn:

    (a + b)n = Cn0an + Cn1an - 1b + … + Cnkan - kbk + … + Cnn-1abn-1 + Cnnbn

7. Phép toán trên các biến cố:

- Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.

Khi đó, tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A−.

- Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử:

    + Tập A ⋃ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.

    + Tập A ⋂ B được gọi là giao của các biến cố A và B.

    + Nếu A ⋂ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc.

8. Xác suất của biến cố:

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, xác suất của biến cố A là: 

trong đó: n(A) là số phần tử của A; còn n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

9. Tính chất của xác suất:

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

    P(∅) = 0, P(Ω) = 1

    0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

    Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

    Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A).

    A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Tổ hợp - xác suất hay, chi tiết 

Giải Toán 11 Chương 2: Tổ hợp – xác suất 

Các dạng bài tập Tổ hợp - Xác suất 

Đáp án cần chọn là: B

Có tất cả :  5+ 15 + 35 = 55 viên bi.

Gọi A là biến cố: “trong số 7 viên bi được lấy ra có ít nhất 1 viên bi màu đỏ.”

- Số cách chọn 7 trong 55 viên bi là $C_{55}^7$

- $\overline{A}$ là biến cố: “trong số 7 viên bi được lấy ra không có viên bi màu đỏ nào.”

$$\begin{gathered} \Rightarrow n\left(\overline{A}\right)=C_{20}^7 \\ \Rightarrow n\left(A\right)=n\left(\Omega \right)-n\left(\overline{A}\right)=C_{55}^7-C_{20}^7 \\ \Rightarrow P\left(A\right)=\frac{C_{55}^7-C_{20}^7}{C_{55}^7} \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: C

Gọi A là biến cố: “bốn quả cầu được chọn có số đều không vượt quá 8.”

Số cách chọn 4 trong số 12 quả cầu là n(Ω)=$C_{12}^4=495.$

Số cách chọn 4 trong số 8 số từ 1 đến 8 là n(A)=$C_8^4=70$.

$\Rightarrow P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{70}{495}=\frac{14}{99}$.

Đáp án cần chọn là: B

Gọi A là biến cố: “5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ “

- Không gian mẫu: |Ω|=$C_{15}^5$

- Số cách chọn 5 bạn trong đó có 4 nam, 1 nữ là: $C_8^4.C_7^1$

- Số cách chọn 5 bạn trong đó có 3 nam, 2 nữ là: $C_8^3.C_7^2$

=>n(A)=$C_8^4.C_7^1+C_8^3.C_7^2=1666$.

=>P(A)=$\frac{n\left(A\right)}{\left|\Omega \right|}=\frac{1666}{C_{15}^5}=\frac{238}{429}$.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: n(Ω)=$6^5$

Bộ kết quả của ba lần gieo đầu thỏa mãn yêu cầu là:

(1;1;2),(1;2;3),(1;3;4),(1;4;5),(1;5;6),(2;1;3),(2;2;4),(2;3;5),(2;4;6),(3;1;4),(3;2;5),(3;3;6),(4;1;5),(4;2;6),(5;1;6)

Hai lần gieo sau mỗi lần gieo có 6 khả năng xảy ra nên n(A)=15.6.6

VậyP(A)=$\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{15.6.6}{6^5}=\frac{15}{216}$.

Chú ý

Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án D vì chỉ liệt kê ra 15 khả năng có thể xảy ra của A mà quên mất hai lần gieo cuối là sai.

Đáp án cần chọn là: D

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)=$6^3$

Gọi A là biến cố “Xuất hiện nhiều nhất 2 mặt 5” hay A: “Xuất hiện không quá hai mặt 5”.

Khi đó :$\overline{A}$ “Xuất hiện cả ba mặt đều là 5”.

$\Rightarrow n\left(A\right)=1\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=\frac{1}{216}$.

Xác suất biến cố A là : $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{1}{216}=\frac{215}{216}$.

Đáp án cần chọn là: D

Gọi A là biến cố: “A và B đứng liền nhau.”

- Số phần tử của không gian mẫu: 10!.

Coi hai anh A và B là một nhóm thì có 2! cách xếp chỗ cho A và B trong nhóm.

Xếp nhóm anh A và B với 8 người còn lại thì có 9! cách xếp.

Số cách xếp để anh A và anh B đứng liền nhau là:  n(A)=2!.9!.

=>P(A)=$\frac{n\left(A\right)}{\left|\Omega \right|}=\frac{2!.9!}{10!}=\frac{1}{5}$.

Chọn B.

Gọi A là biến cố: “nam, nữ đứng xen kẽ nhau.“

-Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω)=10!

-Số cách xếp để nam đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: 5!.5!

-Số cách xếp để nữ đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: 5!.5!

=> n(A)=5!.5!+5!.5!=28800.

=>P(A)= $\frac{n\left(A\right)}{\left|\Omega \right|}=\frac{28800}{10!}=\frac{1}{126}$.

Chọn C.

Số phần tử của không gian mẫu là $\left|\Omega \right|=6.6=36$

Gọi A là biến cố Tích hai lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn. Ta xét các trường hợp:

TH1. Gieo lần một, số chấm xuất hiện trên mặt là số lẻ thì khi gieo lần hai, số chấm xuất hiện phải là số chẵn. Khi đó có 3.3 = 9 cách gieo.

TH2. Gieo lần một, số chấm xuất hiện trên mặt là số chẵn thì có hai trường hợp xảy ra là số chấm xuất hiện trên mặt khi gieo lần hai là số lẻ hoặc số chẵn.

 Khi đó có 3.3 + 3.3 = 18 cách gieo.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố là $\left|\Omega \right|=9+18=27$

Vậy xác suất cần tìm tính $P\left(A\right)=\frac{27}{36}=0,75.$

Chọn C.

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp chứa 12 viên bi. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $\left|\Omega \right|=C_{12}^4$.

Gọi A là biến cố 4 viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố $A$ là:

• TH1: Chọn 1 bi đỏ và 3 bi xanh nên có $C_5^1.C_4^3$ cách.
• TH2: Chọn 2 bi đỏ và 2 bi xanh nên có $C_5^2.C_4^2$ cách.
• TH3: Chọn 3 bi đỏ và 1 bi xanh nên có $C_5^3.C_4^1$ cách.
• TH4: Chọn 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh nên có $C_5^2.C_3^1.C_4^1$cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là $\left|\Omega \right|=C_5^1.C_4^3+C_5^2.C_4^2+C_5^2.C_3^1.C_4^1=240$.

Vậy xác suất cần tính $P\left(A\right)=\frac{\left|{\Omega }_A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{240}{495}=\frac{16}{33}$.

Chọn A.

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 13 học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $\left|\Omega \right|=C_{13}^3=286.$

Gọi A là biến cố 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12 . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:

• TH1: Chọn 1 học sinh khối 11; 1 học sinh nam khối 12 và 1 học sinh nữ khối 12 nên có $C_2^1.C_8^1.C_3^1=48$ cách.
• TH2: Chọn 1 học sinh khối 11; 2 học sinh nữ khối 12 có $C_2^1.C_3^2=6$ cách.
• TH3: Chọn 2 học sinh khối 11; 1 học sinh nữ khối 12 có $C_2^2.C_3^1=3$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $\left|\Omega \right|=48+6+3=57$.

Vậy xác suất cần tính $P\left(A\right)=\frac{\left|{\Omega }_A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{57}{286}$.

Chọn B.

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 22 viên bi đã cho.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $\left|\Omega \right|=C_{22}^4=7315$.

Gọi A là biến cố Lấy được 4 viên bi trong đó có ít nhất hai viên bi cùng màu .

Để tìm số phần tử của A, ta đi tìm số phần tử của biến cố $\overline{A}$, với biến cố $\overline{A}$ là lấy được 4 viên bi trong đó không có hai viên bi nào cùng màu.

Suy ra số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là $\left|{\Omega }_A\right|=C_7^1.C_6^1.C_5^1.C_4^1=840$.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $\left|{\Omega }_A\right|=\left|\Omega \right|-\left|{\Omega }_A\right|=6475.$

Vậy xác suất cần tính $P\left(A\right)=\frac{\left|{\Omega }_A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{6475}{7315}=\frac{185}{209}$.

Chọn C.

Không gian mẫu là lấy 2 quả cầu trong hộp một cách lần lượt ngẫu nhiên.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $\left|\Omega \right|=C_{20}^1.C_{19}^1$.

Gọi A biến cố "2 quả cầu được lấy cùng màu" . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau:

• TH1: Lần thứ nhất lấy quả màu trắng và lần thứ hai cũng màu trắng.

Do đó trường hợp này có $C_8^1.C_7^1$ cách.

• TH2: Lần thứ nhất lấy quả màu đen và lần thứ hai cũng màu đen.

Do đó trường hợp này có $C_{12}^1.C_{11}^1$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $\left|{\Omega }_A\right|=C_8^1.C_7^1+C_{12}^1.C_{11}^1$.

Vậy xác suất cần tính $P\left(A\right)=\frac{\left|{\Omega }_A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{C_8^1.C_7^1+C_{12}^1.C_{11}^2}{C_{20}^1.C_{19}^1}=\frac{47}{95}.$